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一、树的概念
1.1 概念简述
数据结构中的树是一种层次结构,它由节点(node)和边(edge)组成。每个节点都有零个或多个子节点,一个节点被称为另一个节点的父节点(parent node)如果它是该节点的直接上一级,而该节点被称为父节点的子节点(child node)。
树结构中有一个特殊的节点称为根节点(root node),它位于树的顶部,并且没有父节点。根节点之外的所有其他节点都有一个唯一的父节点。树中没有子节点的节点称为叶节点(leaf node),也称为终端节点(terminal node)。叶节点是树结构中的末端节点,它们没有任何子节点。
树结构可以是有向的或无向的。在有向树中,节点之间的关系是单向的,即每个节点只有一个父节点,而在无向树中,节点之间的关系是双向的,没有明确的父节点子节点之分。
树(Tree)是n(n≥0)个节点的有限集合T,它满足两个条件 :
有且仅有一个特定的称为根(Root)的节点;
其余的节点可以分为m(m≥0)个互不相交的有限集合T1、T2、……、Tm,其中每一个集合又是一棵树,并称为其根的子树。
表示方法 :树形表示法、目录表示法。
1.2 基本术语
一个节点的子树的个数称为该节点的度数。
一棵树的度数是指该树中节点的最大度数。
度数为零的节点称为树叶或终端节点。
度数不为零的节点称为分支节点。
除根节点外的分支节点称为内部节点。
一个节点系列k1,k2, ……,ki,ki+1, ……,kj,并满足ki是ki+1的父节点,就称为一条从k1到kj的路径。
路径的长度为j-1,即路径中的边数。
路径中前面的节点是后面节点的祖先,后面节点是前面节点的子孙。
节点的层数等于父节点的层数加一,根节点的层数定义为一。树中节点层数的最大值称为该树的高度或深度。
• 若树中每个节点的各个子树的排列为从左到右,不能交换,即兄弟之间是有序的,则该树称为有序树。
• m(m≥0)棵互不相交的树的集合称为森林。
• 树去掉根节点就成为森林,森林加上一个新的根节点就成为树。
• 树的逻辑结构 :树中任何节点都可以有零个或多个直接后继节点(子节点),但至多只有一个直接前趋节点(父节点),根节点没有前趋节点,叶节点没有后继节点。
1.3 树的应用
树结构在计算机科学中有广泛的应用,例如在操作系统中的文件系统,数据库中的索引结构,网络中的路由算法等等。树结构的灵活性和高效性使其成为解决许多问题的理想选择。
二、二叉树的原理
2.1 二叉树
• 二叉树是n(n≥0)个节点的有限集合或者是空集(n=0)
• 或者是由一个根节点以及两棵互不相交的、分别称为左子树和右子树的二叉树组成。
• 严格区分左子树和右子树,即使只有一个子节点也要区分左右。
2.2 性质
• 二叉树第i(i≥1)层上的节点最多为2i-1个。
深度为k(k≥1)的二叉树最多有2k-1个节点。
• 满二叉树 :深度为k(k≥1)时有2k-1个节点的二叉树。
• 完全二叉树 :只有最下面两层有度数小于2的节点,且最下面一层的叶节点集中在最左边的若干位置上。具有n个节点的完全二叉树的深度为
(log2n)+1或『log2(n+1)。
•顺序存储结构 :完全二叉树节点的编号方法是从上到下,从左到右,根节点为1号节点。设完全二叉树的节点数为n,某节点编号为i
当i>1(不是根节点)时,有父节点,其编号为i/2;
当2i≤n时,有左孩子,其编号为2i ,否则没有左孩子,本身是叶节点;
当2i+1≤n时,有右孩子,其编号为2i+1 ,否则没有右孩子;
当i为奇数且不为1时,有左兄弟,其编号为i-1,否则没有左兄弟;
当i为偶数且小于n时,有右兄弟,其编号为i+1,否则没有右兄弟;
有n个节点的完全二叉树可以用有n+1个元素的数组进行顺序存储,节点号和数组下标一一对应,下标为零的元素不用。
利用以上特性,可以从下标获得节点的逻辑关系。不完全二叉树通过添加虚节点构成完全二叉树,然后用数组存储,这要浪费一些存储空间。
链式存储结构是实现二叉树的一种常见方式,它通过链表结构来表示节点之间的关系。在链式存储的二叉树中,每个节点是一个结构体或类,包含三个部分:节点值、指向左子节点的指针和指向右子节点的指针。
typedef int data_t ;
typedef struct node_t;
{data_t data ; struct node_t *lchild , *rchild ;
} bitree_t ; bitree_t *root ;
二叉树由根节点指针决定。
三、二叉树的运算
遍历 :沿某条搜索路径周游二叉树,对树中的每一个节点访问一次且仅访问一次。
二叉树是非线性结构,每个结点有两个后继,则存在如何遍历即按什么样的搜索路径进行遍历的问题。
由于二叉树的递归性质,遍历算法也是递归的。三种基本的遍历算法如下 :
先序:先访问树根,再访问左子树,最后访问右子树;
中序:先访问左子树,再访问树根,最后访问右子树;
后序:先访问左子树,再访问右子树,最后访问树根;
四、二叉树的三种遍历
4.1 树的创建
bitree *tree_create(){data_t ch; // 用于存储输入的字符bitree *r; // 指向当前节点的指针scanf("%c", &ch); // 从标准输入读取一个字符存储到变量 ch 中if(ch == '#'){ // 如果当前字符是 '#',表示空节点,直接返回 NULLreturn NULL;}if((r = (bitree *)malloc(sizeof(bitree))) == NULL){ // 分配内存给新节点,并进行错误检查printf("malloc failed\n"); // 输出错误信息return NULL; // 返回 NULL 表示内存分配失败}r->data = ch; // 将当前字符存储到新节点的数据域中// 递归调用 tree_create() 函数创建当前节点的左子树,并将返回的根节点指针赋给当前节点的左孩子指针r->left = tree_create();// 递归调用 tree_create() 函数创建当前节点的右子树,并将返回的根节点指针赋给当前节点的右孩子指针r->right = tree_create();return r; // 返回当前节点指针,即指向根节点的指针
