BFS 解决最短路问题

一、前言

1.1 如何使用 BFS 找到最短路：

1.2 为什么不用 dfs ：

二、模板套路

三、例题练习

3.1 例题1：迷宫中离入口最近的出口

3.2 例题2：最小基因变化

3.3 例题3：单词接龙

3.4 例题4：为高尔夫比赛砍树

一、前言

最短路问题一般我们都是在图论中会遇到的问题，对应的算法有 Dijkstra 算法，Bellman-Ford 算法，Floyd-Warshall 算法。上面的三个算法后续在图论的文章里面会单独再介绍（内容比较多），今天主要介绍使用 BFS 来解决边权为 1 的最短路问题，边权为 1 的这个条件可以衍生为边权全部相同。为了方便叙述下面所有的最短路问题都是边权全部相同的情况。

1.1 如何使用 BFS 找到最短路：

解法：从起点开始，来一次 BFS 即可。扩展的层数就是最短路的长度，一旦遍历到终点立即返回对应的层数，就是最短路的长度。对应过程如下图 BFS 就是对应每条路径（不同颜色）同时在周围扩散一步。

1.2 为什么不用 dfs ：

使用 dfs 大概率会超时，因为：bfs 不用遍历所有节点，找到直接返回就是最小值。而 dfs 必须要把全部路径都找一遍才能找到最小值，时间复杂度是比较高的，所以这类问题我们一般使用 bfs 来解决。

二、模板套路

• 参数解释：

map：对应查找数组。

sr | sc：起点坐标。

er | ec：终点坐标。

path：记录路径长度。

vis：去重。

public int bfs(char[][] map,int sr,int sc,int er,int ec){Queue<int[]> queue = new LinkedList<>();queue.offer(new int[]{sr,sc});//先放入起点int path = 0;//记录路径长度while(!queue.isEmpty()){int size = queue.size();path++;//向外扩展一层for(int i = 0;i < size;i++){int[] tmp = queue.poll();int a = tmp[0],b = tmp[1];vis[a][b] = true;for(int k = 0;k < 4;k++){int x = a + dx[k];int y = b + dy[k];if(x >= 0 && x < n && y >= 0 && y < m && 题目对应条件 &&!vis[x][y]){if(达到出口条件){return path;//返回}queue.offer(new int[]{x,y});vis[x][y] = true;}}}}return -1;//没找到的情况，具体返回什么看题目}

上面就是大体的框架，默认起点不会是终点（题目要求可以的话，来个特判即可），如果对 BFS 不是很熟悉的话可以结合 BFS解决FloodFIll算法来学习。

三、例题练习

3.1 例题1：迷宫中离入口最近的出口

• 题目链接：迷宫中离入口最近的出口

• 问题描述：

给你一个 m x n 的迷宫矩阵 maze （下标从 0 开始），矩阵中有空格子（用 '.' 表示）和墙（用 '+' 表示）。同时给你迷宫的入口 entrance ，用 entrance = [entrancerow, entrancecol] 表示你一开始所在格子的行和列。

每一步操作，你可以往上，下，左或者右移动一个格子。你不能进入墙所在的格子，你也不能离开迷宫。你的目标是找到离 entrance 最近的出口。出口的含义是 maze 边界上的 空格子。entrance 格子不算出口。

请你返回从 entrance 到最近出口的最短路径的步数，如果不存在这样的路径，请你返回 -1 。

• 解题思路：

利用 BFS 来解决是这类题目最经典（边权为 1 的最短路问题）的做法。从起点开始 BFS ，用 path 来记录当前遍历的层数，这样就能在找到出口的时候，返回起点到出口的最短长度。基本就是套模板即可，不同的是终点是在边界地方而不是作为 bfs 参数。

• 代码编写：

class Solution {int n,m;boolean[][] vis;int[] dx = {0,0,1,-1};int[] dy = {1,-1,0,0};public int nearestExit(char[][] maze, int[] entrance) {n = maze.length;m = maze[0].length;vis = new boolean[n][m];int ans = bfs(maze,entrance[0],entrance[1]);return ans;}public int bfs(char[][] map,int sr,int sc){Queue<int[]> queue = new LinkedList<>();queue.offer(new int[]{sr,sc});int path = 0;while(!queue.isEmpty()){int size = queue.size();path++;//向外扩展一层for(int t = 0;t < size;t++){int[] tmp = queue.poll();int a = tmp[0],b = tmp[1];vis[a][b] = true;for(int k = 0;k < 4;k++){int x = a + dx[k];int y = b + dy[k];if(x >= 0 && x < n && y >= 0 && y < m && map[x][y] == '.' && !vis[x][y]){if(x == 0 || x == n - 1 || y == 0 || y == m - 1){return path;}queue.offer(new int[]{x,y});vis[x][y] = true;}}}}return -1;}
}

