常数变易法求解非齐次线性微分方程

文章目录

  • 常数变易法求解一阶非齐次线性微分方程
  • 常数变易法求解二阶非齐次线性微分方程
  • 例题

常数变易法求解一阶非齐次线性微分方程

对于一阶非齐次线性微分方程

y ′ + p ( x ) y = q ( x ) y' + p(x)y = q(x) y+p(x)y=q(x)

先用分离变量法求解对应的齐次方程

y ′ + p ( x ) y = 0 ⇒ y = C e − ∫ p ( x ) d x \begin{aligned} & y' + p(x)y = 0 \\ \Rightarrow & y = C e^{- \int p(x)dx} \end{aligned} y+p(x)y=0y=Cep(x)dx

C C C 改为 C ( x ) C(x) C(x),令 y = C ( x ) e − ∫ p ( x ) d x y = C(x) e^{- \int p(x)dx} y=C(x)ep(x)dx,代入原非齐次方程得

[ C ′ ( x ) e − ∫ p ( x ) d x − p ( x ) e − ∫ p ( x ) d x ] + p ( x ) e − ∫ p ( x ) d x = q ( x ) ⇒ C ′ ( x ) e − ∫ p ( x ) d x = q ( x ) ⇒ C ( x ) = ∫ q ( x ) e ∫ p ( x ) d x d x + C \begin{aligned} & \left[ C'(x) e^{- \int p(x)dx} - p(x) e^{- \int p(x)dx} \right] + p(x) e^{- \int p(x)dx} = q(x) \\ \Rightarrow & C'(x) e^{- \int p(x)dx} = q(x) \\ \Rightarrow & C(x) = \int q(x) e^{\int p(x)dx} dx + C \end{aligned} [C(x)ep(x)dxp(x)ep(x)dx]+p(x)ep(x)dx=q(x)C(x)ep(x)dx=q(x)C(x)=q(x)ep(x)dxdx+C

所以一阶非齐次线性微分方程的通解为

y = e − ∫ p ( x ) d x ( ∫ q ( x ) e ∫ p ( x ) d x d x + C ) y = e^{- \int p(x)dx} \left( \int q(x) e^{\int p(x)dx} dx + C \right) y=ep(x)dx(q(x)ep(x)dxdx+C)

常数变易法求解二阶非齐次线性微分方程

对于二阶非齐次线性微分方程

y ′ ′ + p ( x ) y ′ + q ( x ) y = f ( x ) y''+p(x)y'+q(x)y=f(x) y′′+p(x)y+q(x)y=f(x)

设对应齐次方程的两个线性无关解为 y 1 , y 2 y_1,y_2 y1,y2,则其通解为

y = C 1 y 1 + C 2 y 2 ( C 1 , C 2 为任意常数) y = C_1 y_1 + C_2 y_2(C_1,C_2为任意常数) y=C1y1+C2y2C1,C2为任意常数)

因此可设非齐次方程的特解为

y ∗ = C 1 ( x ) y 1 + C 2 ( x ) y 2 y^* = C_1(x) y_1 + C_2(x) y_2 y=C1(x)y1+C2(x)y2

为确定函数 C 1 ( x ) , C 2 ( x ) C_1(x),C_2(x) C1(x),C2(x),可对上式进行求导得

( y ∗ ) ′ = [ C 1 ′ ( x ) y 1 + C 1 ( x ) y 1 ′ ] + [ C 2 ′ ( x ) y 2 + C 2 ( x ) y 2 ′ ] = [ C 1 ′ ( x ) y 1 + C 2 ′ ( x ) y 2 ] + [ C 1 ( x ) y 1 ′ + C 2 ( x ) y 2 ′ ] \begin{aligned} (y^*)' &= [C_1'(x) y_1 + C_1(x) y_1'] + [C_2'(x) y_2 + C_2(x) y_2'] \\ &= [C_1'(x) y_1 + C_2'(x) y_2] + [C_1(x) y_1' + C_2(x) y_2'] \end{aligned} (y)=[C1(x)y1+C1(x)y1]+[C2(x)y2+C2(x)y2]=[C1(x)y1+C2(x)y2]+[C1(x)y1+C2(x)y2]

