6.2 休息日背包问题总结

就目前所遇到的01背包与完全背包作总结。

01背包

有n件物品和一个最多能背重量为w 的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品只能用一次，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

二维dp数组01背包

动规五部曲

1.确定dp数组以及下标的含义

dp[i][j] 表示从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。

2.确定递推公式

不放物品i：由dp[i - 1][j]推出，即背包容量为j，里面不放物品i的最大价值，此时dp[i][j]就是dp[i - 1][j]。(其实就是当物品i的重量大于背包j的重量时，物品i无法放进背包中，所以背包内的价值依然和前面相同。)
放物品i：由dp[i - 1][j - weight[i]]推出，dp[i - 1][j - weight[i]] 为背包容量为j - weight[i]的时候不放物品i的最大价值，那么dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i] （物品i的价值），就是背包放物品i得到的最大价值

所以递归公式： dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);

3.dp数组如何初始化

首先从dp[i][j]的定义出发，如果背包容量j为0的话，即dp[i][0]，无论是选取哪些物品，背包价值总和一定为0。

状态转移方程 dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]); 可以看出i 是由 i-1 推导出来，那么i为0的时候就一定要初始化。

dp[0][j]，即：i为0，存放编号0的物品的时候，各个容量的背包所能存放的最大价值。

那么很明显当 j < weight[0]的时候，dp[0][j] 应该是 0，因为背包容量比编号0的物品重量还小。

当j >= weight[0]时，dp[0][j] 应该是value[0]，因为背包容量放足够放编号0物品。

其实从递归公式： dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]); 可以看出dp[i][j] 是由左上方数值和左方数值推导出来了，那么其他下标初始为什么数值都可以，因为都会被覆盖。

但只不过一开始就统一把dp数组统一初始为0，更方便一些。

4.确定遍历顺序

先遍历物品与先遍历背包均可。虽然两个for循环遍历的次序不同，但是dp[i][j]所需要的数据就是左上角（包括左与正上），根本不影响dp[i][j]公式的推导！

5.举例推导/打印dp数组

一维数组（滚动数组）

滚动数组的由来，需要满足的条件是上一层可以重复利用，直接拷贝到当前层。

动规五部曲

1.确定dp数组的定义

在一维dp数组中，dp[j]表示：容量为j的背包，所背的物品价值可以最大为dp[j]。

2.一维dp数组的递推公式

dp[j]为容量为j的背包所背的最大价值，那么如何推导dp[j]呢？

dp[j]可以通过dp[j - weight[i]]推导出来，dp[j - weight[i]]表示容量为j - weight[i]的背包所背的最大价值。

dp[j - weight[i]] + value[i] 表示容量为 j - 物品i重量的背包加上物品i的价值。（也就是容量为j的背包，放入物品i了之后的价值即：dp[j]）

此时dp[j]有两个选择，一个是取自己dp[j] 相当于二维dp数组中的dp[i-1][j]，即不放物品i，一个是取dp[j - weight[i]] + value[i]，即放物品i，指定是取最大的，毕竟是求最大价值。

3.一维dp数组如何初始化

dp[j]表示：容量为j的背包，所背的物品价值可以最大为dp[j]，那么dp[0]就应该是0，因为背包容量为0所背的物品的最大价值就是0。

那么dp数组除了下标0的位置，初始为0，其他下标应该初始化多少呢？

看一下递归公式：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

dp数组在推导的时候一定是取价值最大的数，如果题目给的价值都是正整数那么非0下标都初始化为0就可以了。

4.一维dp数组遍历顺序

与二维dp的写法，遍历背包的顺序是不一样的！

二维dp遍历的时候，背包容量是从小到大，而一维dp遍历的时候，背包是从大到小。

倒序遍历是为了保证物品i只被放入一次！。但如果一旦正序遍历了，那么物品0就会被重复加入多次！从后往前循环，每次取得状态不会和之前取得状态重合，这样每种物品就只取一次了。

