算法 —— 高精度(模拟)

目录

加法高精度

两个正整数相加

两个正小数相加

两正数相加

减法高精度

两个正整数相减

两个正小数相减

两正数相减

加减法总结

 乘法高精度

两个正整数相乘

两个正小数相乘

乘法总结


加法高精度

题目来源洛谷:P1601 A+B Problem(高精)

高精度:顾名思义,就是在很大的位数情况下进行运算,其基本思想就是用数组进行模拟加法进位,最后遍历数组输出。可以看到提示的a,b最大值达到10^18,而内置类型long long能接受数据的最大值在10^19,题目目的就是为了不让你内置类型来接收数据


两个正整数相加

我们可以使用字符串来模拟高精度运算,本题要求很少:只需要正整数相加即可,以 83 + 2047 为例模拟一下加法过程,我们可以看一下下图:

按照加法原则,个位与个位相加,十位与十位相加……注意相加的过程中要加上前一位的进位,注意最高位相加后要看进位d是否为0,代码如下:

// 整数部分 // 全是正数
string add_int(string a, string b)
{string ret; //存放最终结果int d = 0;// 记录进位int na = a.size(), nb = b.size();int n = max(na, nb);// 统一个数// 位数不够前面补0if (na > nb)for (int i = 1; i <= na - nb; i++)b = "0" + b;elsefor (int i = 1; i <= nb - na; i++)a = "0" + a;for (int i = n - 1; i >= 0; i--){int tmp = 0, tmp_a = a[i] - '0', tmp_b = b[i] - '0';tmp = tmp_a + tmp_b + d; //加前一次的进位d = tmp / 10;tmp %= 10;ret.push_back(tmp + '0');}if (d != 0)ret.push_back(d + '0');reverse(ret.begin(), ret.end());return ret;
}

两个正小数相加

 根据此题,我又试着把大于0的小数相加设计了出来,这样使得原本加法更加完善,可以对大于等于0的所有数进行加法运算,但是需要注意一点的是,小数部分靠近小数点的为高位,意味着我们要在数字后面补0,以 0.99 和 0.4721 为例子,看以下图示:

根据上图可以用代码将其实现:

// 小数部分  // 全是正数
string add_float(string a, string b)
{string ret;int d = 0;// 记录进位int na = a.size(), nb = b.size();int n = max(na, nb);// 统一个数// 位数不够后面补0if (na > nb)for (int i = 1; i <= na - nb; i++)b = b + "0";elsefor (int i = 1; i <= nb - na; i++)a = a + "0";for (int i = n - 1; i >= 0; i--){int tmp = 0, tmp_a = a[i] - '0', tmp_b = b[i] - '0';tmp = tmp_a + tmp_b + d; //加前一次的进位d = tmp / 10;tmp %= 10;ret.push_back(tmp + '0');}if (d != 0)// 说明要进位到整数ret.push_back('x'); reverse(ret.begin(), ret.end());//前导x说明要整数部分+1return ret;
}

两正数相加

通过上述两个函数合并可以试着实现正数的加法,这里说一下我的思路:

  1. 找到两个字符串中的小数点
  2. 将字符串分为两个子串:左半部分为正整数子串,右半部分为正小数子串
  3. 两个部分分别调用上述函数
  4. 结果合并成一个字符串,该字符串为最终结果

 为了提高代码的可读性,本蒟蒻在每行代码后面添加了注释,大家可以试着看一下:

bz:本人考虑到小数部分相加刚好为1的情况,那么可以试着不要后面一大串全是0的子串,直接输出整数部分即可,这样更加贴合大家生活中的加法习惯。以下为代码:

// 加法
string add(string a,string b)
{auto it_a = a.find('.'), it_b = b.find('.');string a_int = a, b_int = b, a_float, b_float; // 默认a b是整数if (it_a != -1)// 找到小数点了就要分成两部分{a_int = a.substr(0, it_a); // 把整数部分裁下来a_float = a.substr(it_a + 1, a.size() - it_a); // 把小数部分裁下来}if(it_b != -1){b_int = b.substr(0, it_b);b_float = b.substr(it_b + 1, b.size() - it_b); // 同上}string ad_float = add_float(a_float, b_float);if (ad_float[0] == 'x')//看看有没有前导x,有就需要进位{ad_float = ad_float.substr(1, ad_float.size() - 1); //把前导x舍弃a_int = add_int(a_int, "1"); // 小数进位只会加1}int count = 0;for (auto e : ad_float) // 看看结尾是不是全是0if (e == '0')count++;if (count == ad_float.size()) // 说明全是0,ret可以不要了ad_float.clear(); //清空string ad_int = add_int(a_int, b_int);string ret = ad_int;if (ad_float.size() != 0) // 说明里面有小数ret = ret + "." + ad_float;return ret;
}

减法高精度

减法高精度与加法高精度略有不同,其区别在于进位,加法的进位是把进位值给高一级位,而减法进位需要向高一级位借一位(前数比后数小的前提下)


