积分学＜4＞——定积分的性质

索引

定积分的性质
- 远算性质
- - 定理4.1 定积分的线性性
  - 定理4.2 定积分的乘积可积性
  - 定理4.3 定积分的保序性
  - 定理4.4 定积分的绝对可积性
  - 定理4.5 定积分的区间可加性
- 积分中值定理
- - 积分第一中值定理

定积分的性质

远算性质

定理4.1 定积分的线性性

若函数 $f\left ( x \right )$ , $g\left ( x \right )$ 在闭区间 $\left [ a,b \right ]$ 上可积,则函数 $k_{1}f\left ( x \right ) +k_{2}g\left ( x \right )$ 也在闭区间 $\left [ a,b \right ]$ 上可积,且 $\int_{a}^{b}k_{1}f\left ( x \right ) +k_{2}g\left ( x \right ) dx=k_{1} \int_{a}^{b}f\left ( x \right )dx+ k_{2} \int_{a}^{b}g\left ( x \right )dx$ 。

定理4.2 定积分的乘积可积性

若函数 $f\left ( x \right )$ , $g\left ( x \right )$ 在闭区间 $\left [ a,b \right ]$ 上可积,则函数 $f\left ( x \right ) \cdot g\left ( x \right )$ 也在闭区间 $\left [ a,b \right ]$ 上可积。

定理4.3 定积分的保序性

若函数 $f\left ( x \right )$ , $g\left ( x \right )$ 在闭区间 $\left [ a,b \right ]$ 上可积, $f\left ( x \right )\ge g\left ( x \right )$ , $\int_{b}^{a} f\left ( x \right )dx\ge \int_{b}^{a}g\left ( x \right ) dx$ 。

构造函数 $h\left ( x \right )=f\left ( x \right )-g\left ( x \right ) \ge 0$ 。
根据定积分的线性性,函数 $h\left ( x \right )$ 可积,且 $\int_{a}^{b} h\left ( x \right ) dx=\int_{a}^{b} f\left ( x \right ) -g\left ( x \right )dx=\int_{a}^{b} f\left ( x \right )dx-\int_{a}^{b} g\left ( x \right )dx$ ,
$\forall \varepsilon >0$ , $\exists \delta >0$ : $\forall P$ , $\forall \xi_{i} \in \left [ x_{i-1},x_{i}\right ]$ , $\forall \lambda \in \left ( 0,\delta \right )$ , $\sum_{i=1}^{n} \left ( h\left ( \xi _{i} \right ) \Delta x_{i} \right )\ge 0$ ,
根据数列极限的保序性, $\int_{a}^{b} h\left ( x \right ) dx=\lim _{\lambda \to 0} \left [ \sum_{i=1}^{n} \left ( h\left ( \xi _{i} \right ) \Delta x_{i} \right ) \right ] \ge 0$ ,即 $\int_{a}^{b} f\left ( x \right )dx \ge \int_{a}^{b} g\left ( x \right )dx$ 。

定理4.4 定积分的绝对可积性

若函数 $f\left ( x \right )$ , $g\left ( x \right )$ 在闭区间 $\left [ a,b \right ]$ 上可积,则函数 $\left | f\left ( x \right ) \right |$ 也在闭区间 $\left [ a,b \right ]$ 上可积,且 $\int_{a}^{b} \left | f\left ( x \right ) \right |dx \ge \int_{a}^{b} f\left ( x \right )dx$ 。

定理4.5 定积分的区间可加性

若函数 $f\left ( x \right )$ 在闭区间 $\left [ a,b \right ]$ 上可积, $c\in \left ( a,b \right )$ ,则函数 $f\left ( x \right )$ 在闭区间 $\left [ a,c \right ]$ , $\left [ c,b \right ]$ 上均可积,反之亦然,且 $\int_{a}^{b} f\left ( x \right ) dx=\int_{a}^{c} f\left ( x \right ) dx + \int_{c}^{b} f\left ( x \right ) dx$ 。