那么问题又来了，为什么二维dp数组遍历的时候不用倒序呢？

因为对于二维dp，dp[i][j]都是通过上一层即dp[i - 1][j]计算而来，本层的dp[i][j]并不会被覆盖！

再来看看两个嵌套for循环的顺序，代码中是先遍历物品嵌套遍历背包容量，那可不可以先遍历背包容量嵌套遍历物品呢？

不可以！

因为一维dp的写法，背包容量一定是要倒序遍历，如果遍历背包容量放在上一层，那么每个dp[j]就只会放入一个物品，即：背包里只放入了一个物品。

倒序遍历的原因是，本质上还是一个对二维数组的遍历，并且右下角的值依赖上一层左上角的值，因此需要保证左边的值仍然是上一层的，从右向左覆盖。

5.举例推导dp数组

完全背包

有N件物品和一个最多能背重量为W的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品都有无限个（也就是可以放入背包多次），求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

二维数组

动规五部曲

1.确定dp数组以及下标的含义

dp[i][j] 表示从下标为[0-i]的物品里任意取任意件，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。

2.确定递推公式

不放物品i：由dp[i - 1][j]推出，即背包容量为j，里面不放物品i的最大价值，此时dp[i][j]就是dp[i - 1][j]。(其实就是当物品i的重量大于背包j的重量时，物品i无法放进背包中，所以背包内的价值依然和前面相同。)
放k件物品i：
参考：【超精细!】动态规划---完全背包问题全面解读！！_哔哩哔哩_bilibili

所以递归公式： dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i ][j - weight[i]] + value[i]); //同层取n件

3.dp数组如何初始化

首先从dp[i][j]的定义出发，如果背包容量j为0的话，即dp[i][0]，无论是选取哪些物品，背包价值总和一定为0。

状态转移方程 dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i ][j - weight[i]] + value[i]); 可以看出i 是由 i-1 和同一层之前推导出来，那么i为0的时候就一定要初始化。

dp[0][j]，即：i为0，存放任意件编号0的物品的时候，各个容量的背包所能存放的最大价值。

那么很明显当 j < weight[0]的时候，dp[0][j] 应该是 0，因为背包容量比编号0的物品重量还小。

当j >= weight[0]时，dp[0][j] 应该是dp[0][j] = dp[0][j-weight[0]]+value[0]; //多次选取，因为背包容量放足够放多件编号0物品。

其实从递归公式： dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i ][j - weight[i]] + value[i]); 可以看出dp[i][j] 是由左上方数值和左方数值推导出来了，那么其他下标初始为什么数值都可以，因为都会被覆盖。

但只不过一开始就统一把dp数组统一初始为0，更方便一些。

4.确定遍历顺序 在代码中使用了先物品后背包

因为物品有无限个所以内层循环可以正序遍历重复放入。

再来看看两个嵌套for循环的顺序，代码中是先遍历物品嵌套遍历背包容量，那可不可以先遍历背包容量嵌套遍历物品呢？

可以！

在完全背包中，对于一维dp数组来说，其实两个for循环嵌套顺序是无所谓的！因为两个for循环都是正序遍历，物品有无数个，先遍历物品与先遍历背包得到的结果是相同的，所以遍历顺序可以改变。因为dp[j] 是根据下标j之前（左边）所对应的dp[j]计算出来的。只要保证下标j之前的dp[j]都是经过计算的就可以了。

5.举例推导/打印dp数组

package day62;import java.lang.*;public class day62{public static void main (String[] args) {int n = 4;int w = 5;int[][] dp = new int[n][w+1];int [] weight = new int []{1,2,3,4};int [] value = new int []{2,4,5,6};for (int j = weight[0]; j <= w; j++) {dp[0][j] = dp[0][j-weight[0]]+value[0];   //多次选取}for(int i = 1 ; i< n ; i++){for(int j = 1; j <= w; j++){if (j - weight[i] >= 0) dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j], dp[i][j-weight[i]] + value[i]);else   dp[i][j] = dp[i-1][j];}}// 打印dp数组for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = 0; j <= w; j++) {System.out.print(dp[i][j] + "\t");}System.out.println("\n");}System.out.println(dp[n-1][w]);}
}