两个正整数相减

减法的难点在于:它不像加法那样可以一位一位顺位相加,在借位的情况下,可能出现越位减一的情况,例如100 - 9,要从百位借位,这样大大增加了难度。

注意以下两个特殊情况:

  1. 两个相同数相减为0
  2. 低位数不够,向高位借1

根据加法的代码,可以考虑在加法的基础上进行修改,并且通过两个正整数的相减可以实现一正一负的加法运算,提高了代码的复用性。看以下一下代码:

// 整数部分 // 全是正数 // 大 - 小
string sub_int(string a, string b)
{string ret; // 存放最终结果int d = 0;// 记录进位int na = a.size(), nb = b.size();int n = max(na, nb);// 统一个数// 位数不够前面补0if (na > nb)for (int i = 1; i <= na - nb; i++)b = "0" + b;elsefor (int i = 1; i <= nb - na; i++)a = "0" + a;string maxn = a, minn = b; // 重新搞两个字符串(提高可读性)for (int i = n - 1; i >= 0; i--){int tmp = 0, tmp_max = maxn[i] - '0' + d, tmp_min = minn[i] - '0'; // 进位放初始化d = 0;// 注意用完 d 归零if (tmp_max < tmp_min) // 借位情况(大数该位不够减小数该位){tmp_max += 10; //问前面一位要了一个1d = -1;}tmp = tmp_max - tmp_min;ret.push_back(tmp + '0');}for (int i = n - 1; i >= 1; i--) //一样的数相减全是0删掉(注意留最后一个0){if (ret[i] == '0')ret.pop_back();elsebreak;}reverse(ret.begin(), ret.end());return ret;
}

两个正小数相减

正小数相减和相加类似,最后返回的字符串如果要借个位的一位就存放一个x,两函数合并时判断是否有x(需要向个位借一位的情况)即可,代码如下:

// 小数部分 // 全是正数 // 大 - 小
string sub_float(string a, string b)
{string ret; // 存放最终结果int d = 0;// 记录进位int na = a.size(), nb = b.size();int n = max(na, nb);// 统一个数// 位数不够后面补0if (na > nb)for (int i = 1; i <= na - nb; i++)b = b + "0";elsefor (int i = 1; i <= nb - na; i++)a = a + "0";string maxn = a, minn = b; // 重新搞两个字符串(提高可读性)for (int i = n - 1; i >= 0; i--){int tmp = 0, tmp_max = maxn[i] - '0' + d, tmp_min = minn[i] - '0'; // 进位放初始化d = 0;// 注意用完 d 归零if (tmp_max < tmp_min) // 借位情况(大数该位不够减小数该位){tmp_max += 10; //问前面一位要了一个1d = -1;}tmp = tmp_max - tmp_min;ret.push_back(tmp + '0');} if (d == -1)// 整数部分也要减1ret.push_back('x');reverse(ret.begin(), ret.end());return ret;
}

两正数相减

与加法相同,裁剪小数和整数两部分字符串依次调用各自的函数即可,代码如下:

// 减法  // 默认 大 - 小
string sub(string a, string b)
{auto it_a = a.find('.'), it_b = b.find('.');string a_int = a, b_int = b, a_float, b_float; // 默认a b是整数if (it_a != -1)// 找到小数点了就要分成两部分{a_int = a.substr(0, it_a); // 把整数部分裁下来a_float = a.substr(it_a + 1, a.size() - it_a); // 把小数部分裁下来}if (it_b != -1){b_int = b.substr(0, it_b);b_float = b.substr(it_b + 1, b.size() - it_b); // 同上}string su_float = sub_float(a_float, b_float);if (su_float[0] == 'x')//看看有没有前导x,有就需要借位{su_float = su_float.substr(1, su_float.size() - 1); //把前导x舍弃a_int = sub_int(a_int, "1"); // 小数进位只会加1}int count = 0;for (auto e : su_float) // 看看结尾是不是全是0if (e == '0')count++;if (count == su_float.size()) // 说明全是0,ret可以不要了su_float.clear(); //清空string su_int = sub_int(a_int, b_int);string ret = su_int;if (su_float.size() != 0) // 说明里面有小数ret = ret + "." + su_float;return ret;
}

加减法总结

 通过减法可以利用该函数实现加法中的正数加负数,当然在面对小减大的情况时,需要通过一个比较函数来判断两数的绝对值大小处理完之和直接在最终结果的字符串前头插一个” - " 即可,加减法无非以下几种情况:

   加减法所有可能情况
式子形式大小比较结果大小
正数a + 正数b两者都大于0大于0
正数a + 负数b| a | >= | b |大于等于0
正数a + 负数b| a | < | b |小于0
负数a + 负数b两者都小于0小于0

正数a - 正数b

| a | >= | b |大于等于0
正数a - 负数ba >= 0    b < 0大于0
负数a - 正数ba < 0    b >= 0小于0
负数a - 负数b| a | >= | b |小于0

