有依赖的的动态规划问题

题目

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题型分析

这是比较典型的动态规划的问题。动态规划是什么呢？本质上动态规划是对递归的优化。例如，兔子数列：f(x) = f(x - 1) + f(x -2), 我们知道 f 代表了计算公式，这里解放思想一下，如果 f 替换为数组，将每个 f(x) 的返回值返回，那么是不是就不用计算了，直接返回了，这样就节省了 CPU 递归和计算的时间，提高计算的效率，这样就对递归进行了优化。

public static fb(int input){if(input == 1){return 1 ;}if(input == 2){return 2 ;}return fb(input -1) + fb(input - 2);
}

改成动态规划：

public static fb(int input){int[] dp = new int[input + 1];dp[1] = 1 ;dp[2] = 2 ;for(int i = 3 ; i <= input ; i++){dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2] ;}return dp[input] ;
}

斐波那契数列只是一个数列而已。只是我们可以从中总结出一些规律：

  1. 找到初始值。这就是递归的出口。
  2. 然后以初始值为起点，往后继续计算。这代表了各个递归调用。

说完斐波那契数列，我们可以把难度增加。经典的 0-1 背包问题。它题目往往是这样有两个一维数组，第一个代表了容量，第二个代表价值，给定一个 N 正整数值，N 值是背包能装的容量，数组的一个元素代表了一个物品，一个物品只能装一个，问背包能装下的最大价值是多少？
递归的算法：
定义 process(int i , int N , int[][] capacity , int[][] value) , 其中 i 代表 i ~ capacity.length 容量为 N 的情况下，返回最大的价值。
于是可以按两种情况处理。

  1. 不要 i 物品, 那么递归应该 process(i , N ) = process(i + 1 , N)
  2. 要 i 物品，那么递归应该 process(i , N) = value[i] + process(i + 1 , N - capacity[i])
  3. 然后取里面最大的那个。

有了上面的分析，递归可以写为：

    public static int process(int[] weight, int[] value, int startIdx, int bagWeight) {if (startIdx == weight.length - 1) {return (weight[startIdx] <= bagWeight ? value[startIdx] : 0);}if (bagWeight == 0) {return 0;}// 不将 startIdx 的物品放入背包int v1 = process(weight, value, startIdx + 1, bagWeight);int v2 = 0;if (bagWeight >= weight[startIdx]) {v2 = process(weight, value, startIdx + 1, bagWeight - weight[startIdx])+ value[startIdx];}return Math.max(v2, v1);}

同样的如果将 process 看成是数组，那么可以想象：

  1. 可以先计算出 dp[capacity.length -1 ][0 … N] 的初始中，代表的业务含义是当容量从 0 到 N 时的最大价值。
  2. 我们可以看出 i 的值是依赖于 i + 1 的值，所以 dp[capacity.length - 2 ][0 … N] 也可以计算出来，一次类推，数组的所有需要的值都可以计算出来。
  3. 最后返回的是 dp[0][N] 的值就可以了。

于是动态规划的版本如下所示：

public static int processWithDp(int[] w , int[] v , int bag){int[][] dp = new int[w.length+1][bag+1];int p1 = 0 ;int p2 = 0 ;for(int index = w.length - 1 ; index >=0  ; index--){for(int rest = 0 ; rest <= bag ; rest++){p1 = dp[index+1][rest];p2 = 0 ;if(rest >= w[index]){p2 = dp[index+1][rest - w[index]] + v[index];}dp[index][rest] =  Math.max(p1 , p2);}}return dp[0][bag] ;}

最后说到这个题目，此题是在 0-1 背包的基础上增加了依赖。从题目中，可以知道附件不能离开主件独立存在，所以可以先以主件分组，A1{main , fj1 , fj2 } , A2{main , fj1 , fj2} … 在计算的时候，取下面的最大值。

