【数据结构与算法】搜索算法（深度优先搜索 DFS和广度优先搜索 BFS）以及典型算法例题

目录

  • 搜索算法（深度优先搜索DFS和广度优先搜索BFS）以及典型算法例题
    • 深度优先搜索 （Depth First Search 简称 DFS）
      • DFS 的设计步骤
      • 深度优先搜索（DFS）算法例题
        • 例题一：N皇后问题
        • 例题二：路径之谜问题
        • 例题三：最大数字
    • 广度优先搜索（Breadth First Search 简称 BFS）
      • 广度优先搜索基本概念
      • 广度优先搜索（BFS）算法例题
        • 例题一：长草问题
        • 例题二：走迷宫问题

【数据结构与算法】系列文章链接: 【数据结构与算法】递推法和递归法解题（递归递推算法典型例题）
【数据结构与算法】系列文章链接: 【数据结构与算法】C++的STL模板（迭代器iterator、容器vector、队列queue、集合set、映射map）以及算法例题
【数据结构与算法】系列文章链接: 【数据结构与算法】二分查找算法

搜索算法（深度优先搜索DFS和广度优先搜索BFS）以及典型算法例题

深度优先搜索 （Depth First Search 简称 DFS）

注意：深度优先搜索算法（DFS）的时间复杂度较高，深度优先搜索是 O(n!) 的阶乘级算法，它的效率非常低，在数据规模变大时，此算法就难以解决当前的问题了。

DFS 的设计步骤

  1. 确定题目的状态以及边界
  2. 确定状态的转移方式
  3. 找到问题的出口，计数或某个状态
  4. 设计搜索
    DFS的通用模板
int check(这里输入相关参数){if(condition)//括号中写上对应的满足条件return 1;//满足条件后输出 1 return 0;
}
bool pd(输入判断的相关参数){//根据题中 进行具体的操作
}void dfs(int step)
{//判断边界pd(){//不在边界内，即回溯}//尝试每一种可能{//满足check条件//标记//继续下一步dfs(step+1)；//恢复初始状态（回溯的时候要用到）}
}

深度优先搜索（DFS）算法例题

例题一：N皇后问题

在这里插入图片描述
输入示例：

5

输出示例：

10

题目分析：

  1. 第一步：
    设：当前行为第一行，当前列为第一列，从第一列开始搜索，即只能让皇后从第一行放到第n行。
    这样做的好处是，我们不需要去判断皇后是否同行，我们只需要去判断皇后是否在斜线和是否同列就行。
  2. 判断边界
    在当前行，当前列的位置上判断是否满足条件（也就是保证经过这一点的行，列与斜线上都没有两个皇后），如果不满足，跳到第五步（不符合边界条件）
    判断条件为：
    我们使用数值x[a]=i来表示第a个皇后的位置在第a行的第i列。
    判断是否同列的方法是：循环判断x[a]==x[i]是否为真。
    判断是否在同一斜线上的方法：循环判断abs(x[k]-x[i]) == abs(k-i) 是否为真
  3. 搜索过程
    调用check()函数
    如果完成（满足）题意的任务 加一，就继续调用函数 放下一个皇后
  4. check()函数
    如果搜索到第N+1行的时候。求得结果 （可行方案数量）记录加一。
  5. 当前位置不满足，进行回溯。

边界判断函数PD(int k) 判断是否越界：

int PD(int k)//边界判断
{for(int i=1; i<k; i++){if(abs(k-i)==abs(x[k]-x[i]))return 0;else if (x[k]==x[i])return 0;//即判断是否符合条件来放,i表示皇后所在的行数，x[i]表示所在的列数，//所以前面那个条件用来判断两个皇后是否在对角线上,后面用来判断是否在同一列上。//行数不需要判断，因为他们本身的i就代表的是行数}return 1;
}

检查是否完成题中任务的函数check(int a)：

bool check(int a)
{if(a>n)sum++;elsereturn 0;return 1;
}

深度优先搜索的函数 DFS(int a)：

void DFS(int a)
{if(check(a))return ;elsefor(int i=1; i<=n; i++){x[a]=i;//第a个皇后放的列数if(PD(a))//判断是否能放这步DFS(a+1);//能的话进行下一个皇后的放置x[a]=i;else continue ;//不能就下一列}
}

