树的概念与二叉树的实现

一. 树的概念

二. 访问树的方法

1. 左孩子右兄弟法

2. 双亲表示法

3. 顺序表存孩子的指针（孩子表示法）

三. 二叉树

1. 二叉树的定义

2. 特殊二叉树

3. 二叉树的性质

4. 存储方式

四. 二叉树的前中后序遍历

1. 前序遍历

2. 中序遍历

3. 后序遍历

4.完整代码

一. 树的概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n(n>=0)个有限节点组成的一个具有层次关系的集合。将其称为树是因为，其看起来像一颗翻转的树(根朝上，叶朝下)。最上面的节点是一个特殊的节点，称之为根节点。根节点没有前驱结点，除根节点外，其余节点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、T3……、Tm。其中每一个集合Ti(1<=i<=m)又是一颗结构与树类似的字数。每棵子树的根节点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继，因此树是递归定义的

不能出现多个节点指向同一节点的情况(如上图)

1. 节点的度	一个节点链接了多少子节点，度就为多少
2.叶结点或终端节点	度为0的节点，不为0就为分支节点和非终端节点，如上图E、F、G、C、H等
3. 双亲节点或父节点	若一个节点含有子节点，称此节点为其子节点的父节点，如上图A为B\C\D的父节点
4. 孩子节点或子节点	一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点，B\C\D为A的子节点
5. 兄弟节点	具有相同父节点的节点互相称为兄弟节点，如上图B\C\D互为兄弟节点
6. 树的度	一棵树中最大节点的度称为树的度，如上图，树的度为3
7. 节点的层次	从根开始定义起，根为第一层，根的子结点为第二层，以此类推
8. 树的高度	书中节点的最大层次，如上图树的高度为3
9.堂兄弟节点	双亲在同一层的节点互为堂兄弟，如上图E和H互为堂兄弟节点
10. 节点的祖先	从根到该节点所经分支上的所有节点，上图中A，B是E\F\G的祖先
11. 子孙	以某节点为根的子树中任意一个节点都称为该节点的子孙。上图中所有节点都是A的子孙
12. 森林	由m(m>0)棵互不相交的树的集合称为森林

二. 访问树的方法

用一下方法来表示上图中的树

1. 左孩子右兄弟法

链接方式如下图所示

2. 双亲表示法

让每个节点记住其父节点的位置。存储数据元素的节点由两部分组成，1.存储数据元素 2. 存储父节点位置的字段

数组下标	节点名称	双亲的下标
0	A	-1(根节点特殊处理)
1	B	0
2	C	0
3	D	1
4	E	1
5	F	1
6	G	2
7	H	4
8	I	4

3. 顺序表存孩子的指针（孩子表示法）

由链表和顺序表混合实现

节点定义1.：每个节点包含两部分，数据域来存储数据，另一部分为孩子链表指针，指向一个链表

2. 定义一个顺序表：用来定义存储所有节点的一个数组

3. 定义孩子链表：包含数据data和指向下一个孩子链表节点的指针next

结果图如下

三. 二叉树

1. 二叉树的定义

二叉树每个节点最多有两个子节点，被称为左子树和右子树。所有的二叉树都分为三部分：根，左子树，右子树

2. 特殊二叉树

（1）满二叉树一个二叉树，每层的节点数都达到最大值，如果有k层，节点树为2的k次方-1就是满二叉树,如下图所示

即为满二叉树

（2）完全二叉树：树的高度是h，前h-1层都是满的，最后一层不满，在最后一层从左往右都是连续的（满二叉树是特殊的完全二叉树，缺0个节点）如下图所示

、

即为完全二叉树

3. 二叉树的性质

（1）若规定根节点层数为1一颗非空二叉树最多有2的（h-1）次方个节点（h为深度）

（2）根节点层数为1深度为h的二叉树最大节点个数为2的n次方-1(满二叉树)

（3）任何一个二叉树，度为0其叶节点个数为N0，度为2的分支节点个数为N2，则有N0=N2+1

（4）若规定根节点层数为1，具有n个节点的满二叉树的深度：h=logN+1（底数为2）

4. 存储方式

分别为用链表存储和用数组存储

用数组存储的话可以通过双亲节点与子节点下标间的映射关系来存储二叉树

我们这里用链表来实现

typedef int TreeType;
typedef struct Tree
{TreeType a;struct Tree* left;struct Tree* right;
}Tree;

四. 二叉树的前中后序遍历

1. 前序遍历

先输出根节点再输出左子树再输出右子树

递归实现

void PrevOrder(Tree* root)
{if (root == NULL){printf("NULL ");return;}printf("%d ", root->a);//根PrevOrder(root->left);//左子树PrevOrder(root->right);//柚子树
}

非递归方法实现前序遍历，需要用到栈以及栈的插入，删除，初始化，判空等功能（中序，后序遍历同上）

void PrevOrder2(Tree* root)
{assert(root);ST s;StackInit(&s);Tree* p = root;while (p||!StackEmpty(&s)){if (p != NULL){printf("%d  ", p->a);//输出根StackPush(&s,p);//将"根"存进去p = p->left;//往左子树走}else//左子树走到头{p = StackTop(&s);StackPop(&s);p = p->right;//若此节点还有右子树就执行上面的输出操作，若还是空就来继续pop节点}}
}

2. 中序遍历

先打印输出左子树，再输出根节点再输出右子树

递归实现：

void InOrder(Tree* root)//中序遍历
{if (root == NULL){printf("NULL ");return;}InOrder(root->left);//左子树printf("%d ", root->a);//根InOrder(root->right);//柚子树
}