  1. 不要 i 主件物品， A(i , N) = A(i +1 , N)
  2. 只要 i 主件物品，A(i , N) = A(i + 1 , N - A(i)的价格)
  3. 只要 i 主件、fj1， A(i , N) = A(i + 1 , N - A(i)的价格 - fj1 的价格)
  4. 只要 i 主件、fj2， A(i , N) = A(i + 1 , N - A(i)的价格 - fj2 的价格)
  5. i 主件、fj1、fj2， A(i , N) = A(i + 1 , N - A(i)的价格 - fj1 的价格 - fj2 的价格)

根据这样的理解，编写如下代码:

import java.util.*;  // 注意类名必须为 Main, 不要有任何 package xxx 信息
public class Main {public static void main(String[] args) {Scanner in = new Scanner(System.in);// 注意 hasNext 和 hasNextLine 的区别int N = 0 ; int m = 0 ;List<Product> products = new ArrayList();if(in.hasNextInt()) { // 注意 while 处理多个 caseN = in.nextInt();m = in.nextInt();}for(int a = 1 ; a <= m ; a++){products.add(new Product(a ,in.nextInt() , in.nextInt() , in.nextInt()));}int[][] value = new int[products.size()][3];int[][] price = new int[products.size()][3];List<Product> main = component(value , price , products);System.out.println(maxSatisfiedSocre2(N , main , value , price));}public static  List<Product> component(int[][] value , int[][] price , List<Product> products){List<Product> main = new ArrayList();int j = 0 ;for(int i = 0 ; i < products.size() ; i++){if(products.get(i).q == 0){main.add(products.get(i));value[j][0] = products.get(i).v;price[j][0] = products.get(i).p;List<Product> c = getFj(products.get(i).idx , products);if(c.size() > 0){value[j][1] = c.get(0).p;price[j][1] = c.get(0).v;if(c.size() > 1 ){value[j][2] = c.get(1).p;price[j][2] = c.get(1).v;}}j++;}}return main ;}public static List<Product> getFj(int id , List<Product> products){List<Product> rs = new ArrayList<Product>();for(int i = 0 ; i < products.size() ; i++){if(id == products.get(i).q){rs.add(products.get(i));}}return rs ;}public static class Product{public int idx ;public int v ;public int p ;public int q ;public Product(int idx ,int v , int p , int q){this.idx = idx ;this.v = v ;this.p = p ;this.q = q ;}}// 递归版本，此解法会超时public static int maxSatisfiedSocre(int N ,List<Product> products , int[][] value , int[][] price){if(N == 0 || null == products || products.size() == 0) return 0 ;return process(0 , N , products , value , price);}// 动态递归的解法public static int maxSatisfiedSocre2(int N ,List<Product> products , int[][] value , int[][] price){if(N == 0 || null == products || products.size() == 0) return 0 ;int[][] dp = new int[products.size()][N+1];int p1 = -1 ;int p2 = -1 ;int p3 = -1 ;int p4 = -1 ;int idx = products.size()-1 ;// int j = N ;for(int j = N ; j >= products.get(idx).v ; j-- ){p1 = -1 ;p2 = -1 ;p3 = -1 ;p4 = -1 ;if( j >= products.get(idx).v){p1 = products.get(idx).v*products.get(idx).p ;// dp[idx][j - products.get(idx).v] = p1 ;}if(j >= products.get(idx).v + price[idx][1]){p2 = products.get(idx).v*products.get(idx).p + value[idx][1]*price[idx][1] ;// dp[idx][j - products.get(idx).v - price[idx][1]] = p2 ;              }if(j >= products.get(idx).v + price[idx][2]){p3 = products.get(idx).v*products.get(idx).p + value[idx][2]*price[idx][2] ;// dp[idx][j - products.get(idx).v - price[idx][2]] = p3 ;              }if(j >= products.get(idx).v + price[idx][1] + price[idx][2]){p4 = products.get(idx).v*products.get(idx).p + value[idx][1]*price[idx][1] + value[idx][2]*price[idx][2] ;// dp[idx][j - products.get(idx).v - price[idx][1] - price[idx][2]] = p4 ;}dp[idx][j] = Math.max(Math.max(p1 , p2) , Math.max(p3 , p4));}int p5 = -1 ;for(int i = products.size() - 2 ; i>=0  ; i--){for(int j = N ; j > 0 ; j--){p1 = -1 ;p2 = -1 ;p3 = -1 ;p4 = -1 ;p5 = -1 ;if( j >= products.get(i).v ){p1 = products.get(i).v*products.get(i).p + dp[i+1][j - products.get(i).v];// dp[i][j - products.get(i).v] = p1 ;}if(j >= products.get(i).v + price[i][1]){p2 = products.get(i).v*products.get(i).p + value[i][1]*price[i][1] + dp[i+1][j - products.get(i).v - price[i][1]];// dp[i][j - products.get(i).v - price[i][1]] = p2;}if(j >= products.get(i).v + price[i][2]){p3 = products.get(i).v*products.get(i).p + value[i][2]*price[i][2] + dp[i+1][j - products.get(i).v - price[i][2]];// dp[i][j - products.get(i).v - price[i][2]] = p3 ;                 }if(j >= products.get(i).v + price[i][1] + price[i][2]){p4 = products.get(i).v*products.get(i).p + value[i][1]*price[i][1] + value[i][2]*price[i][2] + dp[i+1][j - products.get(i).v - price[i][1] - price[i][2]];// dp[i][j - products.get(i).v - price[i][1] - price[i][2] ] = p4 ;  }// 不要 ip5 = dp[i+1][j];dp[i][j] = Math.max(Math.max(p1 , p2) , Math.max(Math.max(p3 , p4) , p5));}}return dp[0][N];}// 递归版本的实际实现。public static int process(int i , int N , List<Product> products , int[][] value , int[][] price){if(i + 1 == products.size()){int p1 = -1 ;int p2 = -1 ;int p3 = -1 ;int p4 = -1 ;if( N >= products.get(i).v){p1 = products.get(i).v*products.get(i).p ;}if(N >= products.get(i).v + price[i][1]){p2 = products.get(i).v*products.get(i).p + value[i][1]*price[i][1] ;}if(N >= products.get(i).v + price[i][2]){p3 = products.get(i).v*products.get(i).p + value[i][2]*price[i][2] ;}if(N >= products.get(i).v + price[i][1] + price[i][2]){p4 = products.get(i).v*products.get(i).p + value[i][1]*price[i][1] + value[i][2]*price[i][2] ;}return Math.max(Math.max(p1 , p2) , Math.max(p3 , p4));}int p1 = -1 ;int p2 = -1 ;int p3 = -1 ;int p4 = -1 ;// 只要 i 的作为主键int next = process(i+1 , N - products.get(i).v , products , value , price);if(-1 == next){next = 0 ;}if( N >= products.get(i).v ){p1 = products.get(i).v*products.get(i).p + next ;}if(N >= products.get(i).v + price[i][1]){next = process(i+1 , N - products.get(i).v - price[i][1] , products , value , price);if(-1 == next){next = 0 ;}p2 = products.get(i).v*products.get(i).p + value[i][1]*price[i][1] + next ;}if(N >= products.get(i).v + price[i][2]){next = process(i+1 , N - products.get(i).v - price[i][2] , products , value , price);if(-1 == next){next = 0 ;}p3 = products.get(i).v*products.get(i).p + value[i][2]*price[i][2] + next;}if(N >= products.get(i).v + price[i][1] + price[i][2]){next = process(i+1 , N - products.get(i).v - price[i][1] - price[i][2] , products , value , price);if(-1 == next){next = 0 ;}p4 = products.get(i).v*products.get(i).p + value[i][1]*price[i][1] + value[i][2]*price[i][2] + next;}// 不要 iint p5 = process(i+1 , N , products , value , price);return Math.max(Math.max(p1 , p2) , Math.max(p5 , Math.max(p3 , p4)));}
}

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