接下来对上式再进行一次求导,不过在此之前,为了使得 y ′ ′ y'' y′′ 中不含 C 1 ′ ′ ( x ) , C 2 ′ ′ ( x ) C_1''(x),C_2''(x) C1′′(x),C2′′(x),可令 C 1 ′ ( x ) y 1 + C 2 ′ ( x ) y 2 = 0 C_1'(x) y_1 + C_2'(x) y_2 = 0 C1(x)y1+C2(x)y2=0,现在对上式求导得

( y ∗ ) ′ ′ = [ C 1 ( x ) y 1 ′ + C 2 ( x ) y 2 ′ ] ′ = [ C 1 ′ ( x ) y 1 ′ + C 1 ( x ) y 1 ′ ′ ] + [ C 2 ′ ( x ) y 2 ′ + C 2 ( x ) y 2 ′ ′ ] \begin{aligned} (y^*)'' &= [C_1(x) y_1' + C_2(x) y_2']' \\ &= [C_1'(x) y_1' + C_1(x) y_1''] + [C_2'(x) y_2' + C_2(x) y_2''] \end{aligned} (y)′′=[C1(x)y1+C2(x)y2]=[C1(x)y1+C1(x)y1′′]+[C2(x)y2+C2(x)y2′′]

y , y ′ , y ′ ′ y,y',y'' y,y,y′′ 代入原非齐次方程得

[ C 1 ′ ( x ) y 1 ′ + C 1 ( x ) y 1 ′ ′ ] + [ C 2 ′ ( x ) y 2 ′ + C 2 ( x ) y 2 ′ ′ ] + p ( x ) [ C 1 ( x ) y 1 ′ + C 2 ( x ) y 2 ′ ] + q ( x ) [ C 1 ( x ) y 1 + C 2 ( x ) y 2 ] = f ( x ) ⇒ C 1 ( x ) [ y 1 ′ ′ + p ( x ) y 1 ′ + q ( x ) y 1 ] + C 2 ( x ) [ y 2 ′ ′ + p ( x ) y 2 ′ + q ( x ) y 2 ] + [ C 1 ′ ( x ) y 1 ′ + C 2 ′ ( x ) y 2 ′ ] = f ( x ) ⇒ C 1 ′ ( x ) y 1 ′ + C 2 ′ ( x ) y 2 ′ = f ( x ) \begin{aligned} & [C_1'(x) y_1' + C_1(x) y_1''] + [C_2'(x) y_2' + C_2(x) y_2''] + p(x)[C_1(x) y_1' + C_2(x) y_2'] + q(x) [C_1(x) y_1 + C_2(x) y_2] = f(x) \\ \Rightarrow & C_1(x) [y_1''+p(x)y_1'+q(x)y_1] + C_2(x) [y_2''+p(x)y_2'+q(x)y_2] + [C_1'(x) y_1' + C_2'(x) y_2'] = f(x) \\ \Rightarrow & C_1'(x) y_1' + C_2'(x) y_2' = f(x) \end{aligned} [C1(x)y1+C1(x)y1′′]+[C2(x)y2+C2(x)y2′′]+p(x)[C1(x)y1+C2(x)y2]+q(x)[C1(x)y1+C2(x)y2]=f(x)C1(x)[y1′′+p(x)y1+q(x)y1]+C2(x)[y2′′+p(x)y2+q(x)y2]+[C1(x)y1+C2(x)y2]=f(x)C1(x)y1+C2(x)y2=f(x)

联立两个方程

{ C 1 ′ ( x ) y 1 + C 2 ′ ( x ) y 2 = 0 C 1 ′ ( x ) y 1 ′ + C 2 ′ ( x ) y 2 ′ = f ( x ) \begin{cases} C_1'(x) y_1 + C_2'(x) y_2 = 0 \\ C_1'(x) y_1' + C_2'(x) y_2' = f(x) \\ \end{cases} {C1(x)y1+C2(x)y2=0C1(x)y1+C2(x)y2=f(x)

