一、题目

1、题目描述

作为一个城市的应急救援队伍的负责人，你有一张特殊的全国地图。在地图上显示有多个分散的城市和一些连接城市的快速道路。每个城市的救援队数量和每一条连接两个城市的快速道路长度都标在地图上。当其他城市有紧急求助电话给你的时候，你的任务是带领你的救援队尽快赶往事发地，同时，一路上召集尽可能多的救援队。

2、输入输出

2.1输入

输入第一行给出4个正整数N、M、S、D，其中N（2≤N≤500）是城市的个数，顺便假设城市的编号为0 ~ (N−1)；M是快速道路的条数；S是出发地的城市编号；D是目的地的城市编号。

第二行给出N个正整数，其中第i个数是第i个城市的救援队的数目，数字间以空格分隔。随后的M行中，每行给出一条快速道路的信息，分别是：城市1、城市2、快速道路的长度，中间用空格分开，数字均为整数且不超过500。输入保证救援可行且最优解唯一。

2.2输出

第一行输出最短路径的条数和能够召集的最多的救援队数量。第二行输出从S到D的路径中经过的城市编号。数字间以空格分隔，输出结尾不能有多余空格。

3、原题链接

L2-001 紧急救援 - 团体程序设计天梯赛-练习集 (pintia.cn)

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二、解题报告

1、思路分析

典中典的题

堆优化dijkstra不用vis数组

定义f1[x]代表源点到x的最短路径数目

f2[x]为源点到x的最短路径中的最小权值和

那么在dijkstra中，设弹出堆顶的是u, dst[u]

那么如果dst[u] + w < dst[v]，那么除了更新距离外，还要更新f1[v] = f1[u], f2[v] = f2[v] + c[v]

否则，如果dst[u] + w = dst[v]，那么f1[v] += f1[u]，f2[v] = max(f2[v], f2[u] + c[v])

2、复杂度

时间复杂度： O(mlogm)，m为路径长度 空间复杂度：O(n)

3、代码详解

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#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>
using namespace std;const int N = 505, M = N * N * 2;
typedef pair<int, int> PII;int n, m, s, t, c[N];
int head[N], idx;
int dst[N], f1[N], f2[N], pre[N], path[N], tot;
struct edge{int v, w, nxt;
}edges[M];void addedge(int u, int v, int w){edges[idx] = { v, w, head[u] }, head[u] = idx ++;
}void add(int u, int v, int w){addedge(u, v, w), addedge(v, u, w);
}void dijkstra(){priority_queue<PII, vector<PII>, greater<PII>> pq;memset(dst, 0x3f, sizeof dst);pq.emplace(dst[s] = 0, s);f1[s] = 1, f2[s] = c[s];while(pq.size()){auto [d, u] = pq.top();pq.pop();if(d > dst[u]) continue;for(int i = head[u]; ~i; i = edges[i].nxt){int v = edges[i].v;if(d + edges[i].w < dst[v]){dst[v] = d + edges[i].w;f1[v] = f1[u];f2[v] = f2[u] + c[v];pre[v] = u;pq.emplace(dst[v], v);}else if(d + edges[i].w == dst[v]){f1[v] += f1[u];if(f2[u] + c[v] > f2[v])f2[v] = f2[u] + c[v], pre[v] = u;}}}
}int main(){memset(head, -1, sizeof head);ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0);cin >> n >> m >> s >> t;for(int i = 0; i < n; i++) cin >> c[i];for(int i = 0, a, b, w; i < m; i++)cin >> a >> b >> w, add(a, b, w);memset(pre, -1, sizeof pre);dijkstra();cout << f1[t] << ' ' << f2[t] << '\n';while(~pre[t]){path[tot ++] = t;t = pre[t];}reverse(path, path + tot);cout << s;for(int i = 0; i < tot; i++)cout << ' ' << path[i];return 0;
}