3.2 例题2：最小基因变化

• 题目链接：最小基因变化

• 问题描述：

基因序列可以表示为一条由 8 个字符组成的字符串，其中每个字符都是 'A'、'C'、'G' 和 'T' 之一。

假设我们需要调查从基因序列 start 变为 end 所发生的基因变化。一次基因变化就意味着这个基因序列中的一个字符发生了变化。

例如，"AACCGGTT" --> "AACCGGTA" 就是一次基因变化。

另有一个基因库 bank 记录了所有有效的基因变化，只有基因库中的基因才是有效的基因序列。（变化后的基因必须位于基因库 bank 中）

给你两个基因序列 start 和 end ，以及一个基因库 bank ，请你找出并返回能够使 start 变化为 end 所需的最少变化次数。如果无法完成此基因变化，返回 -1 。

注意：起始基因序列 start 默认是有效的，但是它并不一定会出现在基因库中。

• 解题思路：

首先因为字符变化并没有权重，所以这是边权为 1 的最短路问题。那么如何枚举出所有的变化情况呢？答：暴力，因为题目的数据都很小，我们可以把字符串每个位置的字符都用 'A','C','G','T'来替换看看在不在基因库中存在，如果存在且没有被找过，存入到队列中。我们可以使用语言带的哈希表来标记搜索过的地方。

优化：我们预先处理基因库，把基因库里面的数据存入到哈希表中，这样就可以用O（1）的时间复杂度来快速找到。

• 代码编写：

class Solution {public int minMutation(String startGene, String endGene, String[] bank) {// BFS// 1.创建 哈希表 来快速判断Set<String> hash = new HashSet<>();// 用来快速判断一个字符串是否再bank里面出现Set<String> vis = new HashSet<>();// 用来标记已经变化过的字符串char[] change = { 'A', 'C', 'G', 'T' };for (String tmp : bank) {hash.add(tmp);}if (startGene.equals(endGene)) {// 处理边界情况return 0;}if (!hash.contains(endGene)) {return -1;}Queue<String> queue = new LinkedList<>();queue.offer(startGene);//存入开始位置int path = 0;while (!queue.isEmpty()) {path++;// 代表剥离一层int size = queue.size();for (int i = 0; i < size; i++) {// 找出全部变化String tmp = queue.poll();vis.add(tmp);for (int j = 0; j < 8; j++) {// 把8个位置上的元素全部修改char[] s = tmp.toCharArray();//细节问题，不能放在外面，因为放在//外面那么就不能保证只修改一个元素了for (int k = 0; k < 4; k++) {s[j] = change[k];String next = new String(s);//char[]是不能toString的if (next.equals(endGene)) {//找到出口return path;}if (hash.contains(next) && !vis.contains(next)) {queue.offer(next);vis.add(next);}}}}}return -1;}
}

3.3 例题3：单词接龙

• 题目链接：单词接龙

• 问题描述：

字典 wordList 中从单词 beginWord 和 endWord 的 转换序列 是一个按下述规格形成的序列 beginWord -> s1 -> s2 -> ... -> sk：

每一对相邻的单词只差一个字母。
对于 1 <= i <= k 时，每个 si 都在 wordList 中。注意， beginWord 不需要在 wordList 中。
sk == endWord

给你两个单词 beginWord 和 endWord 和一个字典 wordList ，返回从 beginWord 到 endWord 的 最短转换序列 中的 单词数目 。如果不存在这样的转换序列，返回 0 。