题解代码示例：


#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
int x[15] = {0};//数组稍微建立大一点 防止某些不影响结果的越界报错
int sum,n;//int PD(int k)//边界判断
{for(int i=1; i<k; i++){if(abs(k-i)==abs(x[k]-x[i]))return 0;else if (x[k]==x[i])return 0;//即判断是否符合条件来放,i表示皇后所在的行数，x[i]表示所在的列数，//所以前面那个条件用来判断两个皇后是否在对角线上,后面用来判断是否在同一列上。//行数不需要判断，因为他们本身的i就代表的是行数}return 1;
}//检查
bool check(int a)
{if(a>n)sum++;elsereturn 0;return 1;
}void DFS(int a)
{if(check(a))return ;elsefor(int i=1; i<=n; i++){x[a]=i;//第a个皇后放的列数if(PD(a))//判断是否能放这步DFS(a+1);//能的话进行下一个皇后的放置x[a]=i;else continue ;//不能就下一列}
}
int main()
{cin>>n;//表示几个皇后DFS(1);//每次都从第一个皇后开始cout<<sum<<endl;return 0;
}
例题二：路径之谜问题

在这里插入图片描述
输入示例：

4
2 4 3 4
4 3 3 3

输出示例;

0 4 5 1 2 3 7 11 10 9 13 14 15

题目分析：
方法一：采用逆推法，逆向思维，从终点开始走，每走一格拔下来一个箭（采用方法一 判断条件方便）
方法二：走一格射两个箭。

  1. 设当前位置为第一行，当前列为第一列从左上角开始搜索（寻路）。

  2. 判断边界：
    在当前行，当前列的位置上判断是否满足条件，若不满足条件跳到第五步。
    判断条件：
    flag[x][y]==1标记数组已经被走过
    x<1 || x>n || y<1 || y>n分别表示从左侧走出方格、从右侧走出方格、从上出走出方格、从下处走出方格
    col[x]<=0箭用完了
    rol[y]<=0箭用完了

  3. 搜索过程
    调用check()函数。判断是否走到终点，如果走到终点是否完成任务

  4. check()函数：
    如果当搜索到x=n,y=n时，且箭靶上的箭都没了

  5. 在当前位置上不满足条件的情况，进行回溯，并且还原现场。

check()函数：判断是否走到终点，如果走到终点是否完成任务

bool  check(int x, int y) //判断走过的路径的箭靶数是否与目标相同
{if(x==n && y==n)//走到了终点 {for(int i=1; i<=n; i++){//判断每一列是否为零 if(col[i]!=0){return false;}//如果箭靶上的数目不为0，根据逆推，我们通过当前路径得不到箭靶上的结果}for(int i=1; i<=n; i++){//判断每一行是否为零if(rol[i]!=0){return false;}//如果箭靶上的数目不为0，根据逆推，我们通过当前路径得不到箭靶上的结果}//如果都为零了 就说明这条路对了  然后把这条路线输出出来for(int i=0; i<res.size(); i++){int x=res[i].first;//x 轴坐标int y=res[i].second;//y 轴坐标int sum=n*(x-1)+y-1 ;// 通过计算的到为题目要求的坐标系cout <<sum<< " ";}cout << endl;return false;// 成功终止}//没走到终点return true; //继续搜索//关于终止还是继续我们交给判定即可
}

