算法设计与分析：分治法求最近点对问题

一、实验目的

二、实验内容

三、算法思想

四、实验步骤

1、蛮力法

2、分治法

2.1 先用快速排序SortX(A,1,n)将所有点按x坐标升序排序

2.2 点数n<=3时直接计算，时间复杂度为O(1)

2.3 点数n>3时

五、实验结果和分析

一、实验目的

1. 掌握分治法思想；

2. 学会最近点对问题求解方法。

二、实验内容

1. 对于平面上给定的N个点，给出所有点对的最短距离，即，输入是平面上的N个点，输出是N点中具有最短距离的两点。

2. 要求随机生成N个点的平面坐标，应用蛮力法编程计算出所有点对的最短距离。

3. 要求随机生成N个点的平面坐标，应用分治法编程计算出所有点对的最短距离。

4. 分别对N=100000~1000000，统计算法运行时间，比较理论效率与实测效率的差异，同时对蛮力法和分治法的算法效率进行分析和比较。

5. 如果能将算法执行过程利用图形界面输出，可获加分。

三、算法思想

1. 预处理：根据输入点集S中的x轴和y轴坐标进行排序，得到X和Y,很显然此时X和Y中的点就是S中的点。

2. 点数较少时的情形

3. 点数|S|>3时，将平面点集S分割成为大小大致相等的两个子集SL和SR，选取一个垂直线L作为分割直线，如何以最快的方法尽可能均匀平分？注意这个操作如果达到效率O(n^2)，将导致整个算法效率达O(n^2)。

4. 两个递归调用，分别求出SL和SR中的最短距离为dl和dr。

5. 取d=min(dl, dr)，在直线L两边分别扩展d，得到边界区域Y，Y'是区域Y中的点按照y坐标值排序后得到的点集（为什么要排序？），Y'又可分为左右两个集合Y'L和Y'R

6. 对于Y'L中的每一点，检查Y'R中的点与它的距离，更新所获得的最近距离，注意这个步骤的算法效率，请务必做到线性效率，并在实验报告中详细解释为什么能做到线性效率？

四、实验步骤

先定义全局变量和点结构：

#define max 1000000000;//假定最大距离
int n,m,**v;
//n为规模,m为创建点集合过程时的点数,v用于判断是否已有该点（rand不产生大于40000的数）
double time1,time2;//蛮力法、分治法花费的时间
double dt1,dt2=max;//蛮力法、分治法求得的最近距离
//---------------------------
struct D{//点结构int x=0,y=0;
};
D a1,b1,a2,b2;//a1、b1为蛮力法求得的点的下标，a2、b2为分治法求得的点的下标
D *k,*p;//蛮力法、分治法用的点集合

1、蛮力法

对前面n-1个点的每一个点，均与在其后面的每个点进行距离计算，并与最小距离min比较，若比min小，则更新min的值，时间复杂度为O(n2)。

伪代码：

Manli(A)min=Infinity//最小距离for i=0 to A.length-1for j=i+1 to A.lengthd=dis(A[i],A[j])//A[i]、A[j]两点的距离if d<minmin=da=ib=ja1=ab1=breturn min

2、分治法

2.1 先用快速排序SortX(A,1,n)将所有点按x坐标升序排序

方便分治均匀，时间复杂度为O(nlgn)。

SortX(l,r)i=l,j=r,keyx=A[l].x,keyy=A[l].y //Array A is a global variablewhile i<jwhile i<j and A[j].x>=keyxj--if i<jA[i]=A[j]i++elsebreakwhile i<j and A[i].x<=keyxi++if i<jA[j]=A[i]j--A[i].x=keyx,A[i].y=keyyif(l<i-1) SortX(l,i-1)if(i+1<r) SortX(i+1,r)

2.2 点数n<=3时直接计算，时间复杂度为O(1)

