01背包问题，你该了解这些！
46. 携带研究材料（第六期模拟笔试） (kamacoder.com)
代码随想录 (programmercarl.com)
- 确定dp数组（dp table）以及下标的含义：dp[i][j] 表示从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。
- 确定递推公式：
两个方向推出来dp[i][j]，
- 不放物品i：由dp[i - 1][j]推出，即背包容量为j，里面不放物品i的最大价值，此时dp[i][j]就是dp[i - 1][j]。(其实就是当物品i的重量大于背包j的重量时，物品i无法放进背包中，所以背包内的价值依然和前面相同。)
- 放物品i：由dp[i - 1][j - weight[i]]推出，dp[i - 1][j - weight[i]] 为背包容量为j - weight[i]的时候不放物品i的最大价值，那么dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i] （物品i的价值），就是背包放物品i得到的最大价值
- dp数组如何初始化：
首先从dp[i][j]的定义出发，如果背包容量j为0的话，即dp[i][0]，无论是选取哪些物品，背包价值总和一定为0。如图：
在看其他情况。
状态转移方程 dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]); 可以看出i 是由 i-1 推导出来，那么i为0的时候就一定要初始化。
dp[0][j]，即：i为0，存放编号0的物品的时候，各个容量的背包所能存放的最大价值。
那么很明显当 j < weight[0]的时候，dp[0][j] 应该是 0，因为背包容量比编号0的物品重量还小。
当j >= weight[0]时，dp[0][j] 应该是value[0]，因为背包容量放足够放编号0物品。
- 确定遍历顺序：
dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]); 递归公式中可以看出dp[i][j]是靠dp[i-1][j]和dp[i - 1][j - weight[i]]推导出来的。
dp[i-1][j]和dp[i - 1][j - weight[i]] 都在dp[i][j]的左上角方向（包括正上方向），那么先遍历物品，再遍历背包的过程如图所示：
再来看看先遍历背包，再遍历物品呢，如图：
大家可以看出，虽然两个for循环遍历的次序不同，但是dp[i][j]所需要的数据就是左上角，根本不影响dp[i][j]公式的推导！
但先遍历物品再遍历背包这个顺序更好理解
- 举例推导dp数组：
题目描述
小明是一位科学家，他需要参加一场重要的国际科学大会，以展示自己的最新研究成果。他需要带一些研究材料，但是他的行李箱空间有限。这些研究材料包括实验设备、文献资料和实验样本等等，它们各自占据不同的空间，并且具有不同的价值。
小明的行李空间为 N，问小明应该如何抉择，才能携带最大价值的研究材料，每种研究材料只能选择一次，并且只有选与不选两种选择，不能进行切割。
输入描述
第一行包含两个正整数，第一个整数 M 代表研究材料的种类，第二个正整数 N，代表小明的行李空间。
第二行包含 M 个正整数，代表每种研究材料的所占空间。
第三行包含 M 个正整数，代表每种研究材料的价值。
输出描述
输出一个整数，代表小明能够携带的研究材料的最大价值。
注意代码为ACM模式，输入m为物品数横轴，n为重量，作为纵轴，矩阵尺寸应为mx(n+1)，因为n多出了需要考虑重量是0的情况。
m, n = map(int, input().split())weights = list(map(int, input().split()))
values = list(map(int, input().split()))
#initialize
dp = [[0]*(n+1) for _ in range(m)]
#when n = 0, dp[i][0] = 0
for j in range(n+1):if weights[0]<=j:dp[0][j] = values[0]else:dp[0][j] = 0
def bag():for i in range(1,m):for j in range(1,n+1):if j<weights[i]:dp[i][j] = dp[i-1][j]else:dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-weights[i]]+values[i])return dp[m-1][n]
print(bag())01背包问题，你该了解这些！ 滚动数组
- 确定dp数组的定义：在一维dp数组中，dp[j]表示：容量为j的背包，所背的物品价值可以最大为dp[j]。
- 一维dp数组的递推公式：两种可能，一种是不放入物品i，及自身的价值dp[j]，一种是放入物品i，dp[j-weights[i]]+values[i]，所以dp[j] = max(dp[j], dp[j-weigts[i]]+values[i])
- 一维dp数组如何初始化
关于初始化，一定要和dp数组的定义吻合，否则到递推公式的时候就会越来越乱。
dp[j]表示：容量为j的背包，所背的物品价值可以最大为dp[j]，那么dp[0]就应该是0，因为背包容量为0所背的物品的最大价值就是0。
那么dp数组除了下标0的位置，初始为0，其他下标应该初始化多少呢？
看一下递归公式：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
dp数组在推导的时候一定是取价值最大的数，如果题目给的价值都是正整数那么非0下标都初始化为0就可以了。
这样才能让dp数组在递归公式的过程中取的最大的价值，而不是被初始值覆盖了。
那么我假设物品价值都是大于0的，所以dp数组初始化的时候，都初始为0就可以了
- 一维dp数组遍历顺序：从后向前，避免重复添加上一层数量，先遍历物品，再遍历背包。
- 举例推导dp数组
ACM代码：
m, n = map(int, input().split())
weights = list(map(int, input().split()))
values = list(map(int, input().split()))
#initialize
dp = [0]*(n+1) #1-dimensional array
def bag():for i in range(m):for j in range(n,weights[i]-1, -1):dp[j] = max(dp[j], dp[j-weights[i]]+values[i])return dp[n]
print(bag())416. 分割等和子集
给你一个 只包含正整数 的 非空 数组 nums 。请你判断是否可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。
解题思路：
本题可以使用回溯或背包解答。可以将其看作一个nums，如果该数组能得到一个sum(nums)//2的子集，该数组可以拆成两个一样的子数集且和相等，return True。
类似于背包问题的解题思路，
1. 确认dp数组的定义：dp[j]当容量为j时的最大数之和（最大价值），需要注意的是，这里物品i和价值均为nums[i].
2. 一维dp推导公式：dp[j] = max(dp[j], dp[j-weights[i]]+values[i])
3. 一维dp数组如何初始化：dp[0] = 0
4. 一维dp数组遍历顺序：从后向前，避免重复添加上一层数量，先遍历物品，再遍历背包
5. 举例推导dp数组
代码：
class Solution:def canPartition(self, nums: List[int]) -> bool:if sum(nums)%2 != 0:return Falsetarget = sum(nums)//2#target is the largest bagweightdp = [0]*(target+1)for i in range(len(nums)):for j in range(target, nums[i]-1, -1):dp[j] = max(dp[j], dp[j-nums[i]]+nums[i])if dp[target] == target:return Truereturn False