负数a - 负数b

| a | < | b |大于0

 以下代码为绝对值化处理和比较函数的内容,大家可以根据本蒟蒻上述代码尝试其他情况的代码编写。

// 绝对值化
if (a[0] == '-')
a = a.substr(1, a.size() - 1);
if (b[0] == '-')
b = b.substr(1, b.size() - 1);// 比较函数
bool my_cmp(string a, string b) // 补0 且 绝对值化后进行比较
{// 默认 a > bfor (int i = 0; i < a.size(); i++)if (a[i] < b[i])return false;return true;
}

 乘法高精度

本题来自洛谷题库:P1303 A*B Problem,相比加减法的高精度,乘法的高精度相对麻烦一些,但是归根结底还是运用字符串来实现位数的变化,其主要区别在于进位,加减法的进位只会是1,但是乘法的进位可以达到8(9 * 9 = 81),本文不探讨除法的高精度,个人认为除法的高精度不常见,接下来我们试着解决上题。

注意特殊情况:0和任何数相乘都为0!!!


两个正整数相乘

以 679 x 58 为例,看以下图片如何模拟该乘法过程:

 可以看到乘法内部实际为多个加法操作的求和,我们可以在上面的加法操作上进行修改:

// 整数部分 // 全是正数
string mul_int(string a, string b)
{if (a == "0" || b == "0")//处理特例return "0";string ret = "0"; // 存放最终结果int d = 0;// 记录进位string longer = a, shorter = b; // 假设法if (a.size() < b.size())swap(longer, shorter);int n = shorter.size(); // 乘的次数reverse(longer.begin(), longer.end()); reverse(shorter.begin(), shorter.end()); //逆置后位数顺序for (int i = 0; i < n; i++){string str; // 临时存放数据for (int j = 0; j < longer.size(); j++){int tmp = 0, tmp_longer = longer[j] - '0', tmp_shorter = shorter[i] - '0';tmp = tmp_longer * tmp_shorter + d; //加上进位d = tmp / 10;tmp %= 10;str.push_back(tmp + '0');}if (d != 0) //比原数多一位str.push_back(d + '0');reverse(str.begin(), str.end());for (int z = 1; z <= i; z++) // 从十位开始就要后面补0str.push_back('0');ret = add_int(ret, str);// 调用上述两整数相加运算d = 0; // 用完复位}return ret;
}

两个正小数相乘

小数相乘可以利用上面的正整数相乘,回想一下小学时期如何解决小数相乘问题的?

本蒟蒻总结了以下几个步骤:

  1. 计算两数小数点后几位之和
  2. 小数前面的0全部去掉
  3. 整数相乘
  4. 添加小数点

光看文字可能有些抽象,我们来看图片:

 根据上面图片是不是思路更加清晰了呢?下面我们来实现代码操作:

// 小数部分 // 全是正数
string mul(string a, string b)
{if (a == "0" || b == "0")//处理特例return "0";auto it_a = a.find('.'), it_b = b.find('.');string a_int = a, b_int = b, a_float, b_float; // 默认a b是整数if (it_a != -1)// 找到小数点了就要分成两部分{a_int = a.substr(0, it_a); // 把整数部分裁下来a_float = a.substr(it_a + 1, a.size() - it_a); // 把小数部分裁下来}if (it_b != -1){b_int = b.substr(0, it_b);b_float = b.substr(it_b + 1, b.size() - it_b); // 同上}int n = a_float.size() + b_float.size();if (a_int == "0")a_int.clear();if (b_int == "0")b_int.clear();a = a_int + a_float, b = b_int + b_float; // 拼起来string ret = mul_int(a, b); int nret = ret.size();if (n >= nret)// 不够还要补0{//为什么不用insert? 如果要头插大量0,insert时间复杂度太高reverse(ret.begin(), ret.end()); //逆置尾插0for (int i = 0; i <= n - nret; i++)ret.push_back('0');ret.insert(n, 1, '.'); //这里的insert只要挪一个0就行  好好思考为什么reverse(ret.begin(), ret.end());}elseret.insert(nret - n, 1, '.');return ret;
}

上述代码我将含有小数和整数的数字合并在一起,该函数可以处理各种正数相乘。


乘法总结

乘法一共有以下几种情况,需要注意以下两点:

  1. 两个小数相乘不会向整数位进位
  2. 0乘任何数都为0

乘法需要考虑以下所有情况: 

                                                     乘法所有可能情况
式子形式大小比较结果大小
0 x 任何数0
正数a x 正数b两者都大于0大于0
正数a x 负数ba > 0   b < 0小于0
负数a x 负数ba < 0   b < 0大于0
整数a x 小数b两者都大于0(相当于除法)大于0
小数a x 小数b两者都大于0大于0且小于1

最后附上以上的测试代码,供大家调试:

int main()
{string sa, sb, ans; cin >> sa >> sb;//ans = add_int(sa, sb);//ans = add_float(sa, sb);//ans = add(sa, sb);//ans = sub_int(sa, sb);//ans = sub_float(sa, sb);//ans = sub(sa, sb);//ans = mul_int(sa, sb);ans = mul(sa, sb);cout << ans << endl;return 0;
}

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