判断是否超出边界的函数pd()：

//边缘判断条件
bool pd(int x2,int y2) //边界判断
{if(flag[x2][y2]==1)return 0;//已被走过，不能再走，超出边界else if(x2<1)return 0;//从左侧走出方格else if(x2>n)return 0;//从右侧走出方格else if(y2<1)return 0;//从上侧走出方格else if(y2>n)return 0;//从下侧走出方格//剪枝else if(col[x2]<=0)return 0;//没走到右下角，箭用完了else if(rol[y2]<=0)return 0;//没走到右下角，箭用完了else return 1;//符合边界条件，可以继续执行搜索
}
#include <bits/stdc++.h>using namespace std;struct PII
{int first;//x坐标int second;//y坐标
};const int N = 30;
int rol[N];//行 也就是y轴
int col[N];//列 也就是x轴
int n;//格子数 长宽从1到n
bool flag[N][N]; //用来标记是否走过
vector<PII> res;////---------图的路径搜索常用方向移动表示-------int dx[4]= {0,1,-1,0};
int dy[4]= {1,0,0,-1};
//我们做一下约定：
// 两两组合形成上下左右四个方向
//      1------------------> x
//      |
//      |
//      |
//      |
//      |
//      |
//      |
//      ↓
//      y// dx[0]=0 dy[0]=1 那么代表向下的方向
// dx[1]=1 dy[1]=0 那么代表向右的方向
// dx[2]=-1 dy[0]=0 那么代表向左的方向
// dx[3]=0 dy[1]=-1 那么代表向上的方向//--------------------------------------------bool  check(int x, int y) //判断走过的路径的箭靶数是否与目标相同
{if(x==n && y==n)//走到了终点 {for(int i=1; i<=n; i++){//判断每一列是否为零 if(col[i]!=0){return false;}//如果箭靶上的数目不为0，根据逆推，我们通过当前路径得不到箭靶上的结果}for(int i=1; i<=n; i++){//判断每一行是否为零if(rol[i]!=0){return false;}//如果箭靶上的数目不为0，根据逆推，我们通过当前路径得不到箭靶上的结果}//如果都为零了 就说明这条路对了  然后把这条路线输出出来for(int i=0; i<res.size(); i++){int x=res[i].first;//x 轴坐标int y=res[i].second;//y 轴坐标int sum=n*(x-1)+y-1 ;// 通过计算的到为题目要求的坐标系cout <<sum<< " ";}cout << endl;return false;// 成功终止}//没走到终点return true; //继续搜索//关于终止还是继续我们交给判定即可
}//边缘判断条件
bool pd(int x2,int y2) //边界判断
{if(flag[x2][y2]==1)return 0;//已被走过，不能再走，超出边界else if(x2<1)return 0;//从左侧走出方格else if(x2>n)return 0;//从右侧走出方格else if(y2<1)return 0;//从上侧走出方格else if(y2>n)return 0;//从下侧走出方格//剪枝else if(col[x2]<=0)return 0;//没走到右下角，箭用完了else if(rol[y2]<=0)return 0;//没走到右下角，箭用完了else return 1;//符合边界条件，可以继续执行搜索
}void dfs(int x,int y)
{if(!check(x,y)){return ;//包含不符合规则的地方，回溯，用于剪枝}else{for(int i=0; i<4; i++){int xt=dx[i]+x;int yt=dy[i]+y;if(!pd(xt,yt)){continue ;//不符合要求继续换方向搜索}else{//因为要进行位置转移，我们给它起个名字，叫作案现场//比如向下移动flag[xt][yt]=true;col[xt]--;rol[yt]--;res.push_back({xt,yt});dfs(xt,yt);//搜索回溯后，因为没有找到正确答案，所以要回复作案现场，返回到搜索之前res.pop_back();flag[xt][yt]=false;col[xt]++;rol[yt]++;}}}
}int main()
{cin >> n;for(int i=1; i<=n; i++)cin >> rol[i];for(int i=1; i<=n; i++)cin >> col[i];flag[1][1]=true;col[1]--;//先拔一根箭rol[1]--;//先拔一根箭res.push_back({1,1});dfs(1,1);return 0;
}
例题三：最大数字

在这里插入图片描述
输入样例：

123 1 2

输出样例：

933

在这里插入图片描述
题目分析：

从左到右以此判断，从左边开始枚举。处理的时候的目的就是保证当前正在处理的数尽可能的变大。
使用的时候对于一个数要么使用方法一，要么使用方法二，因为它们是抵消的效果。
对于一个数字:
**操作二的使用情况：**如果这个数大于m（操作二的最大执行次数）,那么就没必要执行操作二了，这样反而让这个数据更小。因此执行操作二的条件是:x<m.
**操作一的使用情况：**如果这个数据x>=m我们就执行操作一，一直加尽量加到9，那么需要进行 9-x 次 操作一。当然可能此时 1 号操作并不足以让我们将 x 变成 9，但我们还是使用剩余的全部的次数将其变大，也就是变为x+t。因此，本次使用了操作一的次数为t=min(n,9-x).

