为什么曲面函数的偏导数可以表示其曲面的法向量？
引用资料：
1.知乎@shinbade：曲面的三个偏导数为什么能表示法向量？
2.Geogebra@羅驥韡 (Pegasus Roe)：偏導數、切平面、梯度
曲面 F ( x , y , z ) = 0 F(x,y,z)=0 F(x,y,z)=0，曲面上一点A ( x , y , z ) (x,y,z) (x,y,z)，在该点附近取另一点B ( x + Δ x , y + Δ y , z + Δ z ) (x+\Delta x,y+\Delta y,z+\Delta z) (x+Δx,y+Δy,z+Δz)，由于点B也在曲面上，故 F ( x + Δ x , y + Δ y , z + Δ z ) = 0 F(x+\Delta x,y+\Delta y,z+\Delta z)=0 F(x+Δx,y+Δy,z+Δz)=0，
将上式进行一阶泰勒展开：（一阶展开目的是用切平面上的点近似曲面上的点）
F ( x + Δ x , y + Δ y , z + Δ z ) = F ( x , y , z ) + F x ′ Δ x + F y ′ Δ y + F z ′ Δ z = 0 ∵ F ( x , y , z ) = 0 ∴ F x ′ Δ x + F y ′ Δ y + F z ′ Δ z = 0 ( F x ′ , F y ′ , F z ′ ) ⋅ ( Δ x , Δ y , Δ z ) = 0 F(x+\Delta x,y+\Delta y,z+\Delta z)=F(x,y,z)+F'_x\Delta x+F'_y\Delta y+F'_z\Delta z=0\\ ~\\ \because F(x,y,z)=0\\ ~\\ \therefore F'_x\Delta x+F'_y\Delta y+F'_z\Delta z=0\\ ~\\ (F'_x,F'_y,F'_z)\cdot(\Delta x,\Delta y,\Delta z)=0 F(x+Δx,y+Δy,z+Δz)=F(x,y,z)+Fx′Δx+Fy′Δy+Fz′Δz=0 ∵F(x,y,z)=0 ∴Fx′Δx+Fy′Δy+Fz′Δz=0 (Fx′,Fy′,Fz′)⋅(Δx,Δy,Δz)=0
向量 ( Δ x , Δ y , Δ z ) (\Delta x,\Delta y,\Delta z) (Δx,Δy,Δz)与向量 ( F x ′ , F y ′ , F z ′ ) (F'_x,F'_y,F'_z) (Fx′,Fy′,Fz′)内积为0，说明两向量垂直，又由于向量 ( Δ x , Δ y , Δ z ) (\Delta x,\Delta y,\Delta z) (Δx,Δy,Δz)在切平面上（严格来说是割平面，因为还没有取极限），故向量 ( F x ′ , F y ′ , F z ′ ) (F'_x,F'_y,F'_z) (Fx′,Fy′,Fz′)垂直于切平面，也就可以用其来表示曲面的法向量。
备注：切平面上点代替曲面上点（以直代曲），这个方面的理解详见本人博客：如何理解二元函数的可导与可微？
由于在极限过程中，切平面上点无限接近曲面上的点，所以近似将向量 ( Δ x , Δ y , Δ z ) (\Delta x,\Delta y,\Delta z) (Δx,Δy,Δz)看作在切片面上。
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