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数组的存储结构
一维数组
ElemType a[10]; // ElemType型一维数组
起始地址：LOC
各数组元素大小相同且物理上连续存放
数组元素a[i]的存放地址 = L O C + i ∗ s i z e o f ( E l e m T y p e ) LOC+i*sizeof(ElemType) LOC+i∗sizeof(ElemType) ( 0 < = i < 10 ) (0 <= i < 10) (0<=i<10)
注：除非题目特别说明，否则数组下标默认从0开始
二维数组
ElemType b[2][4]; // 2行4列的二维数组
起始地址：LOC
M行N列的二维数组b[M][N]中
- 若按行优先存储，则
b[i][j]的存储地址 = L O C + ( i ∗ N + j ) ∗ s i z e o f ( E l e m T y p e ) LOC + (i*N+j)*sizeof(ElemType) LOC+(i∗N+j)∗sizeof(ElemType) - 若按列优先存储，则
b[i][j]的存储地址 = L O C + ( i + j ∗ M ) ∗ s i z e o f ( E l e m T y p e ) LOC+(i+j*M)*sizeof(ElemType) LOC+(i+j∗M)∗sizeof(ElemType)
特殊矩阵
普通矩阵
∣ a 1 , 1 a 1 , 2 a 1 , 3 . . . . . . a 1 , n − 1 a 1 , n a 2 , 1 a 2 , 2 a 2 , 3 . . . . . . a 2 , n − 1 a 2 , n a 3 , 1 a 3 , 2 a 3 , 3 . . . . . . a 3 , n − 1 a 3 , n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a n , 1 a n , 2 a n , 3 . . . . . . a n , n − 1 a n , n ∣ \begin{vmatrix} a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}&......&a_{1,n-1}&a_{1,n}\\ a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}&......&a_{2,n-1}&a_{2,n}\\ a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}&......&a_{3,n-1}&a_{3,n}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\,&\vdots&\vdots\\ a_{n,1}&a_{n,2}&a_{n,3}&......&a_{n,n-1}&a_{n,n}\\ \end{vmatrix} a1,1a2,1a3,1⋮an,1a1,2a2,2a3,2⋮an,2a1,3a2,3a3,3⋮an,3........................a1,n−1a2,n−1a3,n−1⋮an,n−1a1,na2,na3,n⋮an,n
可用二位数组存储
注意：描述矩阵元素时，行、列号通常从 1 开始；而描述数组时通常下标从 0 开始（具体看题目给的条件，注意审题）
对称矩阵的压缩存储
若 n 阶方阵中任意一个元素 a i , j a_{i,j} ai,j 都有 a i , j = a j , i a_{i,j}=a_{j,i} ai,j=aj,i ，则称该矩阵为对称矩阵
∣ a 1 , 1 a 1 , 2 a 1 , 3 . . . . . . a 1 , n − 1 a 1 , n a 2 , 1 a 2 , 2 a 2 , 3 . . . . . . a 2 , n − 1 a 2 , n a 3 , 1 a 3 , 2 a 3 , 3 . . . . . . a 3 , n − 1 a 3 , n ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ a n − 1 , 1 a n − 1 , 2 a n − 1 , 3 . . . . . . a n − 1 , n − 1 a n − 1 , n a n , 1 a n , 2 a n , 3 . . . . . . a n , n − 1 a n , n ∣ \begin{vmatrix} a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}&......&a_{1,n-1}&a_{1,n}\\ a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}&......&a_{2,n-1}&a_{2,n}\\ a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}&......&a_{3,n-1}&a_{3,n}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ a_{n-1,1}&a_{n-1,2}&a_{n-1,3}&......&a_{n-1,n-1}&a_{n-1,n}\\ a_{n,1}&a_{n,2}&a_{n,3}&......&a_{n,n-1}&a_{n,n}\\ \end{vmatrix} a1,1a2,1a3,1⋮an−1,1an,1a1,2a2,2a3,2⋮an−1,2an,2a1,3a2,3a3,3⋮an−1,3an,3..................⋱............a1,n−1a2,n−1a3,n−1⋮an−1,n−1an,n−1a1,na2,na3,n⋮an−1,nan,n
