前言：海明编码这一块在刚开始的时候没有弄懂，后面通过做实验、复习慢慢摸清了门道。在学习计算机组成原理的过程中，实验实践是很重要的，它会让你去搞清楚事情背后的原理，逼着你学会你没听懂的东西。这篇文章会从海明码的理论部分和实验部分进行阐述。

海明码

奇偶校验码

  为什么要谈到奇偶校验码呢？因为它和海明码一样，都属于校验码。所谓校验码，就是数据位和校验位的合并，通过校验位的信息，你能知道数据是不是出错了，哪里出错了，它本应是多少。

注：后文均用 $k$ 表示原式数据位数，$r$ 表示校验位位数（也同时是校验组的组数），$n$ 表示校验码（数据位 + 校验位）的总位数。

  正如上图所示，校验码主要是用于数据发送方和接收方通信用的，通过校验位可以检查传过来的数据是否准确。
  偶校验码通过设置 $r=1$ 位校验位 $P$，使得校验码 $P{D}_k\cdots D_2{D}_1$ 所有位共有偶数个 $1$。计算公式是
$$P=D_1\oplus D_2\oplus \cdots \oplus D_k\text{\hspace{1em}(1)}$$

  比如发送方需要传输 $k=5$ 位数据 $11001$，会生成一位校验位 $1$，打包成校验码 $111001$ 送给接收方。如果传输过程没有发生错误，接收方收到的就是 $111001$，看一下有 $1$ 的个数是偶数，应该是没问题。如果传输过程中有一位出错了，比如 $111001\to 110001$，接收方收到的数据就有奇数个 $1$，所以就能够判断传过来的数据出错了（但是不能分辨是哪一位错了）。
  奇偶校验码的缺点也是显而易见的，对偶校验码来说，如果传输过程中出现了 $2$ 位错误，接收方就会认为是正确的，这说明奇偶校验码最多检错 $1$ 位。

码距

  定长编码中任意两个合法编码最少有多少位不同，这个编码的码距就是多少。比如上面的奇偶校验码码距就是 $2$。海明码的码距是 $3$。

海明码

有多种类型的海明码校验，这里只介绍能纠一位错的海明码。

多校验组

  前面提到，奇偶校验码可以检测 $1$ 位错，但是不具备纠错能力。并且所有数据位于 $1$ 个校验组中，即 $r=1$。
  海明码在 $k$ 位数据位中插入 $r$ 个校验位，使得每个数据至少位于 $2$ 个校验组中（为什么？后面会解释）。也就意味着对于某个 $D_s$ 而言，它至少要参与 $P_i$ 和 $P_j(i\ne j)$ 的生成。同样的，$P_i$ 是由某一些数据位异或得到的，$P_i$ 和这些数据位共同构成 $1$ 个校验组（偶校验组）。
$$P_i=D_{i1}\oplus D_{i2}\oplus \cdots \oplus D_{it}\text{\hspace{1em}(2)}$$

  式 $(2)$ 描述了第二个第 $i$ 个校验位的生成。

省流：每个校验组都是由一个 $P$ 和若干 $D$ 构成的，$P$ 是这些 $D$ 的异或结果。

  接收方会生成一种叫检错码的东西，每个校验位生成 $1$ 个检错码，所以一共有 $r$ 个检错码，用 $G_i(i=1,2,\cdots ,r)$ 来表示。 接收方会干这样的事情：
$$G_i=P_i^{\prime }\oplus D_{i1}^{\prime }\oplus D_{i2}^{\prime }\oplus \cdots \oplus D_{it}^{\prime }\text{\hspace{1em}(3)}$$

  其中加一个 ${}^{\prime }$ 表示数据传输后的结果，比如发送方的 $D_4$ 在接收方变成了 $D_4^{\prime }$。

注意 $G_i$（检错码） 和 $P_i$ （校验码）是不同的东西，$P_i$ 是发送方根据 $D$ 生成的；$G_i$ 是接收方根据 $P_i^{\prime }$ 和 $D^{\prime }$ 生成的，用于检错。海明码的实现中结合了偶校验的思想。