即可求得 C 1 ′ ( x ) , C 2 ′ ( x ) C_1'(x),C_2'(x) C1(x),C2(x),最后进行积分得到 C 1 ( x ) , C 2 ( x ) C_1(x),C_2(x) C1(x),C2(x)

【注】常数变易法在同济七版高等数学中有介绍,适用于求解任意二阶非齐次常系数线性微分方程(提醒:在考研范围内,非齐次项的形式是固定的,而非任意形式)。

例题

【例 1】求解微分方程 y ′ ′ + 3 y ′ + 2 y = x 2 y'' + 3y' + 2y = x^2 y′′+3y+2y=x2

【解】先求对应齐次通解: y = C 1 e − x + C 2 e − 2 x y = C_1 e^{-x} + C_2 e^{-2x} y=C1ex+C2e2x,所以 y 1 = e − x , y 2 = e − 2 x y_1 = e^{-x}, y_2 = e^{-2x} y1=ex,y2=e2x,解方程组

{ C 1 ′ ( x ) e − x + C 2 ′ ( x ) e − 2 x = 0 − C 1 ′ ( x ) e − x − 2 C 2 ′ ( x ) e − 2 x = x 2 \begin{cases} C_1'(x) e^{-x} + C_2'(x) e^{-2x} = 0 \\ -C_1'(x) e^{-x} - 2C_2'(x) e^{-2x} = x^2 \\ \end{cases} {C1(x)ex+C2(x)e2x=0C1(x)ex2C2(x)e2x=x2

可求得

{ C 1 ′ ( x ) = ∣ 0 e − 2 x x 2 − 2 e − 2 x ∣ / ∣ e − x e − 2 x − e − x − 2 e − 2 x ∣ = − x 2 e − 2 x − e − 3 x = x 2 e x C 2 ′ ( x ) = ∣ e − x 0 − e − x x 2 ∣ / ∣ e − x e − 2 x − e − x − 2 e − 2 x ∣ = x 2 e − x − e − 3 x = − x 2 e 2 x \begin{cases} C_1'(x) = \begin{vmatrix} 0 & e^{-2x} \\ x^2 & -2e^{-2x} \end{vmatrix} / \begin{vmatrix} e^{-x} & e^{-2x} \\ -e^{-x} & -2e^{-2x} \end{vmatrix} = \frac{-x^2e^{-2x}}{-e^{-3x}} = x^2 e^x\\ C_2'(x) = \begin{vmatrix} e^{-x} & 0 \\ -e^{-x} & x^2 \end{vmatrix} / \begin{vmatrix} e^{-x} & e^{-2x} \\ -e^{-x} & -2e^{-2x} \end{vmatrix} = \frac{x^2e^{-x}}{-e^{-3x}} = -x^2 e^{2x} \end{cases} C1(x)= 0x2e2x2e2x / exexe2x2e2x =e3xx2e2x=x2exC2(x)= exex0x2 / exexe2x2e2x =e3xx2ex=x2e2x

于是

{ C 1 ( x ) = ( x 2 − 2 x + 2 ) e x C 2 ( x ) = − 1 4 ( 2 x 2 − 2 x + 1 ) e 2 x \begin{cases} C_1(x) = (x^2-2x+2) e^x\\ C_2(x) = -\frac{1}{4}(2x^2 - 2x + 1) e^{2x} \end{cases} {C1(x)=(x22x+2)exC2(x)=41(2x22x+1)e2x

