数据结构第09节：二叉树

树是一种非线性的数据结构，它由节点和边组成。每个节点可以有零个或多个子节点。在树中，没有循环，并且所有的节点都是通过边连接的。

  1. 树的基本概念：

    • 根节点：没有父节点的唯一节点。
    • 子节点：一个节点可以直接拥有零个或多个子节点。
    • 父节点：每个子节点都有一个父节点，除了根节点。
    • 叶子节点：没有任何子节点的节点。
    • 兄弟节点：具有相同父节点的节点。
    • 路径：从一个节点到另一个节点的一系列连续的边。
    • 深度：从根节点到特定节点的路径长度。
    • 高度：树中任何节点的最大深度。

  2. Java中的树实现：

下面是一个简单的二叉树的例子：

public class TreeNode {int val;TreeNode left;TreeNode right;TreeNode(int x) {val = x;}
}public class BinaryTree {TreeNode root;public BinaryTree() {root = null;}public void add(int value) {root = addRecursive(root, value);}private TreeNode addRecursive(TreeNode current, int value) {if (current == null) {return new TreeNode(value);}if (value < current.val) {current.left = addRecursive(current.left, value);} else if (value > current.val) {current.right = addRecursive(current.right, value);}return current;}
}

在这个例子中，我们创建了一个二叉树，其中每个节点最多有两个子节点：左子节点和右子节点。我们还实现了一个添加新节点的方法，该方法会根据新值与当前节点值的大小关系，将新节点添加到左子树或右子树。

  1. 使用案例：

假设我们要创建一个学生信息的二叉搜索树，我们可以使用上面定义的二叉树类，但是我们需要修改节点类以存储学生的姓名和年龄，如下所示：

public class StudentNode {String name;int age;StudentNode left;StudentNode right;StudentNode(String name, int age) {this.name = name;this.age = age;}
}

然后，我们可以创建一个新的二叉树，并添加学生信息：

public class StudentTree {StudentNode root;public StudentTree() {root = null;}public void addStudent(String name, int age) {root = addStudentRecursive(root, name, age);}private StudentNode addStudentRecursive(StudentNode current, String name, int age) {if (current == null) {return new StudentNode(name, age);}if (age < current.age) {current.left = addStudentRecursive(current.left, name, age);} else if (age > current.age) {current.right = addStudentRecursive(current.right, name, age);}return current;}
}

在这个例子中，我们创建了一个新的二叉树，用于存储学生的信息。我们使用学生的年龄作为比较标准，将学生信息添加到树中。

让我们继续扩展上述的学生信息二叉搜索树的案例，这次我们将添加查找学生信息的功能。

首先，我们需要在StudentNode类中添加一个toString()方法，以便我们可以打印出学生的信息：

public class StudentNode {String name;int age;StudentNode left;StudentNode right;StudentNode(String name, int age) {this.name = name;this.age = age;}@Overridepublic String toString() {return "StudentNode{" +"name='" + name + '\'' +", age=" + age +'}';}
}

然后，在StudentTree类中，我们可以添加一个查找学生信息的方法：

public class StudentTree {// ...public StudentNode findStudent(int age) {return findStudentRecursive(root, age);}private StudentNode findStudentRecursive(StudentNode current, int age) {if (current == null) {return null;}if (age == current.age) {return current;}if (age < current.age) {return findStudentRecursive(current.left, age);} else {return findStudentRecursive(current.right, age);}}
}

这个findStudent()方法会返回指定年龄的学生信息，如果找不到，则返回null。

现在，我们可以创建一个main()方法来测试我们的二叉搜索树：

public class Main {public static void main(String[] args) {StudentTree tree = new StudentTree();tree.addStudent("Alice", 20);tree.addStudent("Bob", 22);tree.addStudent("Charlie", 18);System.out.println(tree.findStudent(20)); // 输出: StudentNode{name='Alice', age=20}System.out.println(tree.findStudent(22)); // 输出: StudentNode{name='Bob', age=22}System.out.println(tree.findStudent(18)); // 输出: StudentNode{name='Charlie', age=18}System.out.println(tree.findStudent(25)); // 输出: null}
}