  显然，如果接收方发现 $G_i=1$，就说明第 $i$ 个校验组有数据出错了。但是到底是谁出错了？是 $P_i$ 还是对应的 $D_{it}$ 呢？

海明码原理

  海明码致力于制定一套规则回答上面的问题。它将 $k$ 个数据位 $D$ 和 $r$ 个校验位 $P$ 以某种方式组合成 $n$ 位校验码 $H$，以某种方式划分校验组，以期达到这样的目标：$G_r\cdots G_1$ 直接指示出错的位置。比如 $G_3{G}_2{G}_1=011$，代表海明码的 $H_3$ 出错了。其中，预留 $G_3{G}_2{G}_1=000$ 代表没有错误。
  因此，对于海明码 $n=k+r$ 位来说，$1$ 位错一共有 $k+r$ 种可能，但是 $G_r\cdots G_1$ 只能指示 $2^r-1$ 种错误。所以应该有：
$$k+r\le 2^r-1\text{\hspace{1em}(4)}$$

  并且，由于海明码要实现纠错功能，码距就不能是 $2$，至少要是 $3$，否则就会像奇偶校验码一样只能检错、不能纠错。为了减少冗余，海明码的码距设定为 $3$。这就意味着每个数据位 $D_s$ 至少要出现在 $2$ 个校验组中。

假设数据位 $D_s$ 只出现在校验组 $P_i$ 中。当 $D_s=0$ 时，记 $P_i=k$，得到的海明码是 $\mathbf{H}$；当 $D_s=1$ 时，根据异或的性质，有 $P_i=\overline{k}$，得到的海明码是 ${\mathbf{H}}^{\prime }$。你会发现 $\mathbf{H}$ 和 ${\mathbf{H}}^{\prime }$ 只有 $D_s$ 和 $P_i$ 两位是不一样的，那么海明码的码距就是 $2$。但是我们海明码的码距是 $3$，所以 $D_s$ 只出现在一个校验组是不够的。

  现在我们来看海明码是怎么编码的。假设 $r=3$ 的海明码，检错位是 $G_3{G}_2{G}_1=001$——这说明只有校验组 $1$ 出错了。那可能是生成 $P_1$ 的那些 $D$ 出错了吗？不可能，因为一旦 $D$ 出错，$G_3{G}_2{G}_1$ 就至少有两个 $1$（至少两个校验组出错）了，因为每个数据位都至少要出现在 $2$ 个校验组中。
  所以，对于 $G_3{G}_2{G}_1$ 只有一位 $1$ 的情况，只能是校验组所对应的检错位出错了。
  那么 $G_3{G}_2{G}_1=001/010/100$ 分别对应检错位 $P_1,P_2,P_3$ 出错，根据海明码的目标“$G_r\cdots G_1$ 直接指示出错的位置”，应该把 $P_1$ 放在 $H_1$，$P_2$ 放在 $H_2$，$P_3$ 放在 $H_4$。且看下面的表格：

海明码	$H_1$	$H_2$	$H_3$	$H_4$	$H_5$	$H_6$	$H_7$
检错码/位置 $G_3{G}_2{G}_1$	$001$	$010$	$011$	$100$	$101$	$110$	$111$
映射关系 （这一位 $H$ 放什么）	$P_1$	$P_2$	$D_1$	$P_3$	$D_2$	$D_3$	$D_4$
属于 $G_1$ 校验组	√		√		√		√
属于 $G_2$ 校验组		√	√			√	√
属于 $G_3$ 校验组				√	√	√	√

