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欧拉定理
设$m$是正整数，$r\in {\mathbb{Z}}_m$且$gcd(r,m)=1$。那么：
$$r^{\varphi (m)}=1(modm)$$

证：设$r_1,r_2,...,r_{\varphi (m)}$是一组即约剩余系，那么$r{r}_1,...,r{r}_{\varphi (m)}$也是即约剩余系。
因此$(r{r}_1)\ast ....\ast (r{r}_{\varphi (m)})=r_1,...,r_{\varphi (m)}（modm）$（补充证明）
即$r^{\varphi (m)}(r_1,...,r_{\varphi (m)})=(r_1,...,r_{\varphi (m)})(modm)$
$r_1,...,r_{\varphi (m)}$与$m$互素，所以$r^{\varphi (m)}=1(modm)$。

补充证明：
设$m\in {\mathbb{Z}}^{+}$，整数$a,gcd(a,m)=1$。若$x$是模$m$的即约剩余系，那么$ax$也是模$m$的即约剩余系。
证：因为$gcd(a,m=1),gcd(x,m)=1$，那么$gcd(ax,m)=1$。若$ax$中存在元素相等，那么有$a{x}_i=a{x}_j(modm)$，则有$x_i=x_j(modm)$，于已知违背，所以$ax$也是模$m$的即约剩余系。

两个不同模$m$即约剩余系乘积相等。
证：设 与$m$互素的$\varphi (m)$个小于$m$的元素(最小非负即约剩余系)为$x_1,..,x_{\varphi (m)}$，则即约剩余系表示为$x_1+k_{1}m,...,x_{\varphi (m)}+k_{\varphi (m)}m$
两个即约剩余系的乘积分别为
$a=(x_1+k_{1}m)\ast ...\ast x_{\varphi (m)}+k_{\varphi (m)}m=(x_1\ast ...\ast x_{\varphi (m)})+rm$;
$b=(x_1+k_1^{\prime }m)\ast ...\ast x_{\varphi (m)}+k_{\varphi (m)}^{\prime }m=(x_1\ast ...\ast x_{\varphi (m)})+r^{\prime }m$
因此$a=b(modm)$

费马小定理
设$p$是素数，对任意$a\in \mathbb{Z}$，有$a^p=a(modp)$
证：

1. $a=kp,0=a(modp)$，得$(kp{)}^p=k^p{p}^p(modp)=0$。

2. $a\ne kp$，那么$gcd(a,p)=1$，则有$a^{p-1}=1(modp)$，所以$a^p=p(mpdp)$