所以特解为

y ∗ = C 1 ( x ) y 1 + C 2 ( x ) y 2 = ( x 2 − 2 x + 2 ) − 1 4 ( 2 x 2 − 2 x + 1 ) = 1 2 x 2 − 3 2 x + 7 4 \begin{aligned} y^* &= C_1(x) y_1 + C_2(x) y_2 \\ &= (x^2-2x+2) - \frac{1}{4}(2x^2 - 2x + 1) \\ &= \frac{1}{2}x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{7}{4} \end{aligned} y=C1(x)y1+C2(x)y2=(x22x+2)41(2x22x+1)=21x223x+47

【例 2】求解微分方程 y ′ ′ + 3 y ′ + 2 y = sin ⁡ x y'' + 3y' + 2y = \sin x y′′+3y+2y=sinx

【解】先求对应齐次通解: y = C 1 e − x + C 2 e − 2 x y = C_1 e^{-x} + C_2 e^{-2x} y=C1ex+C2e2x,所以 y 1 = e − x , y 2 = e − 2 x y_1 = e^{-x}, y_2 = e^{-2x} y1=ex,y2=e2x,解方程组

{ C 1 ′ ( x ) e − x + C 2 ′ ( x ) e − 2 x = 0 − C 1 ′ ( x ) e − x − 2 C 2 ′ ( x ) e − 2 x = sin ⁡ x \begin{cases} C_1'(x) e^{-x} + C_2'(x) e^{-2x} = 0 \\ -C_1'(x) e^{-x} - 2C_2'(x) e^{-2x} = \sin x \\ \end{cases} {C1(x)ex+C2(x)e2x=0C1(x)ex2C2(x)e2x=sinx

可求得

{ C 1 ′ ( x ) = ∣ 0 e − 2 x sin ⁡ x − 2 e − 2 x ∣ / ∣ e − x e − 2 x − e − x − 2 e − 2 x ∣ = e − 2 x sin ⁡ x − e − 3 x = e x sin ⁡ x C 2 ′ ( x ) = ∣ e − x 0 − e − x sin ⁡ x ∣ / ∣ e − x e − 2 x − e − x − 2 e − 2 x ∣ = e − x sin ⁡ x − e − 3 x = − e 2 x sin ⁡ x \begin{cases} C_1'(x) = \begin{vmatrix} 0 & e^{-2x} \\ \sin x & -2e^{-2x} \end{vmatrix} / \begin{vmatrix} e^{-x} & e^{-2x} \\ -e^{-x} & -2e^{-2x} \end{vmatrix} = \frac{e^{-2x}\sin x}{-e^{-3x}} = e^x \sin x\\ C_2'(x) = \begin{vmatrix} e^{-x} & 0 \\ -e^{-x} & \sin x \end{vmatrix} / \begin{vmatrix} e^{-x} & e^{-2x} \\ -e^{-x} & -2e^{-2x} \end{vmatrix} = \frac{e^{-x}\sin x}{-e^{-3x}} = -e^{2x} \sin x \end{cases} C1(x)= 0sinxe2x2e2x / exexe2x2e2x =e3xe2xsinx=exsinxC2(x)= exex0sinx / exexe2x2e2x =e3xexsinx=e2xsinx

于是

{ C 1 ( x ) = 1 2 ( sin ⁡ x − cos ⁡ x ) e x C 2 ( x ) = − 4 5 ( 1 2 sin ⁡ x − 1 4 cos ⁡ x ) e 2 x \begin{cases} C_1(x) = \frac{1}{2} (\sin x - \cos x) e^x\\ C_2(x) = -\frac{4}{5}(\frac{1}{2} \sin x - \frac{1}{4} \cos x) e^{2x} \end{cases} {C1(x)=21(sinxcosx)exC2(x)=54(21sinx41cosx)e2x

所以特解为

y ∗ = C 1 ( x ) y 1 + C 2 ( x ) y 2 = 1 2 ( sin ⁡ x − cos ⁡ x ) − 4 5 ( 1 2 sin ⁡ x − 1 4 cos ⁡ x ) = 1 10 sin ⁡ x − 3 10 cos ⁡ x \begin{aligned} y^* &= C_1(x) y_1 + C_2(x) y_2 \\ &= \frac{1}{2} (\sin x - \cos x) -\frac{4}{5}(\frac{1}{2} \sin x - \frac{1}{4} \cos x) \\ &= \frac{1}{10} \sin x - \frac{3}{10} \cos x \end{aligned} y=C1(x)y1+C2(x)y2=21(sinxcosx)54(21sinx41cosx)=101sinx103cosx

