引言

规划中的决策变量(全部或部分)限制为整数，称为整数规划。根据变量的取值性质，又可以分为全整数规划，混合整数规划，0-1整数规划等。在整数规划中，如果所有变量都限制为整数，则称为纯整数规划;如果仅一部分变量限制为整数，则称为混合整数规划。整数规划的一种特殊情形是0-1规划，它的决策变量仅限于0或1。整数规划是数学规划中一个较弱的分支，目前只能解决中等规模的线性整数规划问题，而非线性整数规划问题，还没有好的办法。同时不同于前面的线性规划问题，整数规划和0-1规划问题至今尚未找到一般的多项式解法。

4.1 分枝定界方法求解整数规划问题

整数规划的分类

整数规划是决策变量部分或全部取整数的规划问题，有以下分类：

• 整数线性规划(ILP)
  目标函数：线性
  约束条件：都是线性的
  决策变量：都是整数变量

• 混合整数线性规划(MILP)
  目标函数：线性
  约束条件：都是线性的
  决策变量：包含两种类型 ①连续变量（可以取任意实数值）②整数变量（只能取整数值，通常包括二进制变量，即0或1）

• 整数非线性规划(INLP)
  目标函数：非线性
  约束条件：可以是线性或非线性的
  决策变量：都是整数变量

• 混合整数非线性规划(MINLP)
  目标函数：非线性的
  约束条件：可以是线性或非线性的
  决策变量：包含两种类型 ①连续变量（可以取任意实数值）②整数变量（只能取整数值，通常包括二进制变量，即0或1）

整数规划解法概述

• 当人们开始接触整数规划问题时，常会有如下两种初始想法：因为可行方案数目有限，因此经过一一比较后，总能求出最好方案。仅限于决策变量很少的情况，一旦决策变量增多，无法求解
• 先放弃变量的整数性要求，解一个线性规划问题，然后用“四舍五入”法取整数解，这种方法，只有在变量的取值很大时，才有成功的可能性，而当变量的取值较小时，特别是0-1规划时，往往不能成功。

分支定界法

• 原问题的松驰问题：任何整数规划（IP），凡放弃某些约束条件（如整数要求）后，所得到的问题（P）都称为（IP）的松驰问题
  最通常的松驰问题是放弃变量的整数性要求后，（P）成为线性规划问题。

• 分支定界法步骤：
  求解原问题对应的松驰问题，可能会出现下面几种情况

  • 若所得的最优解的各分量恰好是整数，则这个解也是原整数规划的最优解，计算结束
  • 若松驰问题无可行解，则原整数规划问题也无可行解，计算结束
  • 若松驰问题有最优解，但其各分量不全是整数，则这个解不是原整数规划的最优解，转下一步
    • 分支：从不满足整数条件的基变量中任选一个xl进行分枝，它必须满足$x_1\le [x_1]$或$x_1\ge [x_1]+1$中([ ]表示取整)的一个，把这两个约束条件加进原问题中，形成两个互不相容的子问题（两分法）
    • 定界：把满足整数条件各分枝的最优目标函数值作为上（下）界，用它来判断分枝是保留还是剪枝
    • 剪枝：把那些子问题的最优值与界值比较，凡不优或不能更优的分枝全剪掉，直到每个分枝都查清为止

• 例子
  
  
  
  
  
  
  

4.2 0-1整数规划

0-1整数规划的数学模型

隐枚举法求解0-1规划问题

4.3 指派问题(分配问题)的匈牙利解法

指派问题的数学模型

• 定义
  有n项不同任务，恰好分配n个人分别完成，每个人完成各项任务的效率不同；现假设必须指派每一人去完成一项任务，需考虑怎样把n项任务指派给n个人，使得完成n项任务的总的效率最高，这就是指派问题

指派问题的匈牙利解法

数学建模（四）整数规划—匈牙利算法