在这个例子中，我们首先创建了一个学生信息的二叉搜索树，并添加了三个学生的信息。然后，我们使用findStudent()方法查找并打印出学生的信息。

接下来，我们可以在StudentTree类中添加删除学生信息的功能。

首先，我们创建一个删除学生信息的方法，这可能比添加和查找更复杂，因为我们需要处理三种情况：删除的节点是叶子节点、删除的节点有一个子节点、删除的节点有两个子节点。

public class StudentTree {// ...public void deleteStudent(int age) {root = deleteStudentRecursive(root, age);}private StudentNode deleteStudentRecursive(StudentNode current, int age) {if (current == null) {return null;}if (age == current.age) {if (current.left == null && current.right == null) {return null;}if (current.right == null) {return current.left;}if (current.left == null) {return current.right;}int smallestValue = findMin(current.right);current.age = smallestValue;current.right = deleteStudentRecursive(current.right, smallestValue);return current;}if (age < current.age) {current.left = deleteStudentRecursive(current.left, age);return current;}current.right = deleteStudentRecursive(current.right, age);return current;}private int findMin(StudentNode node) {return node.left == null ? node.age : findMin(node.left);}
}

在这个例子中，deleteStudent()方法会删除指定年龄的学生信息。如果要删除的节点是叶子节点或者只有一个子节点，那么我们直接删除该节点即可。如果要删除的节点有两个子节点，我们找到其右子树中的最小节点（即下一个最大的节点），用它替换要删除的节点，然后删除这个最小节点。

最后，我们可以在Main类中测试一下删除功能：

public class Main {public static void main(String[] args) {StudentTree tree = new StudentTree();tree.addStudent("Alice", 20);tree.addStudent("Bob", 22);tree.addStudent("Charlie", 18);System.out.println(tree.findStudent(20)); // 输出: StudentNode{name='Alice', age=20}tree.deleteStudent(20);System.out.println(tree.findStudent(20)); // 输出: nullSystem.out.println(tree.findStudent(22)); // 输出: StudentNode{name='Bob', age=22}tree.deleteStudent(22);System.out.println(tree.findStudent(22)); // 输出: nullSystem.out.println(tree.findStudent(18)); // 输出: StudentNode{name='Charlie', age=18}tree.deleteStudent(18);System.out.println(tree.findStudent(18)); // 输出: null}
}

在这个例子中，我们首先创建了一个学生信息的二叉搜索树，并添加了三个学生的信息。然后，我们使用deleteStudent()方法删除学生信息，再使用findStudent()方法验证是否删除成功。

在上一节中，我们已经实现了二叉搜索树的添加、查找和删除操作。接下来，我们将实现遍历操作。二叉树的遍历主要有三种方式：前序遍历、中序遍历和后序遍历。

前序遍历的顺序是：先访问根节点，然后递归地进行左子树的前序遍历，最后递归地进行右子树的前序遍历。

中序遍历的顺序是：先递归地进行左子树的中序遍历，然后访问根节点，最后递归地进行右子树的中序遍历。

后序遍历的顺序是：先递归地进行左子树的后序遍历，然后递归地进行右子树的后序遍历，最后访问根节点。

我们将在StudentTree类中添加这些遍历方法：

public class StudentTree {// ...public void preOrderTraversal() {preOrderTraversalRecursive(root);}private void preOrderTraversalRecursive(StudentNode node) {if (node != null) {System.out.print(node + " ");preOrderTraversalRecursive(node.left);preOrderTraversalRecursive(node.right);}}public void inOrderTraversal() {inOrderTraversalRecursive(root);}private void inOrderTraversalRecursive(StudentNode node) {if (node != null) {inOrderTraversalRecursive(node.left);System.out.print(node + " ");inOrderTraversalRecursive(node.right);}}public void postOrderTraversal() {postOrderTraversalRecursive(root);}private void postOrderTraversalRecursive(StudentNode node) {if (node != null) {postOrderTraversalRecursive(node.left);postOrderTraversalRecursive(node.right);System.out.print(node + " ");}}
}

然后，我们可以在Main类中测试一下遍历功能：

public class Main {public static void main(String[] args) {StudentTree tree = new StudentTree();tree.addStudent("Alice", 20);tree.addStudent("Bob", 22);tree.addStudent("Charlie", 18);System.out.println("Pre-order traversal:");tree.preOrderTraversal(); // 输出: StudentNode{name='Charlie', age=18} StudentNode{name='Alice', age=20} StudentNode{name='Bob', age=22}System.out.println("\nIn-order traversal:");tree.inOrderTraversal(); // 输出: StudentNode{name='Charlie', age=18} StudentNode{name='Alice', age=20} StudentNode{name='Bob', age=22}System.out.println("\nPost-order traversal:");tree.postOrderTraversal(); // 输出: StudentNode{name='Charlie', age=18} StudentNode{name='Bob', age=22} StudentNode{name='Alice', age=20}}
}

在这个例子中，我们首先创建了一个学生信息的二叉搜索树，并添加了三个学生的信息。然后，我们分别进行了前序遍历、中序遍历和后序遍历，并打印出了遍历结果。

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