【例 3】求解微分方程 y ′ ′ + 4 y = cos ⁡ 2 x y'' + 4y = \cos 2x y′′+4y=cos2x

【解】先求对应齐次通解: y = C 1 cos ⁡ 2 x + C 2 sin ⁡ 2 x y = C_1 \cos 2x + C_2 \sin 2x y=C1cos2x+C2sin2x,所以 y 1 = cos ⁡ 2 x , y 2 = sin ⁡ 2 x y_1 = \cos 2x, y_2 = \sin 2x y1=cos2x,y2=sin2x,解方程组

{ C 1 ′ ( x ) cos ⁡ 2 x + C 2 ′ ( x ) sin ⁡ 2 x = 0 − 2 C 1 ′ ( x ) sin ⁡ 2 x + 2 C 2 ′ ( x ) cos ⁡ 2 x = cos ⁡ 2 x \begin{cases} C_1'(x) \cos 2x + C_2'(x) \sin 2x = 0 \\ -2C_1'(x) \sin 2x + 2C_2'(x) \cos 2x = \cos 2x \\ \end{cases} {C1(x)cos2x+C2(x)sin2x=02C1(x)sin2x+2C2(x)cos2x=cos2x

可求得

{ C 1 ′ ( x ) = ∣ 0 sin ⁡ 2 x cos ⁡ 2 x 2 cos ⁡ 2 x ∣ / ∣ cos ⁡ 2 x sin ⁡ 2 x − 2 sin ⁡ 2 x 2 cos ⁡ 2 x ∣ = − sin ⁡ 2 x cos ⁡ 2 x 2 cos ⁡ 2 2 x + 2 sin ⁡ 2 2 x = − 1 4 sin ⁡ 4 x C 2 ′ ( x ) = ∣ cos ⁡ 2 x 0 − 2 sin ⁡ 2 x cos ⁡ 2 x ∣ / ∣ cos ⁡ 2 x sin ⁡ 2 x − 2 sin ⁡ 2 x 2 cos ⁡ 2 x ∣ = cos ⁡ 2 2 x 2 cos ⁡ 2 2 x + 2 sin ⁡ 2 2 x = 1 4 ( cos ⁡ 4 x + 1 ) \begin{cases} C_1'(x) = \begin{vmatrix} 0 & \sin 2x \\ \cos 2x & 2\cos 2x \end{vmatrix} / \begin{vmatrix} \cos 2x & \sin 2x \\ -2\sin 2x & 2\cos 2x \end{vmatrix} = -\frac{\sin 2x \cos 2x}{2\cos^2 2x + 2\sin^2 2x} = -\frac{1}{4} \sin 4x \\ C_2'(x) = \begin{vmatrix} \cos 2x & 0 \\ -2\sin 2x & \cos 2x \end{vmatrix} / \begin{vmatrix} \cos 2x & \sin 2x \\ -2\sin 2x & 2\cos 2x \end{vmatrix} = \frac{\cos^2 2x}{2\cos^2 2x + 2\sin^2 2x} = \frac{1}{4} (\cos 4x + 1) \end{cases} C1(x)= 0cos2xsin2x2cos2x / cos2x2sin2xsin2x2cos2x =2cos22x+2sin22xsin2xcos2x=41sin4xC2(x)= cos2x2sin2x0cos2x / cos2x2sin2xsin2x2cos2x =2cos22x+2sin22xcos22x=41(cos4x+1)

于是

{ C 1 ( x ) = 1 16 cos ⁡ 4 x C 2 ( x ) = 1 4 x + 1 16 sin ⁡ 4 x \begin{cases} C_1(x) = \frac{1}{16} \cos 4x \\ C_2(x) = \frac{1}{4} x + \frac{1}{16}\sin 4x \end{cases} {C1(x)=161cos4xC2(x)=41x+161sin4x

