运放噪声评估的来龙去脉

友情提示，运放电路的噪声分析还是比较复杂的，不论是基础理论还是对应的推导过程，都不是特别容易。考虑到兄弟们的基础参差不齐，所以我还是尽量说清楚点，这样导致看起来就有点罗里吧嗦，也会看起来超级复杂，希望不会劝退。

1、关于噪声我想过的几个问题

我一般是带着一些问题去学一些东西，找答案，个人感觉这样主动式的要比被动式的理解更为透彻。说下我之前想过的一些问题吧，这些问题也会在后面得到解答。

问题1：

白噪声是随机的，并且是全带宽的，如果某个时刻，正好是各个频率噪声的波峰叠在一起，那噪声电压不是无穷大？概率虽然低，可能性是存在的吧，但是我们好像不会在电路设计中考虑这个问题。

问题2：

一般运放手册给出的噪声参数有两种，分别是电压噪声频谱密度和电流噪声频谱密度，单位分别是伏特除以根号赫兹，和安培除以根号赫兹。这个是什么意思，如何转化为我们常规理解的电压信号呢？

问题3：

运放的噪声跟构成的电路增益有关吗？会不会被放大？

问题4：

对于一个具体的运算放大器放大电路，如何评估输出端的电压噪声大小？

我们就带着上面的问题来学习下。

2、噪声参数与分析基本原理

a、噪声类型

噪声可以分为两类：外部噪声和固有噪声，我们本节主要评估运放的固有噪声。

外部噪声：外部电路或自然因素导致的噪声，比如220V的市电干扰，宇宙辐射都是外部噪声。外部噪声很难估计。

固有噪声：固有噪声是由电路的元器件引起的，比如电阻和半导体器件都可以产生噪声。固有噪声可以估计。

b、噪声波形特点

宽带噪声波形（高斯分布）：

1/f噪声波形（高斯分布）：

爆米花噪声波形（几个高斯分布叠加）：

可能看这个图一下子有点蒙，噪声的波形倒是很直观，但是右边那个旋转90°的正态分布是个什么啥意思？这就不得不说噪声的分析方法。

c、噪声的分析方法

我们在电路中通常需要评估电路噪声在时域的峰峰值。但是噪声又是一个随机的过程，幅度随时间变化而变化，我们没办法预估一个噪声信号在某一个时刻的瞬间值，所以我们是在统计学的基础上对噪声进行分析的。

啥叫在统计学的基础上分析呢？就比如我们丢硬币，正面和反面是随机的，没法预先知道我们下一次丢硬币到底是正面还是反面，但是我们知道各自的概率是50%，如果实验次数足够多，那么最终正面和反面的次数各占总次数的50%。

现在我们评估的噪声也是随机的，我们也没办法知道下一刻噪声信号具体长什么样子，但是我们可以评估，如果我们拿示波器去采样这个信号的话，会知道它落在某一个电压范围的概率是多少，根据这个概率信息，我们可以推断出我们的噪声的峰峰值是多大。

在电路分析中，使用概率分布函数将均方根噪声转化为峰峰值噪声。如下图，左边为噪声的时域波形，右边为高斯分布，高斯分布也叫正态分布。

正态分布有两个参数，一个叫期望值μ（也叫平均值），另外一个参数叫标准差σ，图中有一个非常重要的地方，那就是RMS值等于标准差σ（μ=0）。

d、为啥噪声的有效值Vrms等于其正态分布的标准差σ呢？

这可以从有效值的这个词的意义里面推导出来。

有效值：如果某个交流电，与某个电压的直流电热效应相等，那么就可以认为该直流电的电压就是这个交流电电压的有效值。

从有效值的定义看，有效值是热效应的等效，也就是针对做功来说的。

我们再看标准差的公式：

前面说了，噪声电压符合高斯分布，用统计学的方法来看，有下面的推导过程：

以上过程只是为了理解一句话：噪声的有效值Vrms等于其正态分布的标准差σ。

上面推导过程看着有点费劲，看不明白记住也行，这也不是本节内容的重点。

总之，我们就是知道了：噪声电压的有效值等于其正态分布的标准差σ，那这有什么用呢？

回到我们的目标——我们要知道噪声的峰峰值有多大。

我们通常可以计算出噪声的有效值有多大，但这不是我们的最终目的，我们的最终目的是要知道噪声的峰峰值有多大，这是我们设计电路时更关心的。在我们知道了有效值，那么也就知道了噪声电压对应正态分布的标准差，最终我们就能知道某个时刻噪声电压在某个范围内的概率有多大。