题解代码示例：

#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;
typedef long long LL;char c[20];
LL ans=0;//n:1号操作剩余次数  m:2号操作剩余次数
int n,m;
void dfs(int i,LL v){//从左往右	 int x=c[i]-'0';//数据转化 if(c[i]){//检查 c[i] 是否存在且不为空字符 //应该使用的操作次数int t=min(n,9-x);n-=t;dfs(i+1,v*10+x+t);//递归调用//回溯n+=t;//考虑操作2是否能够使用//目的是减小到9 if(m>x){//只有在m>x 的情况下才使用m-=(x+1);dfs(i+1,v*10+9);//递归调用//回溯m+=(x+1);}}else{//答案取maxans=max(ans,v);}
}
int main()
{scanf("%s%d%d",c,&n,&m);dfs(0,0);printf("%lld\n",ans);return 0;
}

方法二：（方法二存在样例不通过的情况 ）

#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;
typedef long long LL;char c[20];
LL ans=0;//n:1号操作剩余次数  m:2号操作剩余次数
int n,m;
void find_max(int i,LL v){//从左往右	 int x;//数据转化 int t;//用的是字符串 '\0' while(c[i]){//检查 c[i] 是否存在且不为空字符 x=c[i]-'0';//转换数字if(m<=x){//如果这个数 大于或等于 减一的操作次数  //应该使用的操作次数t=min(n,9-x);//n-=t;v=v*10+x+t;//记录下来 x+t 加完后的数 i++;ans=max(ans,v);}//考虑操作2是否能够使用//目的是减小到9 else{v=v*10+9;m-=(x+1);i++;ans=max(ans,v);}}}
int main()
{scanf("%s%d%d",c,&n,&m);find_max(0,0);printf("%lld\n",ans);return 0;
}

广度优先搜索（Breadth First Search 简称 BFS）

广度优先搜索（Breadth First Search，简称BFS）：从某个状态开始，将所有节点加入一个先进先出的队列，然后一层层进行状态转移，并且展开节点。

广度优先搜索基本概念

伪代码：

int check(参数)
{if(满足条件)return 1;return 0;
}
bool pd(参数){相应操作
}
void bfs()
{1. 把根节点放入队列尾端2. 每次从队列中取出一个节点3. Check 判断是不是答案，如果是结束算法 return;4. 把当前取出的节点扩展，如果扩展后的节点经Pd()后符合要求，就放入队列，不符合就不放。5. 转到步骤2，循环执行
}如果所有节点被扩展完了，没有找到答案就无解。

广度优先搜索（BFS）算法例题

例题一：长草问题

在这里插入图片描述

输入示例：

4 5
.g...
.....
..g..
.....
2

输出示例：

gggg.
gggg.
ggggg
.ggg.

解题思路：使用 N × M N×M N×M 的矩阵来表示草地。

  1. 将字母g的位置加入队列
  2. 判断边界：
    判断是否长草，是否超出范围
  3. 搜索
    不断从队列中取出一个节点，进行上下左右的扩展，执行2的判断边界条件，符合的就放入队列，不符合就跳过。
    执行K次扩展，输出草地状态
  4. check()函数：
    本题输出最终状态 因此不用这个函数

在广度优先搜索（BFS）中，我们通常需要对队列中的节点进行扩展，也就是对当前节点的邻居节点进行处理。处理完一个节点后，我们应该将其从队列中移除，以避免重复处理相同的节点，确保每个节点只被处理一次。
因此需要：

