[信号与系统]FIR滤波器的几种常见窗口法计算方法

FIR滤波器的几种常见窗口法计算方法

1. 矩形窗口（Rectangular Window）

矩形窗口直接截断理想脉冲响应，无额外的平滑效果。它简单但会引入较大的旁瓣效应。

$\quad 0 \le n \le N-1$

2. 汉宁窗口（Hanning Window）

汉宁窗口使用平滑的余弦函数，有效减少旁瓣效应。

$\left(1 - \cos\left(\frac{2\pi n}{N-1}\right)\right), \quad 0 \le n \le N-1$

3. 汉明窗口（Hamming Window）

汉明窗口是汉宁窗口的变种，进一步减少旁瓣效应，适用于大多数实际应用。

$\cos\left(\frac{2\pi n}{N-1}\right), \quad 0 \le n \le N-1$

4. 布莱克曼窗口（Blackman Window）

布莱克曼窗口具有更好的旁瓣抑制效果，适用于需要高频率分辨率的情况。

$\cos\left(\frac{2\pi n}{N-1}\right) + 0.08 \cos\left(\frac{4\pi n}{N-1}\right), \quad 0 \le n \le N-1$

5. 凯撒窗口（Kaiser Window）

凯撒窗口具有可调参数 $\beta$ ，通过调整 $\beta$ 可以在主瓣宽度和旁瓣抑制之间进行权衡。

$\frac{I_0\left(\pi \beta \sqrt{1 - \left(\frac{2n}{N-1} - 1\right)^2}\right)}{I_0(\pi \beta)}, \quad 0 \le n \le N-1$

其中 $I_0$ 是零阶修正贝塞尔函数， $\beta$ 为窗口的形状参数。

应用窗口函数设计FIR滤波器的步骤

定义理想脉冲响应

假设我们设计一个理想的低通滤波器，其理想的脉冲响应为：

$h_d[n] = \frac{\sin\left(2\pi f_c \left(n - \frac{N-1}{2}\right)\right)}{\pi \left(n - \frac{N-1}{2}\right)}, \quad n \neq \frac{N-1}{2}$

当 $\frac{N-1}{2}$ 时，

$h_d\left[\frac{N-1}{2}\right] = 2 f_c$

选择窗口函数

选择适当的窗口函数 $w [n]$ 。

应用窗口函数

将窗口函数应用到理想的脉冲响应上：

$h_d[n] \cdot w[n], \quad 0 \le n \le N-1$

示例

假设我们使用汉明窗口设计一个低通FIR滤波器：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt# 定义滤波器参数
N = 51  # 滤波器长度
fc = 0.25  # 归一化截止频率（f_c = f_c_actual / f_s）# 理想脉冲响应
n = np.arange(N)
hd = np.sinc(2 * fc * (n - (N - 1) / 2))# 汉明窗口
w = 0.54 - 0.46 * np.cos(2 * np.pi * n / (N - 1))# 应用窗口函数
h = hd * w# 频率响应
H = np.fft.fft(h, 1024)
H = np.fft.fftshift(H)  # 移动零频到中心
H_dB = 20 * np.log10(np.abs(H))# 绘制时域和频域响应
plt.figure(figsize=(12, 6))plt.subplot(2, 1, 1)
plt.stem(n, h, use_line_collection=True)
plt.title('时域脉冲响应')
plt.xlabel('样本点')
plt.ylabel('幅度')plt.subplot(2, 1, 2)
f = np.linspace(-0.5, 0.5, len(H))
plt.plot(f, H_dB)
plt.title('频域响应')
plt.xlabel('归一化频率')
plt.ylabel('幅度 (dB)')
plt.grid()
plt.show()