70.爬楼梯

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

示例 1：

输入： n = 2
输出： 2
解释： 有两种方法可以爬到楼顶。

1. 1 阶 + 1 阶
2. 2 阶

示例 2：

输入： n = 3
输出： 3
解释： 有三种方法可以爬到楼顶。

1. 1 阶 + 1 阶 + 1 阶
2. 1 阶 + 2 阶
3. 2 阶 + 1 阶

提示：

• $1\le n\le 45$

解法一(动态规划)

思路分析：

1. 对于多个子问题，采用动态规划算法；按照动规五部曲进行求解；
2. 确定dp数组以及下标含义，即dp[i]表示第i个台阶，有多少种方法可以爬到
3. 然后推导递推公式；因为一次可以爬1或2个台阶，即若要到达第i个台阶，可以由第i-1个台阶爬1个台阶到达，也可以由第i-2个台阶爬2个台阶到达，即到达第i个台阶的方法为，到达第i-1个台阶的方法和到第i-2个台阶方法的总和，即状态转移方程为：dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
4. 然后确定dp数组的初始化，可以简单得出；对于到第一阶台阶，由一种方法，对于到第二阶方法，有两种方法，即dp[1] = 1; dp[2] = 2
5. 然后确定遍历顺序，即从i=3开始遍历到i=n；因为状态转移方程需要先得到状态dp[i-1]和dp[i-2]，否则无法得到正确的当前状态dp[i]
6. 打印dp数组，确定是否符合思路与题意

实现代码如下：

class Solution {public int climbStairs(int n) {if (n == 1 || n == 2)return n;int[] dp = new int[n+1];dp[1] = 1;dp[2] = 2;for (int i = 3; i <= n; ++ i) {dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2];}return dp[n];}
}

提交结果如下：

解答成功:
执行耗时:0 ms,击败了100.00% 的Java用户
内存消耗:39.5 MB,击败了5.28% 的Java用户

复杂度分析：

• 时间复杂度：$O(n)$
• 空间复杂度：$O(n)$

解法二(状态压缩)

思路分析：

1. 由解法一得到的状态转移方程；得知下一个状态由可表达的两个状态得出
2. 即可以对状态数组进行压缩，使用变量ans来表示下一个需要得到的状态，使用变量a和b来表示需要的两个状态

实现代码如下：

class Solution {public int climbStairs(int n) {if (n == 1 || n == 2)return n;int ans = 0;// 初始状态int a = 1, b = 2;for (int i = 3; i <= n; ++ i) {ans = a + b;	// 状态转移a = b;b = ans;}return ans;}
}

提交结果如下：

解答成功:
执行耗时:0 ms,击败了100.00% 的Java用户
内存消耗:39.4 MB,击败了47.08% 的Java用户

复杂度分析：

• 时间复杂度：$O(n)$
• 空间复杂度：$O(1)$