还记得大学教材《概率论与数理统计》最后面附表里面的“标准正态数据分布表”吗？我在网上找了一个更为精确的正态分布表，精确到了小数点15位，如下图：

我们可以从中得到峰峰值电压小于某一个值的概率，如下表所示：

可能还是不太明白这个表是啥意思？简单说就是，我们对有效值为Vrms的噪声进行采样，其采样值落在-σ到+σ之间的概率是68%，落在-2σ和+2σ之间的概率是95.45%，落在-3σ和+3σ之间的概率是99.73%。这意味着幅值很大的电压值出现的概率很小，比如落在-4σ和+4σ的概率是99.994%，即电压超过±4σ的电压出现的概率是0.006%，这个概率是很低的。如果我们拿示波器去测量这个电压，在示波器界面可能是看不到超过±4σ的电压信号的，毕竟示波器采样的数据量有限，除非说我们观察非常久的时间，可能捕捉到一个更高的电压信号，但通常我们也不会这么干。

从前面的正态分布表也可以知道，采样值落在8σ内的概率已经是99.9999999999999%，也就是说电压值超出±8σ的概率是0.0000000000001%。

基于上面的概率问题，一般评估噪声的峰峰值电压是±3σ对应的换算系数，也就是认为噪声的峰峰值为6*vrms，如果对噪声容忍程度非常低，可以用±4σ或更高的换算系数。

以上就是使用统计学评估噪声的基本原理，到这里已经可以回答前面的问题1：

问题1：白噪声是随机的，并且是全带宽的，如果某个时刻，正好是各个频率的波峰叠在一起，那噪声电压不是无穷大？概率虽然低，但可能性是在的吧，但是我们好像不会考虑这个问题。

答：如果用统计学的方法看，因为正态分布两边是无限延伸的，这种情况也是存在的。但可以想象，出现这种概率是有多么多么的小，毕竟噪声电压在±4σ外的概率已经低到了0.006%。从前面15位精度的正态分布表看，到了±8σ的概率已经低到了0.0000000000001%，至于问题里面无穷大电压的场景，应该只具有数学上的可能性，现实中是不会出现的了。

为了避免没抓到重点，这里先小结一下：

电压噪声服从高斯分布（正态分布），并且其有效值Vrms就对应高斯分布的标准差σ。再结合高斯分布的特性，我们一般可以认为电压不超过±3σ，即电压不超过6*Vrms，即评估噪声的时候，可以按照噪声电压峰峰值为6*Vrms。

到这里，那么剩下的问题就是如何计算噪声的有效值Vrms了。

器件一般以频谱密度的方式给出，比如下面是ti的芯片tlv9061给出的噪声参数：

可以看到，噪声的大小是跟频率有关系的，不同频率段的噪声大小不同。除此之外，除了0.1Hz~10Hz是直接以峰峰值给出的，单位是uVpp，这个理解起来完全没问题。另外两个，一个是电压噪声密度，单位是nv/(根号Hz)，另外也是fA/(根号Hz)，理解起来就相对困难，我就想厂家为什么这么给参数呢？直接像0.1Hz~10Hz这样给出峰峰值大小不香吗？这是故意要提高使用门槛吗？

e、噪声参数为什么以根号hz的方式给出？

可以看到，上面是芯片tlv9061规格书中表格的数据，其规格书也给出了噪声参数的曲线，我们来看一下。

看右边的图，横轴是频率，纵轴是电压噪声频谱密度，下面来看下其物理意义吧。

以上解释了为什么噪声电压密度的单位为什么是V/根号Hz，如果要用简短的话概括，那就是：电压有效值是针对做功来说的，而做功相关的参数就是功率谱密度，单位是V^2/Hz或A^2/Hz，功率谱密度开方就是电压/电流幅度谱密度（假定负载是1Ω），单位是：V/根号Hz和A/根号Hz。

