矩阵快速幂

矩阵：

一个矩阵 $A$，是由 $n\times m$ 个数字组成，$B$ 由 $m\times p$ 组成，详见下。
$$\begin{gathered} A=\left[\begin{array}{c}{a}_{1,1},a_{1,2},a_{1,3}\cdots a_{1,m}\\ a_{2,1},a_{2,2},a_{2,3}\cdots a_{2,m}\\ \cdot \\ \cdot \\ \cdot \\ a_{n,1},a_{n,2},a_{n,3}\cdots a_{n,m}\end{array}\right] \\ B=\left[\begin{array}{c}{b}_{1,1},b_{1,2},b_{1,3}\cdots b_{1,p}\\ b_{2,1},b_{2,2},b_{2,3}\cdots b_{2,p}\\ \cdot \\ \cdot \\ \cdot \\ b_{m,1},b_{m,2},b_{m,3}\cdots b_{m,p}\end{array}\right] \end{gathered}$$
注意到，$A$ 的列数与 $B$ 的行数均为 $m$，将其定义为可以进行矩阵乘法的两个矩阵。

如何相乘？

若其乘积为矩阵 $C$，则 $C$ 为一个 $n\times p$ 的矩阵，乘积过程为：
$$c_{i,j}=\sum _{k=1}^m{a}_{i,k}\times b_{k,j}$$
代码：

for(int k=1;k<=n;k++)for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)c[i][j]+=a[i][k]*b[k][j];

这不就是Floyd吗。。

将 $A$ 描述成 $n$ 个行向量的集合，$B$ 表示为 $p$ 个列向量的集合，如下。
$$\begin{gathered} A=\left[\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ a_3\\ \cdot \\ \cdot \\ \cdot \\ a_n\end{array}\right] \\ B=\left[\begin{array}{c}{b}_1,b_2,b_3\cdots b_p\end{array}\right] \end{gathered}$$
则 $C$ 为：
$$C=\left[\begin{array}{c}{a}_1\times b_1,a_1\times b_2,a_1\times b_3\cdots a_1\times b_p\\ a_2\times b_1,a_2\times b_2,a_2\times b_3,\cdots a_2\times b_p\\ \cdot \\ \cdot \\ \cdot \\ a_n\times b_1,a_n\times b_2,a_n\times b_3\cdots a_n\times b_p\end{array}\right]$$

上文提到，若 $A$ 与 $B$ 有一个 $m$ 相等，则它们有一个单位元，可以使其相乘后不影响结果。

更清楚的具体方法如下，可以更好地解释上句话。

• 以 $A$ 的每个成员去匹配 $B$​ 的每个成员

例题：P3390 【模板】矩阵快速幂

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod=1e9+7,MAXN=105;
ll n,m;
ll ans[MAXN][MAXN],a[MAXN][MAXN],t[MAXN][MAXN];
inline void mul1()
{memset(t,0,sizeof(t));for(ll k=1;k<=n;k++)for(ll i=1;i<=n;i++)for(ll j=1;j<=n;j++)t[i][j]=(t[i][j]+ans[i][k]*a[k][j])%mod;for(ll i=1;i<=n;i++)for(ll j=1;j<=n;j++)ans[i][j]=t[i][j];return;
}
inline void mul2()
{memset(t,0,sizeof(t));for(ll k=1;k<=n;k++)for(ll i=1;i<=n;i++)for(ll j=1;j<=n;j++)t[i][j]=(t[i][j]+a[i][k]*a[k][j])%mod;for(ll i=1;i<=n;i++)for(ll j=1;j<=n;j++)a[i][j]=t[i][j];return;
}
inline void quickpow()
{while(m){if(m&1)mul1();mul2();//千万不能加else！！！（血泪教训）m>>=1;}return;
}
int main(){scanf("%lld%lld",&n,&m);for(ll i=1;i<=n;i++)for(ll j=1;j<=n;j++)scanf("%lld",&a[i][j]);for(ll i=1;i<=n;i++)ans[i][i]=1;quickpow();for(ll i=1;i<=n;i++){for(ll j=1;j<=n;j++)printf("%lld ",ans[i][j]%mod);putchar('\n');}return 0;
}