第i层上的节点数

证明: 

二叉树的最大节点数

证明:  

第一层对应2^0个节点, 累加得到

这是一个等比数列

求和公式:

 

那么这里的n指的是一共有多少个相加 

根据从b到a一共有b-a+1个可推出

有(k-1)-0+1个相加

那么结果为:

叶节点与度为2的节点关系

证明:

假设二叉树的总节点数为 NNN，这些节点可以分为三类：

• n0​：叶节点的数目（度为0的节点）
• n1​：度为1的节点数目
• n2​：度为2的节点数目

根据二叉树的性质，我们有：

N=n0+n1+n2

边数计算: 

在二叉树中，每个节点的度是其子节点的数目。总的节点数为 N，总的边数 E 为 :

因为每增加一个节点会增加一条边（除了根节点之外）。

边数 E 可以通过节点的度数来计算：

根据这三个公式 我们可以推出: 

推导: 

完全二叉树的深度

证明: 

假设它是一颗满二叉树, 则有

但是此时他不是一颗满二叉树, 而是完全二叉树

根据n是二叉树的最大节点数 , 把等于符号 "=" 替换为 "<=", 因为n总比这个最大节点数少或者相等

这就是向上取整的原因

完全二叉树的节点编号

习题

1. 某二叉树共有399个结点，其中有199个度为2的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（）。
   A. 不存在这样的二叉树
   B. 200
   C. 198
   D. 199

2. 在具有2n个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（）。
   A. n
   B. n+1
   C. n-1
   D. n/2

3. 一个具有767个节点的完全二叉树，其中叶子节点个数为（）。
   A. 383
   B. 384
   C. 385
   D. 386

4. 一棵完全二叉树的节点数为531个，那么这棵树的高度为（）。
   A. 11
   B. 10
   C. 8
   D. 9

解析

1.B 

n0 = n2+1 

n0 = 199+1

2.A

对于完全二叉树有两种情况

且

这里是2n个结点, 为偶数, 说明n1 = 1

那么

3.B

与第二题同理

4.B

也可以写做

因此k = 10;