需要注意，上面的推导非常的不严谨。要想真正严谨的理解，需要去看大学教材《信号与系统》的第6章节。

值得一提的是，第1步到第2步用到了帕斯瓦尔定理：

现在我们已经知道了上图中的电压噪声频谱密度的物理意义，那么如何将这个转化为Vrms值呢？

f、如何将电压噪声频谱密度转化为Vrms

其实这个转化在上面图片中第3步已经写明了，就是这个式子：

需要注意，上面的积分范围0~∞，是全带宽积分，实际应用中要根据实际的频率范围。看着这个公式不是很直观，下面就以运放为例子来画一个示意图吧。

根据运放手册提供的电压噪声频谱密度，我们将每一个点进行平方，就可以得到右边的功率谱密度，然后在频率上进行积分，这个积分过程就等效为求图中阴影部分的面积，然后我们将求得的面积进行开方，就能得到噪声电压的有效值了，图中计算了从10hz~100Khz带宽内的噪声电压有效值。

实际应用中，我们通常不会求全带宽的，因为实际电路也不是全带宽的，我们实际通常求的是一段带宽范围内的，因此，常用的是下面这个：

上面的过程看着很复杂，只是为了说明最基本的原理，实际评估运放噪声会有一些近似的办法的，这个后面会讲。

总之，将电压噪声频谱密度转化为有效值的原理就是：将电压噪声频谱密度进行平方，转为功率谱密度，然后在带宽范围内积分（求面积），再开方，就能求得有效值电压了。

g、如何将电流噪声频谱密度转化为Irms

电流噪声频谱密度转为电流有效值Irms，其实原理和电压噪声频谱密度的转换一样，因为功率P=U^2/R，也等于P=I^2*R，如果按照前面的过程推一遍，电阻R也是可以消掉的，最终可以求得电流有效值为：

3、两种噪声源

说完了如何将噪声电压频谱密度转化为有效值电压Vrms，以及如何将电流噪声频谱密度转化为有效值电流Irms的原理及公式。

还有个问题，那就是运放电路到底有哪些噪声需要评估呢？只有运放的噪声需要评估吗？

噪声我们一般要评估两种，一种是运放的噪声，一种是电阻的噪声。

下面来继续具体说下如何将它们转化为Vrms和Irms。

4、运放本身的噪声Vrms，Irms计算

运放的噪声有电压噪声和电流噪声，如下图是ti的运放芯片tlv9061给出的噪声参数，给出的是电压噪声频谱密度和电流噪声频谱密度。

也给出了对应的电压噪声密度曲线：

前面我们已经知道了求运放噪声的基本原理：将噪声电压频谱密度进行平方，转为功率谱密度，然后在带宽范围内积分（求面积），再开方，就能求得有效值电压了。

问题是这个求面积可操作性实在是太差了，这个面积很不好求，那么有什么办法呢？

办法自然是有，那就是将上面的曲线分成两部分，分别是1/f噪声和宽带噪声，如下图所示。

我们在手册中看到的电压噪声频谱密度曲线可以看作是1/f噪声和宽带噪声的叠加（平方后相加再开根号），叠加起来之后的曲线看起来不规则，导致我们难以计算。所以真正计算噪声的时候，我们又需要将这个噪声分解为1/f噪声和宽带噪声两部分。