普通存储： n ∗ n n*n n∗n 二维数组
压缩存储：只存储主对角线+下三角区
- 策略：只存储主对角线+下三角区
按行优先原则将各元素存入一维数组中
思考：
- 数组大小应该为多少？
- n ( n + 1 ) 2 \frac{n(n+1)}{2} 2n(n+1)
- 站在程序员的角度，对称矩阵压缩存储后怎样才能方便使用？
- 可以实现一个“映射”函数，矩阵下标->一维数组下标
那么如何才能把矩阵的下标映射为一维数组的下标呢？
- 关键：按照行优先的原则且 ( i ≥ j ) (i\geq j) (i≥j) ， a i , j a_{i,j} ai,j 是数组 B [ k ] B[k] B[k] 中的第几个元素？
- 根据下标 i ，前面有 i ( i − 1 ) 2 + j \frac{i(i-1)}{2}+j 2i(i−1)+j 个元素
- 所以 k = i ( i − 1 ) 2 + j − 1 k=\frac{i(i-1)}{2}+j-1 k=2i(i−1)+j−1 （如果有些数组下标从 1 开始，那么就不需要 -1 了
- 那么如果是 i < j i<j i<j 呢？
- 根据对称矩阵的性质，我们可以转变为访问 a j , i a_{j,i} aj,i
- 那么 k = j ( j − 1 ) 2 + i − 1 k=\frac{j(j-1)}{2}+i-1 k=2j(j−1)+i−1
三角矩阵
下三角矩阵：除了主对角线和下三角区，其余的元素都相同
上三角矩阵：除了主对角线和上三角区，其余的元素都相同
压缩存储策略：按行优先原则将橙色区元素存入一维数组中。并在最后一个位置存储常量 c
- 如果是下三角矩阵：
- 三角矩阵的下标映射为一维数组的下标和对称矩阵的一样：
k = { i ( i − 1 ) 2 + j − 1 , i ≥ j （下三角区和主对角线元素） j ( j − 1 ) 2 + i − 1 , i < j （上三角区元素） k=\begin{cases}\frac{i(i-1)}{2}+j-1,\,\,\,\,i\geq j\,\,（下三角区和主对角线元素）\\ \frac{j(j-1)}{2}+i-1,\,\,\,i<j\,\,\,（上三角区元素）\end{cases} k={2i(i−1)+j−1,i≥j（下三角区和主对角线元素）2j(j−1)+i−1,i<j（上三角区元素）
- 三角矩阵的下标映射为一维数组的下标和对称矩阵的一样：
- 如果是上三角矩阵：
k = { ( i − 1 ) ( 2 n − i + 2 ) 2 + ( j − i ) , i ≤ j （上三角区和主对角线元素） n ( n + 1 ) 2 , i > j （下三角区元素） k = \begin{cases}\frac{(i-1)(2n-i+2)}{2}+(j-i),\,\,\,\,i\leq j（上三角区和主对角线元素）\\ \frac{n(n+1)}{2},\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,i>j（下三角区元素）\end{cases} k={2(i−1)(2n−i+2)+(j−i),i≤j（上三角区和主对角线元素）2n(n+1),i>j（下三角区元素）
三对角矩阵
三对角矩阵，又称带状矩阵：
当 ∣ i − j ∣ > 1 |i-j|>1 ∣i−j∣>1 时，有 a i , j = 0 ( 1 ≤ i , j ≤ n ) a_{i,j}=0\,\,(1\leq i,j \leq n) ai,j=0(1≤i,j≤n)
也就是说，主对角线上的元素都是非零元素，并且任意一个主对角线上的元素四周的元素都是非零元素，再往外的元素都是零元素
按照行优先（或列优先）原则，只存储带状部分
不难发现，前 i − 1 i-1 i−1 行共有 3 ( i − 1 ) − 1 3(i-1)-1 3(i−1)−1 个元素， a i , j a_{i,j} ai,j 应该是第 i 行的第 j − i + 2 j-i+2 j−i+2 个元素，所以 a i , j a_{i,j} ai,j 是第 2 i + j − 2 2i+j-2 2i+j−2 个元素 --> k = 2 i + j − 3 k=2i+j-3 k=2i+j−3
反之，如果已经知道数组下标 k ，如何得到 i，j？
前 i − 1 i-1 i−1 共 3 ( i − 1 ) − 1 3(i-1)-1 3(i−1)−1 个元素
前 i i i 行共 3 i − 1 3i-1 3i−1 个元素
显然， 3 ( i − 1 ) − 1 < k + 1 ≤ 3 i − 1 3(i-1)-1<k+1\leq 3i-1 3(i−1)−1<k+1≤3i−1
当 i = ( k + 2 ) 3 i=\frac{(k+2)}{3} i=3(k+2) ，向上取整，刚好可以满足上面那个表达式
稀疏矩阵
稀疏矩阵：非零元素远远少于矩阵元素的个数
压缩存储策略：
- 顺序存储——三元组（行，列，值）
- 链式存储——十字链表法