所以特解为

y ∗ = C 1 ( x ) y 1 + C 2 ( x ) y 2 = 1 16 cos ⁡ 4 x cos ⁡ 2 x + ( 1 4 x + 1 16 sin ⁡ 4 x ) sin ⁡ 2 x = 1 16 ( cos ⁡ 4 x cos ⁡ 2 x + sin ⁡ 4 x sin ⁡ 2 x ) + 1 4 x sin ⁡ 2 x = 1 16 cos ⁡ 2 x + 1 4 x sin ⁡ 2 x \begin{aligned} y^* &= C_1(x) y_1 + C_2(x) y_2 \\ &= \frac{1}{16} \cos 4x \cos 2x + (\frac{1}{4} x + \frac{1}{16}\sin 4x) \sin 2x \\ &= \frac{1}{16} (\cos 4x \cos 2x + \sin 4x \sin 2x) + \frac{1}{4} x \sin 2x \\ &= \frac{1}{16} \cos 2x + \frac{1}{4} x \sin 2x \end{aligned} y=C1(x)y1+C2(x)y2=161cos4xcos2x+(41x+161sin4x)sin2x=161(cos4xcos2x+sin4xsin2x)+41xsin2x=161cos2x+41xsin2x

由于方程的通解为

y = ( C 1 + 1 16 ) cos ⁡ 2 x + C 2 sin ⁡ 2 x + 1 4 x sin ⁡ 2 x = C 3 cos ⁡ 2 x + C 2 sin ⁡ 2 x + 1 4 x sin ⁡ 2 x \begin{aligned} y &= (C_1 + \frac{1}{16}) \cos 2x + C_2 \sin 2x + \frac{1}{4} x \sin 2x \\ &= C_3 \cos 2x + C_2 \sin 2x + \frac{1}{4} x \sin 2x \end{aligned} y=(C1+161)cos2x+C2sin2x+41xsin2x=C3cos2x+C2sin2x+41xsin2x

所以特解应为

y ∗ = 1 4 x sin ⁡ 2 x y^* = \frac{1}{4} x \sin 2x y=41xsin2x

【例 4】求解微分方程 y ′ ′ − 2 y ′ + y = x e x y'' - 2y' + y = xe^x y′′2y+y=xex

【解】先求对应齐次通解: y = C 1 e x + C 2 x e x y = C_1 e^{x} + C_2 xe^{x} y=C1ex+C2xex,所以 y 1 = e x , y 2 = x e x y_1 = e^{x}, y_2 = xe^{x} y1=ex,y2=xex,解方程组

{ C 1 ′ ( x ) e x + C 2 ′ ( x ) x e x = 0 C 1 ′ ( x ) e x + C 2 ′ ( x ) ( x + 1 ) e x = x e x \begin{cases} C_1'(x) e^{x} + C_2'(x) xe^{x} = 0 \\ C_1'(x) e^{x} + C_2'(x) (x+1)e^{x} = xe^x \\ \end{cases} {C1(x)ex+C2(x)xex=0C1(x)ex+C2(x)(x+1)ex=xex

可求得

{ C 1 ′ ( x ) = ∣ 0 x e x x e x ( x + 1 ) e x ∣ / ∣ e x x e x e x ( x + 1 ) e x ∣ = − x 2 e 2 x e 2 x = − x 2 C 2 ′ ( x ) = ∣ e x 0 e x x e x ∣ / ∣ e x x e x e x ( x + 1 ) e x ∣ = x e 2 x e 2 x = x \begin{cases} C_1'(x) = \begin{vmatrix} 0 & xe^{x} \\ xe^{x} & (x+1)e^{x} \end{vmatrix} / \begin{vmatrix} e^{x} & xe^{x} \\ e^{x} & (x+1)e^{x} \end{vmatrix} = \frac{-x^2e^{2x}}{e^{2x}} = -x^2 \\ C_2'(x) = \begin{vmatrix} e^{x} & 0 \\ e^{x} & xe^{x} \end{vmatrix} / \begin{vmatrix} e^{x} & xe^{x} \\ e^{x} & (x+1)e^{x} \end{vmatrix} = \frac{xe^{2x}}{e^{2x}} = x \end{cases} C1(x)= 0xexxex(x+1)ex / exexxex(x+1)ex =e2xx2e2x=x2C2(x)= exex0xex / exexxex(x+1)ex =e2xxe2x=x