2.3 点数n>3时

将平面点集S分割成为大小大致相等的两个子集SL和SR，选取一个垂直线L（以x坐标居中的为分治点，上面已排序好了）作为分割直线。

两个子集递归调用（当只有一个元素时返回无穷大，两个时按y升序排序这两个元素），分别求出SL和SR中的最短距离dl和dr。

取最小值d=min(dl, dr)，在直线L两边分别扩展d，得到边界区域Y。

然后用Marge（l,mid,r）函数按纵坐标升序归并左右两部分点集合，时间复杂度O(n)

由于前面点已按y升序排序，所以在区域Y中，两点距离小于当前min的可能情况为在一个长2*d,、宽d的长方形内。

由于已知两边的最小距离为d，则对在这个长方形内任意一点P，距P为d的点Q的个数不超过6个，例如下面的点P最多在左右两个正方形的6条边上各有一个点距P为d(但是此情况下，在同一个正方形内的其他两个点的距离已经小于当前最小距离小于d了，所以可能的点数不超过6）；

再或者是说，在这个长方形内，最多就六个点相距d，即六个顶点。

所以，只需要对t点集中的每个点与其后面的5个点比较距离是否小于当前最小距离d并更新d就行。时间复杂度O(n)。

综上所述,T(n)=2*T(n/2)+f(n)。f(n)为Marge和遍历t点集，时间复杂度均为O(n),共递归lgn次，则时间复杂度为O(nlgn)。前面按x坐标排序的时间复杂度为O(nlgn)，所以总的时间复杂度为O(nlgn)。

伪代码如下：

Fenzhi(l,r)if l==r //一个点return max //直接返回无穷大if l+1==r //两个点，按y升序排序D x1=A[l],x2=A[r]A[l]=x1.y<x2.y?x1:x2A[r]=x1.y>=x2.y?x1:x2if dis(A[l],A[r]) < dt2)dt2=dis(A[l],A[r])a2=A[l]b2=A[r]return dis(A[l],A[r])if l+1<r //点数大于2mid=(r+l)/2 mid为分治中点，将点集合划分为左右均匀的两部分d=min(Fenzhi(l,mid),Fenzhi(mid+1,r))//d取左右两部分最小距离的较小值if d < dt2)dt2=dis(A[l],A[r])a2=A[l]b2=A[r]Merge(l,mid,r) //按纵坐标升序归并左右两部分的点D *t=new Point[r-l+1]//记录跨中线且距离分治中点d水平距离小于当前最小值d的异侧点tn=0 //t点集的元素个数for i=1 to rif A[i].x>(A[i].x-d) and A[i].x<(A[i].x+d)//异侧且距分治中心mid小于d则入tt[tn++]=A[i]for i=0 to tn-1for j=i+1 to tn-1 and j<i+6 //往后判断5个点//t[]中y升序，若y坐标差已超过当前d，break，判断下一个点if t[j].y-t[i].y>dbreakif dis(t[i],t[j])<d //如果当前点距离小于等于当前d，则对最小距离d进行更新d=dis(t[i],t[j])if d < dt2a2=t[i]b2=t[j]return d //返回当前分治的最小距离

运行结果如下（取其中两例）：两种方法求得的最近距离一致（虽然不一定是同一对点），且分治法更快。可见算法查找正确。

五、实验结果和分析

分别对N=100000~1000000，统计算法运行时间，比较理论效率与实测效率的差异，同时对蛮力法和分治法的算法效率进行分析和比较。

这里修改了代码，对每个规模N均运行5趟取平均时间。

算法	规模N：	5000	10000	20000	30000	50000	70000	100000
蛮力法	实测效率/s	0.334	1.2372	4.7186	10.0754	30.1722	59.1302	120.953
蛮力法	理论效率/s	0.3076	1.2304	4.9216	11.0736	30.76	60.2896	123.04
表1
算法	规模N:	50000	100000	200000	300000	500000	700000	1000000
分治法	实测效率/s	0.058	0.156	0.266	0.3618	0.726	1.012	1.44
分治法	理论效率/s	0.0601	0.1278	0.271	0.42	0.7283	1.0458	1.5336