一个递推通项公式研究

递推关系为a(n) =pa(n−1) +qa(n−2) ，本项=前一项*2+前前项，具体如

1，1，3，7，17，41，99，239，……

一般的递推关系可以用以下方法
在这里插入图片描述
得两个解：

用第3项、第4项组两个方程：

解方程的结果

解方程的链接：https://mathdf.com/equ/cn/

以上解方程略显麻烦，用以下的python代码：

from sympy import symbols, Eq, solve, sqrt# 定义变量
x, y = symbols('x y')# 定义方程
eq1 = Eq((1 + sqrt(2))**3 * x + (1 - sqrt(2))**3 * y, 3)
eq2 = Eq((1 + sqrt(2))**4 * x + (1 - sqrt(2))**4 * y, 7)# 求解方程组
solution = solve((eq1, eq2), (x, y))
print(solution)

得出结果：
{x: -1/2 + sqrt(2)/2, y: -sqrt(2)/2 - 1/2}

即
在这里插入图片描述
化简之后为，注意项数从0开始（后来发现的）：

Excel验证，有误差，是复杂的计算导致精度丢失：

在这里插入图片描述
python验证

import math  def calculate_y(n):  sqrt2 = math.sqrt(2)  # 计算公式的各个部分  part1_numerator = 3  part1_denominator = 7 * 2 * sqrt2 - 20  part2_numerator = (1 - sqrt2)**3 * (3 * sqrt2 - 4)  part3 = (1 + sqrt2)**3  # 计算整个表达式的值  first_term = ((1 + sqrt2)**n) * (part1_numerator - part2_numerator / part1_denominator) / part3  second_term = ((1 - sqrt2)**n) * (3 * sqrt2 - 4) / part1_denominator  y = first_term + second_term  return y  # 获取用户输入  
n = float(input("请输入n的值: "))  # 计算并打印y的值  
y = calculate_y(n)  
print(f"当n={n}时，y的值为: {y}")