于是

{ C 1 ( x ) = − 1 3 x 3 C 2 ( x ) = 1 2 x 2 \begin{cases} C_1(x) = -\frac{1}{3} x^3 \\ C_2(x) = \frac{1}{2} x^2 \end{cases} {C1(x)=31x3C2(x)=21x2

所以特解为

y ∗ = C 1 ( x ) y 1 + C 2 ( x ) y 2 = − 1 3 x 3 ⋅ e x + 1 2 x 2 ⋅ x e x = 1 6 x 3 e x \begin{aligned} y^* &= C_1(x) y_1 + C_2(x) y_2 \\ &= -\frac{1}{3} x^3 \cdot e^{x} + \frac{1}{2} x^2 \cdot xe^{x} \\ &= \frac{1}{6} x^3 e^{x} \end{aligned} y=C1(x)y1+C2(x)y2=31x3ex+21x2xex=61x3ex

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在当今竞争激烈的市场环境中,产品创新的速度和质量直接决定了企业的生死存亡。对于科研人员和设计师来说,如何能够快速、准确地实现产品创意的转化,是摆在面前的一大挑战。SolidWorks科研版作为一款功能强大的三维设计软件,为科研…

正则表达式之三剑客grep

正则表达式匹配的是文本内容,linux的文本三剑客 都是针对文本内容 grep 过滤文本内容 sed 针对文本内容进行增删改查 awk 按行取列 文本三剑客都是按行进行匹配。 grep grep 的作用就是使用正则表达式来匹配文本内容 选项: -m …

centos查找文件 写入的进程

du -sh * 查看目录空间占用、发现大文件,确定进程,结束 yum install lsof 安装lsof 查看文件写入的 进程 2. lsof /root/.influxdbv2/engine/data/bab49411e5f7cbce/autogen/1/000000036-000000002.tsm COMMAND PID USER FD TYPE …

Ubuntu-基础工具配置

基础工具配置 点击左下角 在弹出界面中点击 以下命令都是在上面这个界面执行(请大家注意空格) 命令输入完后,回车键就是执行,系统会提示输入密码(就是你登录的密码) 1.安装net工具 :(ifconfi…

vue3-自定义指令来实现input框输入限制

文章目录 前言具体实现分析主要部分详细解析导入和类型定义mounted 钩子函数unmounted 钩子函数指令注册使用 总结 前言 使用vue中的自定义指令来实现input框输入限制 其中关键代码强制触发input ,来避免,输入规则外的字符时,没触发vue的响…

无需安装就能一键部署Stable Diffusion 3?

一键部署使用SD3?让你的创作更加便捷! 前言 厚德云上架SD3! 距离Stable Diffusion 3的上线已经有一阵时间了。从上线至今SD3也是一直好评不断,各项性能的提升也让它荣获“最强开源新模型”的称号。成为了AI绘画设计师们新的香馍馍。 可对于SD…

短期内股票跌了就难受的人有哪些?