a、宽带噪声Vrms_bw的计算

因为宽带噪声曲线是平的，很好计算，就先看宽带噪声的计算方法吧。

既然宽带噪声密度曲线是平的，也就是说其是一个常量，用字母B来表示吧，那么其在频率fa~fb频带内的噪声可以用下面公式计算：

举个例子：求tlv9061在0.1Hz~100Khz频带内的宽带噪声电压有效值？

首先从曲线上看出，在10Khz以后，噪声电压频谱密度为10nV/根号赫兹，这个就是宽带噪声电压频谱密度，即对应上面公式的B=10nV/根号赫兹。

套用上面的公式，最终可求得在0.1hz~100Khz带宽内的宽带电压噪声有效值为3162nV。

b、1/f噪声Vrms_1/f的计算

再看看啥叫1/f噪声。

顾名思义，1/f噪声，说的就是功率谱密度曲线与频率之间满足1/f的规律，注意，这里是功率谱密度，不是电压频谱密度。如果是电压频谱密度，那么就是满足1/（根号f）的规律。

如果在频率1Hz处的1/f电压噪声频谱密度是A，那么根据1/f的规律，频率f处的1/f电压噪声频谱密度值有如下关系式：

根据上面这个式子，我们就可以得到一定频率范围内1/f电压噪声的有效值，计算方法如下：

还是以tlv9061举例子：求tlv9061在0.1Hz~100Khz内的1/f电压噪声有效值？

规格书中只给了10Hz~100Hz的电压噪声频谱密度曲线，因此，无法直接从图中得到1Hz的电压噪声频谱密度A，规格书的数据表格也没有提供这个参数，那怎么办呢？

其实我们可以从1/f噪声的定义推测出来，我们可以先求得10Hz处的1/f噪声，然后根据前面的1/f噪声频谱密度公式推算出来A的大小。

具体过程如下：

首先从曲线上面可以得到10Hz处的总的电压噪声频谱密度为：E10hz（总）=110nV/根号hz，然后我们又知道10Hz出的宽带电压噪声频谱密度为：10nV/根号hz。再根据叠加关系，就可以得到10Hz处的1/f噪声。

然后根据前面的1/f电压噪声频谱密度公式可求得A的值，再利用Vrms_1/f公式求得最终的噪声电压有效值为1286nV。

c、总电压噪声Vrms计算

前面我们将噪声分解为1/f噪声Vrms_1/f和宽带噪声Vrms_bw，现在已经知道怎么求各自的有效值了，现在还需要将它们合并，求最终的噪声电压有效值。

也很简单，只需要将它们平方之后相加再开根号就可以了，注意，不要直接将两个电压值相加。

为什么不是直接相加？

其实也可以从电压做功的角度考虑，因为做功电压是要平方的，如果直接相加，那么分别计算做的功相加，和电压先相加再计算做的功必然不相等。比如如果二者都是1V，那么分别在R上做的功为：1V*1V*R+1V*1V*R=2R；电压相加做的功：（1V+1V）*（1V+1V）*R=4R，两者是不相等的。

所以按照前面的例子，1/f电压噪声有效值是1286nV，宽带电压噪声是3162nV，那么最终的总电压噪声有效值就是他们俩和的平方根，即3413nV。

e、总电流噪声Irms计算

上面举的例子都是电压噪声Vrms计算，其实电流噪声Irms也是一样的，也是分别计算1/f电流噪声和宽带电流噪声，然后将两者计算平方和根即可。

不过因为前面举例子的芯片tlv9061没有给全电流噪声参数，只有一个1Khz的电流噪声密度值，也没有对应的曲线，所以没办法具体计算。

至于厂家为什么没有标出来，那是因为这个放大器CMOS型放大器，电流非常小，电流噪声就更小了。从上表可以看出，这颗放大器的电压噪声是nV级，而电流噪声是fA级，中间还隔着pA级，也就是说，电流噪声远小于电压噪声，因此电流噪声可以忽略掉。

为了说明电流噪声Irms如何计算，还是举个例子吧。

因为手册中只给出了1Khz时的电流噪声频谱密度为23fA/根号赫兹，从噪声频谱密度曲线形状上我们知道，在低频时噪声密度值随频率升高而下降，高频时噪声密度随频率基本不变，其约等于宽带噪声。由此我们知道这个放大器的宽带噪声密度肯定是小于23fA/根号赫兹的，我们暂且就用23fA/根号赫兹这个参数计算宽带噪声，知道这个计算出来的值要比实际情况大就好。