• 解题思路：

这题可以说是例题2的升级版，因此基本解法是一样的，区别就是例题2是 4 个字符替换，本题是26个字符替换。注意这题找不到是返回 0。

优化：如果 endWord 不在 wordList 中直接返回 0 即可。

• 代码编写：

class Solution {public int ladderLength(String beginWord, String endWord, List<String> wordList) {//最短路径问题，权值是相同的//采用 BFS 来解决char[] change = new char[26];for(int i = 0;i < 26;i++){change[i] = (char)(i + 'a');}Set<String> hash = new HashSet<>();//用来记录字典Set<String> set = new HashSet<>();//用来去重//处理一些边界情况//题目说明了不会出现这种情况for(String s:wordList){hash.add(s);}if(!hash.contains(endWord)){//不存在的情况return 0;}Queue<String> queue = new LinkedList<>();queue.offer(beginWord);int n = beginWord.length();//每个单词有多长//进行 BFS 查找int path = 1;//用来记录层数while(!queue.isEmpty()){int size = queue.size();path++;for(int i = 0;i < size;i++){String next = queue.poll();set.add(next);for(int j = 0;j < n;j++){char[] s = next.toCharArray();//方便替换for(int k = 0;k < 26;k++){s[j] = change[k];String tmp = new String(s);if(tmp.equals(endWord)){//找到答案return path;}if(hash.contains(tmp) && !set.contains(tmp)){queue.offer(tmp);set.add(tmp);//标记为找到了}}}}} return 0;//注意这题找不到是返回0}
}

3.4 例题4：为高尔夫比赛砍树

• 题目链接：为高尔夫比赛砍树

• 问题描述：

你被请来给一个要举办高尔夫比赛的树林砍树。树林由一个 m x n 的矩阵表示，在这个矩阵中：

0 表示障碍，无法触碰
1 表示地面，可以行走
比 1 大的数 表示有树的单元格，可以行走，数值表示树的高度

每一步，你都可以向上、下、左、右四个方向之一移动一个单位，如果你站的地方有一棵树，那么你可以决定是否要砍倒它。

你需要按照树的高度从低向高砍掉所有的树，每砍过一颗树，该单元格的值变为 1（即变为地面）。

你将从 (0, 0) 点开始工作，返回你砍完所有树需要走的最小步数。如果你无法砍完所有的树，返回 -1 。

可以保证的是，没有两棵树的高度是相同的，并且你至少需要砍倒一棵树。

• 解题思路：

1. 找出砍树的顺序。

2. 按照砍树的顺序，一个一个的用 bfs 求出最短路即可（封装成一个函数）。

• 代码编写：

直接利用语言自带 sort 排序，注意每次传入 bfs 求最短路的起点和终点每次都不一样，要一直更新。

class Solution {int n,m;public int cutOffTree(List<List<Integer>> forest) {n = forest.size();m = forest.get(0).size();//1.把不为0的数的下标存入listList<int[]> ret = new ArrayList<>();for(int i = 0;i < n;i++){for(int j = 0;j < m;j++){if(forest.get(i).get(j) > 1){ret.add(new int[]{i,j});}}}//2.排序Collections.sort(ret,(o1,o2) -> {return forest.get(o1[0]).get(o1[1]) > forest.get(o2[0]).get(o2[1]) ? 1 : -1;});//从小到大排序//3.从小到大用dfs找，找不到返回-1int path = 0;int sum = 0;//最后全部的和int x = 0,y = 0;//起点for(int[] tmp:ret){path = bfs(forest,x,y,tmp[0],tmp[1]);if(path == -1){return -1;//找不到立即返回 -1}x = tmp[0];y = tmp[1];//每个起点是不一样的，要一直更新sum += path;}return sum;}int[] dx = {0,0,1,-1};int[] dy = {1,-1,0,0};public int bfs(List<List<Integer>> f, int bx, int by, int ex, int ey){if(bx == ex && by == ey) return 0;//可能起点即终点Queue<int[]> q = new LinkedList<>();boolean[][] vis = new boolean[n][m];q.add(new int[]{bx, by});vis[bx][by] = true;int step = 0;while(!q.isEmpty()){int sz = q.size();step++;while(sz-- != 0){int[] t = q.poll();int a = t[0], b = t[1];for(int i = 0; i < 4; i++){int x = a + dx[i], y = b + dy[i];if(x >= 0 && x < n && y >= 0 && y < m && f.get(x).get(y)!= 0 && !vis[x][y]){if(x == ex && y == ey) return step;q.add(new int[]{x, y});vis[x][y] = true;}}}}return -1;}
}