}
这段代码实现了一个递归创建二叉树的函数 tree_create()。通过不断地从标准输入读取字符,并根据字符的内容来构建二叉树的节点,实现了根据输入创建二叉树的功能。
4.2 先序遍历算法
若二叉树为空树,则空操作;否则
访问根结点
先序遍历左子树
先序遍历右子树
void preorder(bitree *r){// 如果当前节点为空,直接返回,结束递归if(NULL == r){return;}// 输出当前节点的数据域值,即当前节点的字符printf("%c", r->data);// 递归调用 preorder() 函数遍历当前节点的左子树preorder(r->left);// 递归调用 preorder() 函数遍历当前节点的右子树preorder(r->right);
}
这段代码实现了二叉树的前序遍历算法。前序遍历的过程是先访问根节点,然后递归地遍历左子树,最后递归地遍历右子树。在遍历过程中,每个节点的数据域值(即存储的字符)都会被输出。
4.3 中序遍历算法
若二叉树为空树,则空操作;否则
先序遍历左子树
访问根结点
先序遍历右子树
void inorder(bitree *r){// 如果当前节点为空,直接返回,结束递归if(NULL == r){return;}// 递归调用 inorder() 函数遍历当前节点的左子树inorder(r->left);// 输出当前节点的数据域值,即当前节点的字符printf("%c", r->data);// 递归调用 inorder() 函数遍历当前节点的右子树inorder(r->right);
}
这段代码实现了二叉树的中序遍历算法。中序遍历的过程是先递归地遍历左子树,然后访问根节点,最后递归地遍历右子树。在遍历过程中,每个节点的数据域值(即存储的字符)都会被输出。
4.4 后序遍历算法
若二叉树为空树,则空操作;否则
先序遍历左子树
先序遍历右子树
访问根结点
void posorder(bitree *r){// 如果当前节点为空,直接返回,结束递归if(NULL == r){return;}// 递归调用 posorder() 函数遍历当前节点的左子树posorder(r->left);// 递归调用 posorder() 函数遍历当前节点的右子树posorder(r->right);// 输出当前节点的数据域值,即当前节点的字符printf("%c", r->data);
}
这段代码实现了二叉树的后序遍历算法。后序遍历的过程是先递归地遍历左子树,然后递归地遍历右子树,最后访问根节点。在遍历过程中,每个节点的数据域值(即存储的字符)都会被输出。
五、二叉树的参次遍历
5.1 层次遍历
由于层次遍历(也称为广度优先遍历)是按照树的层次从上到下、从左到右的顺序遍历节点,我们通常需要借助队列来辅助实现。不过,从给定的前序遍历和中序遍历结果中,我们不能直接得出层次遍历的结果,因为层次遍历并不直接反映树的父子关系,而是反映了节点在树中的层次位置。
但我们可以根据前序遍历和中序遍历的结果先构造出二叉树,然后再进行层次遍历。
void layerorder(bitree *r){linkqueue *lq;// 创建一个链式队列,用于层序遍历if((lq = queue_create()) == NULL){return;}// 如果根节点为空,则直接返回if(r == NULL){return;}// 输出根节点的数据域值,即根节点的字符printf("%c", r->data);// 将根节点入队enqueue(lq, r);// 遍历队列中的元素,直到队列为空while(!queue_empty(lq)){// 出队一个节点r = dequeue(lq);// 如果当前节点有左孩子,则输出左孩子的数据域值,并将左孩子入队if(r->left){printf("%c", r->left->data);enqueue(lq, r->left);}// 如果当前节点有右孩子,则输出右孩子的数据域值,并将右孩子入队if(r->right){printf("%c", r->right->data);enqueue(lq, r->right);}}// 输出换行符,表示层序遍历结束puts("");
}
这段代码实现了二叉树的层序遍历算法。层序遍历是从上到下、从左到右逐层访问每个节点,先访问根节点,然后依次访问每一层的节点。在遍历过程中,每个节点的数据域值(即存储的字符)都会被输出。
5.2 牛刀小试
已知遍历结果如下,试画出对应的二叉树
前序: A B C E H F I J D G K
中序: A H E C I F J B D K G
(利用遍历规则的特点,还原二叉树,提交还原的二叉树,或者写出后序遍历结果)
5.3 问题解答
由前序遍历的特点可知A是根节点,结合中序遍历可知A没有左子树,则B为A的右子树。
将B视为根则从中序遍历中观察到AHECIFJ都是在B的左分支后代,DKG则处于B的右分支后代,利用先序特点可知C为B的左子树,利用后序遍历的特点可知D为B的右子树。这样推理下去就能得到具体的二叉树图。
二叉树图如下:
由此可以写出后序遍历的结果:HEIJFCKGDBA