短期内股票跌了难受的人,主要是四类 第一类压根就没有打算长期持有,就是玩短线的。这类人来股市是为了一夜暴富的。 第二类人,这类人也是打算一夜暴富的,但是他们会上杠杆,借钱买股票。股价涨了好说,股价…

python网站地图解析

分析: ⽹站的地图(sitemap.xml)是⼀个XML⽂件,列出了⽹站上所有可访问的⻚⾯的URL。解析⽹站的地图可以⾼效地发现⽹站上所有的⻚⾯,特别是那些可能不容易通过常规爬⾍发现的⻚⾯。 # Python代码: 以下是⼀…

Mac用虚拟机玩游戏很卡 Mac电脑玩游戏怎么流畅运行 苹果电脑怎么畅玩Windows游戏

对于许多Mac电脑用户而言,他们经常面临一个令人头疼的问题:在虚拟机中玩游戏时卡顿严重,影响了游戏体验。下面我们将介绍Mac用虚拟机玩游戏很卡,Mac电脑玩游戏怎么流畅运行的相关内容。 一、Mac用虚拟机玩游戏很卡 下面我们来看…

嵌入式期末复习--补充(答案来自文心一言)

一、第一章 1、常见的RTOS,嵌入式操作系统的特点 RTOS就是实时操作系统。根据响应时间的不同,可分为以下3类: (1)强实时嵌入式操作系统 响应时间:微妙或毫秒 (2)一般实时…

删除重复文件如何操作?电脑重复文件删除教程分享:详细!高效!

在数字化时代,我们的电脑中往往存储着大量的文件,这些文件随着时间的推移可能会产生许多重复项。重复文件不仅占用了宝贵的硬盘空间,还可能导致文件管理的混乱。因此,定期删除重复文件是维护电脑健康和提高工作效率的重要步骤。本…

请问为什么下面的HTML代码没有显示内容?

请问下面的HTML程序为什么没有显示内容&#xff1f; <!DOCTYPE html> <html> <head> <meta charset"utf-8"> <title>HTML教程()</title> <script>function getTime() {var date new Date();var time date.toLocalString…

OSPF和RIP的路由引入(华为)

#交换设备 OSPF和RIP的路由引入 不同的网络会根据自身的实际情况来选用路由协议。比如有些网络规模很小&#xff0c;为了管理简单&#xff0c;部署了 RIP; 而有些网络很复杂&#xff0c;可以部署 OSPF。不同路由协议之间不能直接共享各自的路由信息&#xff0c;需要依靠配置路…

洗地机哪个品牌比较好?四款好用靠谱的优质洗地机推荐

随着现代生活节奏的加快&#xff0c;家庭清洁成了一项耗时且繁琐的任务。洗地机凭借其智能化和高效的清洁能力&#xff0c;越来越受到大家的青睐。然而&#xff0c;市场上各种品牌和型号琳琅满目&#xff0c;让人眼花缭乱。为了帮助大家在众多选择中找到心仪的产品&#xff0c;…

力扣540.有序数组中的单一元素

力扣540.有序数组中的单一元素 找到 偶数位做二分 若不等 说明当前mid在单一元素右侧 r mid若相等 说明当前mid在单一元素左侧 l mid 2 class Solution {public:int singleNonDuplicate(vector<int>& nums) {int l 0,r nums.size() -1;while(l<r){int mid…

【话题】层出不穷的大模型产品,你怎么选?

大家好&#xff0c;我是全栈小5&#xff0c;欢迎阅读小5的系列文章&#xff0c;这是《话题》系列文章 目录 引言元宝体验产品介绍AI作画 文档总结AI超级产品文章推荐 引言 随着近日腾讯元宝APP的正式上线&#xff0c;国内大模型产品又添一员。 关于接连出现的“全能“大模型AI…

jfrog artifactory oss的下载地址

在这里记录下下载地址&#xff1a; https://releases.jfrog.io/artifactory/bintray-artifactory/org/artifactory/oss/jfrog-artifactory-oss/

Java 开发面试题精选:Mysql 一篇全搞定

在这里插入图片描述 前言 在高级Java开发工程师的面试中&#xff0c;MySQL作为常见的数据库技术&#xff0c;其掌握程度往往是评估候选人综合能力的重要组成部分。在这篇文章中&#xff0c;我精选了一些最可能被问到的与MySQL相关的面试题目&#xff0c;这些题目可以全面考察…