若函数 $f\left ( x \right )$ 在闭区间 $\left [ a,b \right ]$ 上可积,则可取一个划分P,设c为P的一个分点x_{k}(如不然,将c作为新分点添加入划分P,根据引理3.1, $\left | \sum_{i=1}^{n}\left ( \omega _{i} \Delta x_{i} \right ) \right | <\varepsilon$ 仍然成立),
在闭区间 $\left [ a,c \right ]$ 上存在划分 $P_{1} =\left \{ \left [ x_{i},x_{i-1} \right ] \mid 1\le i\le k \right \}$ : $\left | \sum_{i=1}^{n}\left ( \omega _{i} \Delta x_{i} \right ) \right | <\varepsilon$ ,函数 $f\left ( x \right )$ 在闭区间 $\left [ a,c \right ]$ 上可积,
在闭区间 $\left [ c,b \right ]$ 上存在划分 $P_{2} =\left \{ \left [ x_{i},x_{i-1} \right ] \mid k+1\le i\le n \right \}$ : $\left | \sum_{i=1}^{n}\left ( \omega _{i} \Delta x_{i} \right ) \right | <\varepsilon$ ,函数 $f\left ( x \right )$ 在闭区间 $\left [ c,b \right ]$ 上可积;
反之,若函数 $f\left ( x \right )$ 在闭区间 $\left [ a,c \right ]$ , $\left [ c,b \right ]$ 上均可积,
设在闭区间 $\left [ a,c \right ]$ 上存在划分 $P_{1} =\left \{ \left [ x_{i},x_{i-1} \right ] \mid 1\le i\le k \right \}$ : $\left | \sum_{i=1}^{n}\left ( \omega_{i} \Delta x_{i} \right ) \right | <\frac{\varepsilon }{2}$ ,在闭区间 $\left [ c,b \right ]$ 上存在划分 $P_{2} =\left \{ \left [ x_{i},x_{i-1} \right ] \mid k+1\le i\le n \right \}$ : $\left | \sum_{i=1}^{n}\left ( \omega _{i} \Delta x_{i} \right ) \right | <\frac{\varepsilon }{2}$ ,
对于划分 $P_{1}$ , $P_{2}$ ,其积划分 $P=P_{1}\cdot P_{2}$ 仍满足 $\lim_{\lambda \to 0} \left [ \sum_{i=1}^{n} f\left ( \left ( \omega _{i}\Delta x_{i} \right ) \right ) \right ]$ ,函数 $f\left ( x \right )$ 在闭区间 $\left [ a,b \right ]$ 上可积。
取一个包含分点c=x_{r}的划分P,设在闭区间 $\left [ a,c \right ]$ 上存在划分 $P_{1} =\left \{ \left [ x_{i},x_{i-1} \right ] \mid 1\le i\le r \right \}$ ,在闭区间 $\left [ c,b \right ]$ 上存在划分 $P_{2} =\left \{ \left [ x_{i},x_{i-1} \right ] \mid r+1\le i\le n \right \}$ ,
易知 $\sum_{i=1}^{n} \left ( f\left ( \omega _{i} \right )\Delta x_{i} \right ) =\sum_{i=1}^{k} \left ( f\left ( \xi _{i} \right )\Delta x_{i} \right ) +\sum_{i=k+1}^{n} \left ( \omega_{i} \Delta x_{i} \right )$ ,对等式两边取 $\lambda \to 0$ 时的极限,可得 $\lim _{\lambda \to 0} \left [ \sum_{i=1}^{n} \left ( \omega_{i} \Delta x_{i} \right )\right ]=\lim _{\lambda \to 0} \left [ \sum_{i=1}^{k} \left ( f\left ( \xi _{i} \right )\Delta x_{i} \right )\right ] +\lim _{\lambda \to 0} \left [ \sum_{i=k+1}^{n} \left ( f\left ( \xi _{i} \right )\Delta x_{i} \right )\right ]$ ,即 $\int_{a}^{b} \left | f\left ( x \right ) \right |dx \ge \int_{a}^{b} f\left ( x \right )dx$ 。

积分中值定理

积分第一中值定理

若函数 $f\left ( x \right )$ , $g\left ( x \right )$ 在闭区间 $\left [ a,b \right ]$ 上可积,且 $g\left ( x \right )$ 不变号,则 $\exists \eta \in \left [ m,M \right ]$ ( $m=\inf f\left ( x \right )$ , $M=\max f\left ( x \right )$ ): $\int_{a}^{b} f\left ( x \right ) g\left ( x \right )dx=\eta \int_{a}^{b} g\left ( x \right ) dx$ 。
若函数 $f\left ( x \right )$ 是闭区间 $\left [ a,b \right ]$ 上的连续函数,则 $\exists \xi \in \left ( a,b \right )$ : $\int_{a}^{b} f\left ( x \right )g\left ( x \right )dx =f\left ( \xi \right )\int_{a}^{b}g\left ( x \right )dx$ 。

易知 $g\left ( x \right ) \le f\left ( x \right ) g\left ( x \right ) \le M g\left ( x \right )$ ,
根据定积分的保序性和线性性, $m\int_{a}^{b} g\left ( x \right )dx \le \int_{a}^{b} f\left ( x \right ) g\left ( x \right )dx \le M\int_{a}^{b} g\left ( x \right )dx$ ,即 $\le \eta =\frac{\int_{a}^{b} f\left ( x \right ) g\left ( x \right )dx}{\int_{a}^{b} g\left ( x \right )dx}\le M$ 。
若函数 $f\left ( x \right )$ 是闭区间 $\left [ a,b \right ]$ 上的连续函数,
引用介值定理, $\exists \xi:f\left ( \xi \right )=\eta \in \left ( m,M \right )$ 。