微积分归纳总结：中值定理

关于连续函数的中值定理

函数连续则有一下中值定理

名称	内容	证明
有界与最值	闭区间的连续函数在该区间上有界并一定有最大值和最小值	同济的高数书上证明从略
零点定理	若函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，且f(a),f(b)异号，则$f(x)$在开区间内$(a,b)$内只有一个零点	二分法：构造性证法
介值定理	设函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，且$f(a)\ne f(b)$则对介于$f(a)$与$f(x)$之间的任何实数$\mu$,在区间$(a,b)$内至少存在一点$x_0$，使得$f(x_0)=\mu$	构造辅助函数用零点定理证明
平均值定理	当$a<x_1<x_2<\cdots <x_n<b$时，在$[x_1,x_2]$内至少存在一点$\xi$使得$$f(\xi )=\frac{f(x_1)+f(x_2)+\cdots +f(x_n)}{n}$$	用介值定理证明

关于微分的中值定理

名称	内容	证明
费马定理	设函数$f(x)$在点$x_0$的某处领域$U(x_0)$内有定义并且在$x_0$处可导，如果对于任意的$x\in U(x_0) $有 $f(x_0) \leq f(x_0) $(或 $f(x) \geq f(x_0)) $那么$f’(x_0)=0$	导数的定义+极限的保号性
罗尔定理	如果函数$f(x)$在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)可导，并且满足f(a)=f(b)那么至少存在一点$\xi \in (a,b)$，使得$f’(\xi )=0$	证明其中一定有一个极值+费马定理
拉格朗日中值定理	如果函数$f(x)$在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导那么至少存在一点$\xi \in (a,b)$，使得$f(b)-f(a)=(b-a)f’(\xi )$	构造辅助函数+罗尔定理
柯西中值定理	如果函数$f(x)$ 和$g(x)$在闭区间$[a,b]$ 上连续在开区间$(a,b)$内可导，并且在开区间(a,b)内$g’(x)\ne 0$ 那么至少存在一个 $\xi \in (a,b)$使得$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f^{\prime }(\xi )}{g^{\prime }(\xi )}$	构造辅助函数+拉格朗日
泰勒公式	设$f(x)$的某个领域内n+1阶导数存在，则对该邻域内的任意点x，有$$\begin{gathered} f(x)= \\ f(x_0)+f’(x_0)(x-x_0)+\cdots + \\ \frac{1}{n!}{f}^{(n)}(x_0)(x-x_0{)}^n+\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}(x-x_0{)}^{n+1} \end{gathered}$$

关于积分的中值定理

名称	内容	证明
积分中值定理	若$f(x)$在$[a.b]$上连续，则在[a,b]上至少存在一点$\xi$使下式成立：$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=f(\xi )(b-a)(a\le \xi \le b)$	介值定理
微积分基本定理	如果函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，函数F(x)是f(x)在[a,b]上的一个原函数那么$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=F(b)-F(a)$	变上限积分