贪心算法学习四

例题一

解法（暴⼒解法 -> 贪⼼）：

暴⼒解法：

a. 依次枚举所有的起点；

b. 从起点开始，模拟⼀遍加油的流程

贪⼼优化：

我们发现，当从 i 位置出发，⾛了 step 步之后，如果失败了。那么 [i, i + step] 这个区间内任意⼀个位置作为起点，都不可能环绕⼀圈。因此我们枚举的下⼀个起点，应该是 i + step + 1 。

例题二

解法（贪⼼）：

假设我们有⼀个数 n，它有m位数字，每⼀位数字分别是 d1,d2,......,dm 。我们想要修改这个数字，使得修改后的结果既⼩于原数字 n ，⼜满⾜单调递增和最⼤化。为了实现这个⽬标，我们需要将不满⾜递增的⾼位数字尽可能地减⼩。

⾸先，我们需要找到⼀个位置 k，使得 d 1 ≤ d 2 ≤...≤ d k > d k +1...（例如：12335412，k=4，d k=5）。这个位置 k 表⽰从⾼到低，第⼀个不满⾜单调递增的数字的位置。我们需要将这个数字减1，因为这是最⼩的减⼩量。

接下来，我们需要将低位数字都修改为9，这样可以保证修改后的数字是最⼤的，并且还能保证单调递增。修改后存在以下两种情况：

1. 如果d k −1 < dk ，则修改后的数字满⾜d 1 ≤ d 2 ≤ ... ≤ ( d k − 1) ≤ 9 ≤ ... ≤ 9 。这是因为 dk在减1的同时，低位数字被修改为 9。
2. 如果 d k −1 = dk，则修改后的数字满⾜ d 1 ≤ ... ≤ d k −1 > ( d k − 1) ≤ 9 ≤ ... ≤ 9。在这种情况下,我们仍然保证了低位数字的最⼤化和单调递增，但是可能会出现⾼位数字不再单调递增的情况。

第⼆种情况需要继续修改这个数字。我们需要找到⼀个位置 t ，使得d 1 ≤ d 2 ≤ ... < d t = d t +1 = ... = dk。这个位置 t 表⽰从⾼到低，最后⼀个⾼位数字相等的位置。我们需要将dt 减 1，并将之后的所有数字都修改为9，以满⾜d 1 ≤ d 2 ≤ ... ≤ d t − 1 ≤ 9 ≤ ... ≤ 9，即⾼位数字的单调递增和低位数字的最⼤化。

• 例如：1224444361，成功修改后的最⼤值为1223999999。

通过这种修改⽅式，我们可以得到⼀个新的数字，它既⼩于原数字 n，⼜满⾜单调递增和最⼤化。

算法思路：

1. 将整数 n 转换为字符串形式，以便于对其进⾏修改操作，并将其存储在字符串变量 str 中。

2. 初始化⼀个变量 pos，⽤于记录从⾼位到低位第⼀个不满⾜单调递增的数字的位置。初始值为 -1，表⽰在第⼀位之前。

3. 从⾼位到低位遍历字符串 str，寻找第⼀个不满⾜单调递增的数字的位置。当遇到⼀个数字⼩于前⼀个数字时，记录这个位置为 pos，并退出循环。

4. 如果 pos 被更新，说明存在需要修改的数字，执⾏以下操作：

a. 将 pos 位置后的所有数字修改为 9，这样可以保证修改后的数字是最⼤的。

b. 将 pos 位置的数字减⼀，因为这是最⼩的减少量，同时也能够保证修改后的数字仍然⼩于原数

字 n。

c. 检查 pos 前⼀位数字是否⼩于减⼀后的 pos 位置数字，如果⼩于，则说明在 pos 位置之前还有

相同的数字，需要将 pos 前⼀位数字减⼀，并将 pos 位置修改为 9。