  这个表格是对应海明码在 $(n,k)=(7,4)$ 时的分组规则。预留了 $G_3{G}_2{G}_1=000$ ，对应海明码没有出错。其实上面 $D$ 的位置是可以随便放的，这个只影响后面校验位 $P$ 的生成表达式。按照上面的 $D$ 的放置方式，有：
$$\{\begin{array}{l}{P}_1=D_1\oplus D_2\oplus D_4\\ P_2=D_1\oplus D_3\oplus D_4\\ P_3=D_2\oplus D_3\oplus D_4\end{array}\text{\hspace{1em}(5)}$$

  式 $(5)$ 是发送方要干的事情。给发送方一个 $D_4{D}_3{D}_2{D}_1$，发送方需要按照 $(5)$ 生成 $P_3{P}_2{P}_1$，然后打包成 $H_7{H}_6{H}_5{H}_4{H}_3{H}_2{H}_1=D_4{D}_3{D}_2{P}_3{D}_1{P}_2{P}_1$，发送给接收方。
  根据式 $(2)(3)$，接收方需要按照下面的方式生成检错位：
$$\{\begin{array}{l}{G}_1=P_1^{\prime }\oplus D_1^{\prime }\oplus D_2^{\prime }\oplus D_4^{\prime }\\ G_2=P_2^{\prime }\oplus D_1^{\prime }\oplus D_3^{\prime }\oplus D_4^{\prime }\\ G_3=P_3^{\prime }\oplus D_2^{\prime }\oplus D_3^{\prime }\oplus D_4^{\prime }\end{array}\text{\hspace{1em}(6)}$$

  根据生成的 $G_3{G}_2{G}_1$，接收方能够判断有没有出错，是谁出错了。

海明码的检错与纠错

  海明码的检错、纠错能力是有限的。由于码距是 $3$，因此它最多能够检测 $2$ 位错；但是它不能区分 $1$ 位错和 $2$ 位错。同时，它只能够纠正 $1$ 位错。

检测 $2$ 位错的含义是，编码在传输过程中有 $2$ 位出错，接收方拿到之后能够识别到异常；而不是接收方拿到数据，说我发现你发送过来的数据里面有 $2$ 位错。

  举个例子，数据传输过程中 $D_1$ 出错，接收方得到的是 $G_3{G}_2{G}_1=011$；但是如果 $D_2,D_3$ 同时出错，那么接收方得到的还是 $G_3{G}_2{G}_1=011$。所以只有在假定最多发生 $1$ 位错的前提条件下，海明码才能够正确地检错并纠错。

拓展海明码

  前面说了海明码不能区分 $1$ 位错和 $2$ 位错。如果再引入一个总偶校验位 $P_{all}$，就能够分辨一位错和两位错。
$$P_{all}=H_n\oplus \cdots \oplus H_2\oplus H_1\text{\hspace{1em}(7)}$$$$G_{all}=P_{all}^{\prime }\oplus H_n^{\prime }\oplus \cdots \oplus H_2^{\prime }\oplus H_1^{\prime }\text{\hspace{1em}(8)}$$

  $(7)$ 是发送方做的事情，$(8)$ 是接收方做的事情。假设没有 $3$ 位错，接收方在发现 $G_3{G}_2{G}_1\ne 000$ 即有错的条件下，可利用 $G_{all}$ 判断是一位错 $(G_{all}=1)$ 还是两位错 $(G_{all}=0)$。

海明码实验

海明编码

  实际上就是填写分组规则表，像前文的那个表格一样。这里原始数据有 $k=16$ 位，检错位有 $r=5$ 位加上 $1$ 位 $P_{all}(P_6)$。$P_1$~$P_5$ 的线路连接参考式 $(2)(5)$，$P_6$ 的线路连接参考式 $(7)$。

海明解码实验

  参考 $(3)(6)$，根据分组规则表生成 $G_1$~$G_5$。$G_6$ 根据 $(8)$ 式生成。这里面多路选择器根据检错码 $\mathbf{G}$ 的情况，选择一个数与原来的数据 $\mathbf{D}$ 异或一下，使得异或的数据能够恢复成正确的数据。

资源获取

华中科技大学计算机组成原理实验
华中科技大学计算机组成原理实验——数据表示实验