	tempPair = q.front();q.pop();//这两步是取出队首的节点

题解代码示例：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int M = 1005;struct PII//坐标
{int first;int second;
};// C++ 有个数据类型叫 pair 上面的就可以定义为 pair<int,int> 用起来比较方便。
PII tempPair;//临时结点char Map[M][M];//---------图的路径搜索常用方向移动表示-------
int dx[4]= {0,1,-1,0};
int dy[4]= {1,0,0,-1};
// 两两组合形成上下左右四个方向
//      1------------------> x
//      |
//      |
//      |
//      |
//      |
//      |
//      |
//      ↓
//      y// dx[0]=0 dy[0]=1 那么代表向下的方向// dx[1]=1 dy[1]=0 那么代表向右的方向// dx[2]=-1 dy[0]=0 那么代表向左的方向// dx[3]=0 dy[1]=-1 那么代表向上的方向int n;// n 行
int m;// m 列
int k;// k 次//记录 坐标位置
queue<PII > q; //广度优先搜索所用的队列int len;//记录节点数量方便后续k的计算bool pd(int x, int y)
{if(x<1)return 0;// /x 轴坐标 左侧越界else if(x>n)return 0;//x 轴坐标 右侧越界else  if(y<1)return 0;//y 轴坐标 上侧越界else if(y>m)return 0;//y 轴坐标 下侧越界else if(Map[x][y]=='g')return 0;//已经长草了else return 1;// 在范围内，且没长草
}void BFS()
{//BFS //记得 层次while(!q.empty()&&k>0){tempPair = q.front();q.pop();//这两步是取出队首的节点int x = tempPair.first;//横坐标int y = tempPair.second;//纵坐标//四种扩展情况for(int i=0; i<4; i++){int nowx = x+dx[i]; //扩展后的横坐标int nowy = y+dy[i]; //扩展后的纵坐标if(pd(nowx,nowy)){q.push({nowx,nowy});Map[nowx][nowy]='g';}//符合要求执行扩展，不符合要求，忽略即可。}len--; //每扩展一个节点len  -1if(len==0){//当len =0 时，代表当前层扩展完了，那么就代表第一个月扩展完了k--; // 所以k--//更新草的数目len = q.size(); // 当前层扩展完了，那就该扩展下一层了，所以len又被赋值为下一层的节点数目的值}}
}int main()
{//输入cin>>n>>m;for(int i=1; i<=n; i++){for(int j=1; j<=m; j++){cin>>Map[i][j];if(Map[i][j]=='g'){tempPair.first=i;tempPair.second=j;// cout<<i<<""<<j<<endl;q.push(tempPair);//将初始有树的结点加入队列}}}len = q.size();//记录第一层的节点数量方便后续k的计算cin>>k;BFS();//输出for(int i=1; i<=n; i++){for(int j=1; j<=m; j++){cout<<Map[i][j];}cout<<endl;}return 0;
}
例题二：走迷宫问题

在这里插入图片描述
输入示例：

5 5
1 0 1 1 0
1 1 0 1 1
0 1 0 1 1
1 1 1 1 1
1 0 0 0 1
1 1 5 5

输出示例：

8

解题分析：

1. 开始BFS，将入口加入队列中。 2. 判断边界：

题解代码示例：


#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;int vis[150][150]; //用于存储是否访问过，并且存储长度char G[150][150]; //用于存储题目给出的地图int n,m,ans=0;int dx[4] = {0,0,-1,1};int dy[4] = {1,-1,0,0};//上下左右移动struct node
{int x;int y;
};node Start,End;
bool pd(int x,int y)
{if(x<1)return 0;//从左侧走出方格else if(x>n)return 0;//从右侧走出方格else if(y<1)return 0;//从上侧走出方格else if(y>m)return 0;//从下侧走出方格else if( vis[x][y]!=0)//已经访问了return 0;else if(G[x][y]!='1') return 0;//不是路不能走else return 1;
}bool  check(int x, int y)
{if(x == End.x&& y == End.y)   //找到终点，把距离给他{ans  =  vis[x][ y];return 1;}else    return 0;}
void bfs()
{queue<node>q;node now,next;q.push(Start);     //将起点压人队列中vis[Start.x][Start.y] = 1;while(!q.empty()){now = q.front();if(check(now.x,now.y))return ;q.pop();     //将队列最前面的弹出。for(int i=0; i<4; i++)  //四个方向{int nextx = now.x + dx[i];int nexty = now.y + dy[i];if(pd(nextx,nexty))  //判断是否符合条件{next.x=nextx;next.y=nexty;q.push(next);vis[nextx][nexty] = vis[now.x][now.y]+1; //步数+1}}}
}
int main()
{cin>>n>>m;//memset(vis,0,sizeof(vis));for(int i=1; i<=n; i++){for(int j=1; j<=m; j++){cin>>G[i][j];}}cin>>Start.x>>Start.y>>End.x>>End.y;ans = 0;bfs();cout<<ans-1<<endl;return 0;
}