非递归实现：

void InOrder2(Tree* root)
{assert(root);ST s;StackInit(&s);Tree* p = root;while (p || !StackEmpty(&s)){if (p != NULL){StackPush(&s, p);//先存节点，先进去的后出来p = p->left;//找最左边的节点}else//到最左边了{p = StackTop(&s);printf("%d  ", p->a);//输出最左边值StackPop(&s);p = p->right;//往右走看有没有节点}}
}

3. 后序遍历

先打印输出左子树，再右子树，再输出根节点

递归代码：

void PostOrder(Tree* root)
{if (root == NULL){printf("NULL ");return;}PostOrder(root->left);//左子树PostOrder(root->right);//柚子树printf("%d ", root->a);//根
}

非递归代码：

void PostOrder2(Tree* root)
{assert(root);ST s;StackInit(&s);Tree* p = root;Tree* k = root;while (p || !StackEmpty(&s)){while (p != NULL){StackPush(&s, p);p = p->left;//直接走到最左边}p = StackTop(&s);//if (p->right&&p->right!=k)//看是否有右子树{p = p->right;//往右走，循环开始后又会走到此节点的最左边}else{printf("%d  ", p->a);k = p;//将右子树记录下来，否则会死循环p = NULL;//将p置为空，否则循环开始会再次走到最左边StackPop(&s);}}
}

4.完整代码

typedef int TreeType;typedef struct Tree
{TreeType a;struct Tree* left;struct Tree* right;
}Tree;typedef Tree* StackType;typedef struct Stack
{StackType* a;int Top;int capacity;
}ST,*pS;void StackInit(pS pst)
{assert(pst);pst->a = NULL;pst->capacity = 0;pst->Top = 0;
}
void BuyNode(pS pst)
{int newcapacity = pst->capacity == 0 ? 4 : pst->capacity * 2;StackType* tmp = (StackType*)realloc(pst->a, sizeof(StackType) * newcapacity);if (tmp == NULL){perror("relloc fail");return;}pst->a = tmp;pst->capacity = newcapacity;
}
void StackPush(pS pst, StackType data)
{assert(pst);if (pst->Top == pst->capacity){BuyNode(pst);}pst->a[pst->Top] = data;pst->Top++;
}void StackPop(pS pst)
{assert(pst);pst->Top--;//数组里的值不用改，再添加数据会覆盖掉
}StackType StackTop(pS pst)
{assert(pst);return pst->a[pst->Top - 1];
}bool StackEmpty(pS pst)
{assert(pst);return pst->Top == 0;
}void PrevOrder(Tree* root)
{if (root == NULL){printf("NULL ");return;}printf("%d ", root->a);//根PrevOrder(root->left);//左子树PrevOrder(root->right);//柚子树
}
void PrevOrder2(Tree* root)
{assert(root);ST s;StackInit(&s);Tree* p = root;while (p||!StackEmpty(&s)){if (p != NULL){printf("%d  ", p->a);//输出根StackPush(&s,p);//将"根"存进去p = p->left;//往左子树走}else//左子树走到头{p = StackTop(&s);StackPop(&s);p = p->right;//若此节点还有右子树就执行上面的输出操作，若还是空就来继续pop节点}}
}
void InOrder(Tree* root)//中序遍历
{if (root == NULL){printf("NULL ");return;}InOrder(root->left);//左子树printf("%d ", root->a);//根InOrder(root->right);//柚子树
}
void InOrder2(Tree* root)
{assert(root);ST s;StackInit(&s);Tree* p = root;while (p || !StackEmpty(&s)){if (p != NULL){StackPush(&s, p);//先存节点，先进去的后出来p = p->left;//找最左边的节点}else//到最左边了{p = StackTop(&s);printf("%d  ", p->a);//输出最左边值StackPop(&s);p = p->right;//往右走看有没有节点}}
}
void PostOrder(Tree* root)
{if (root == NULL){printf("NULL ");return;}PostOrder(root->left);//左子树PostOrder(root->right);//柚子树printf("%d ", root->a);//根
}
void PostOrder2(Tree* root)
{assert(root);ST s;StackInit(&s);Tree* p = root;Tree* k = root;while (p || !StackEmpty(&s)){while (p != NULL){StackPush(&s, p);p = p->left;//直接走到最左边}p = StackTop(&s);//if (p->right&&p->right!=k)//看是否有右子树{p = p->right;//往右走，循环开始后又会走到此节点的最左边}else{printf("%d  ", p->a);k = p;//将右子树记录下来，否则会死循环p = NULL;//将p置为空，否则循环开始会再次走到最左边StackPop(&s);}}
}int main()
{Tree* a = (Tree*)malloc(sizeof(Tree));a->a = 2;a->left = NULL;a->right = NULL;Tree* b = (Tree*)malloc(sizeof(Tree));b->a = 3;b->left = NULL;b->right = NULL;Tree* c = (Tree*)malloc(sizeof(Tree));c->a = 1;c->left = NULL;c->right = NULL;Tree* d = (Tree*)malloc(sizeof(Tree));d->a = 5;d->left = NULL;d->right = NULL;Tree* e = (Tree*)malloc(sizeof(Tree));e->a = 6;e->left = NULL;e->right = NULL;Tree* f = (Tree*)malloc(sizeof(Tree));f->a = 8;f->left = NULL;f->right = NULL;a->left = b;a->right = c;b->left = d;b->right = e;d->right = f;//PrevOrder2(a);//InOrder(a);//InOrder2(a);//PostOrder(a);PostOrder2(a);//int size = 0;//printf("%d ", size);//printf("\n%d \n", TreeSize(a));//printf("\n%d \n", TreeLeafSize(c));return 0;
}

这篇就到这里啦~

希望能给你带来一些帮助 (๑′ᴗ‵๑)Ｉ Lᵒᵛᵉᵧₒᵤ❤