感谢您的阅读！！！
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一篇文章了解php7和php8新特性

一篇文章了解php7和php8新特性

PHP7新特性 ?? 运算符 php7以前用三目判断变量是否存在或是否为空 $a isset($_GET[a]) ? $_GET[a] : 1;php7新增null 合并运算符??快捷判断 $a $_GET[a] ?? 1;函数返回值类型声明 用:返回值类型的形式定义函数的返回值类型 <?phpdeclare(strict_types1); fun…
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Unity DOTS1.0(4) Baking 和 Baker

Unity DOTS1.0(4) Baking 和 Baker

Baking 概念&#xff1a; 把Editor中的GameObject数据转换成entities数据写入到Entity Scens里面,这个过程我们叫做BakingBaking是一种不可逆的操作&#xff0c;把低效代价昂贵的但是灵活的GameObjects转换成性能高效的Entities与Components。 作用&#xff1a; 在传统的模…
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MyBatis批量插入的五种方式

MyBatis批量插入的五种方式

MyBatis批量插入的五种方式: 一、准备工作 1、导入pom.xml依赖 <dependencies><dependency><groupId>org.springframework.boot</groupId><artifactId>spring-boot-starter-web</artifactId></dependency><!-- MySQL驱动依赖 --…
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vue3 依赖-组件tablepage-vue3说明文档，列表页快速开发，使用思路及范例（Ⅱ）搜索及数据获取配置项

vue3 依赖-组件tablepage-vue3说明文档，列表页快速开发，使用思路及范例（Ⅱ）搜索及数据获取配置项

github求⭐ vue3 依赖-组件tablepage-vue3说明文档&#xff0c;列表页快速开发&#xff0c;使用思路及范例&#xff08;Ⅰ&#xff09;配置项文档 vue3 依赖-组件tablepage-vue3说明文档&#xff0c;列表页快速开发&#xff0c;使用思路及范例&#xff08;Ⅱ&#xff09;搜索…
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什么是享元模式，有哪些具体应用

什么是享元模式，有哪些具体应用

一、定义 享元模式是一种通过尽可能多地共享数据来最小化内存使用和对象数量&#xff0c;从而提高性能的设计模式。在享元模式中&#xff0c;如果需要相同数据的多个对象&#xff0c;则共享这些对象而不是创建新的对象&#xff0c;从而提高系统的效率。 其实有很多应用场景&am…
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数据库（1）

数据库（1）

目录 1.什么是事务&#xff1f;事务的基本特性ACID&#xff1f; 2.数据库中并发一致性问题&#xff1f; 3.数据的隔离等级&#xff1f; 4.ACID靠什么保证的呢&#xff1f; 5.SQL优化的实践经验&#xff1f; 1.什么是事务&#xff1f;事务的基本特性ACID&#xff1f; 事务指…
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Alibaba --- 如何写好 Prompt ?

Alibaba --- 如何写好 Prompt ?

如何写好 Prompt 提示工程&#xff08;Prompt Engineering&#xff09;是一项通过优化提示词&#xff08;Prompt&#xff09;和生成策略&#xff0c;从而获得更好的模型返回结果的工程技术。总体而言&#xff0c;其实现逻辑如下&#xff1a; &#xff08;注&#xff1a;示例图…
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napi系列学习进阶篇——NAPI异步调用

napi系列学习进阶篇——NAPI异步调用

简介 OpenHarmony Napi 标准系统异步接口实现支持Callback方式和Promise方式。标准系统异步接口实现规范要求&#xff0c;若引擎开启Promise特性支持&#xff0c;则异步方法必须同时支持Callback方式和Promise方式。使用哪种方式由应用开发者决定&#xff0c;通过是否传递Call…
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SpringMVC--获取请求参数 / 域对象共享数据

SpringMVC--获取请求参数 / 域对象共享数据

目录 1. SpringMVC 获取请求参数 1.1. 通过ServletAPI获取 1.2. 控制器方法形参获取 1.3. RequestParam 1.4. RequestHeader 1.5. CookieValue 1.6. 通过POJO获取请求参数 1.7. 解决获取请求参数的乱码问题 2. 域对象共享数据 2.1. 三大域对象 2.2. 准备工作 2.3. S…
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