最终计算0.1Hz~100Khz的宽带电流噪声有效值Irms_bw为7.3nA，计算过程如下

d、带宽确定

到这里已经说明了如何求得fa~fb频带内的噪声有效值，那问题来了，为什么不求0~∞带宽的噪声有效值呢？而只求一部分？

下限频率fa

为什么下限频率fa不能是0呢？

这是因为，我们是从统计学的方法分析的噪声，如果最低频率为0，那么意味值时间为无穷大，这显然不符合常理。另外一方面，如果fa=0，那么其电压噪声频谱密度为无穷大，这也是没法计算的。

工程上认为，当噪声频率低于0.1Hz，即10s以上发作一次的事件，一般可以被认为是人为、环境因素带来的扰动，这可能与运放电路本身无关。因此，绝大多数情况下，计算1/f噪声，下限取值为0.1Hz。

上限频率fb

上限频率fb为什么不能是无穷大呢？

首先，如果上限是fb，那么不论是1/f噪声，还是宽带噪声，最终的结果都会是无穷大，这也是不符合常理的。

另外一方面，我们的运放电路本身都是有上限截止频率的，类似于一个低通滤波器，还记得运放有一个参数增益带宽积GBW吗？频率到一定程度，运放都放大不了信号的。

如下图是tlv9061的开环曲线，频率超过100Hz之后，每10倍频下降20dB，这个特性跟一阶低通滤波器是一样的。

当然，运放一般不是在开环的时候用，我们再看看闭环电路的增益情况。下图是tlv9061手册中的闭环增益曲线，可以看到，闭环增益为10倍时，在1Mhz以后，也是每10倍频下降20db，其曲线像是一个截止频率为1Mhz的低通滤波器。

总之，我们在使用运放的时候，其最终的幅频特性就类似一个低通滤波器，其截止频率就是闭环的带宽。这个滤波器也会滤掉高频的噪声，所以说评估噪声的时候，不能认为噪声上限是无穷的，我们要确定好上限频率fb。

那问题来了，上限频率是等效滤波器的截止频率吗？

答案是否定的，因为滤波器的截止频率一般说的是3db的，3db往后噪声只是被衰减了，并不是没有了。

如果说高于截止频率之后，增益立马变为0，那么上限频率等于截止频率没问题，但问题是现在这个滤波器并非砖墙滤波器（频带内完全不衰减，频带外完全衰减为0），所以，如果我们直接草率的让上限频率fb等于截止频率，那么是不符合实际的。

可能会有同学认为，截止频率之后看着幅度衰减很快，忽略也不要紧吧？其实不然，因为这是个对数坐标轴，也就是说频率增大10倍才下降20db，从截止频率下降20db的频率范围其实很宽，因此不能忽略。

既然问题不能忽略，那又尬住了，这个上限频率fb咋办？

可以用等效的方法，原理如下：假设有一个砖墙滤波器，其截止频率为fh，如果其带宽内的噪声电压有效值等于这个滤波器的噪声电压有效值，那么我们就可以把这个fh看作是我们要的上限频率fb。

结合前面铺垫的基础，只需要让下面两部分的面积相等，就能求得fh和f截止的关系，进而就能求得上限频率fb=fh了（注意，下图的纵轴是电压频谱密度的平方，并不是增益曲线，其形状应该是增益平方后对应的形状）。

后面的等效计算完全就是个数学问题，这里就不推导了，直接拿结论来用吧，fh=1.57*f截止，即上限频率是滤波器截止频率的1.57倍。

注意，这里的数学计算是将噪声看成是宽带噪声来算的，忽略了1/f噪声，因为在高频段，1/f噪声的贡献本身非常小，所以忽略是没问题的。

其次需要注意，如果我们的电路本身就是滤波器电路，并且阶数不是一阶，那么这个系数也需要对于的变化。这应该比较容易明白，如果是高阶滤波器，那么曲线更陡峭，更加接近于砖墙滤波器，其系数应该更小。

下面是各种滤波器的系数：

举个例子：现用tlv9061设计了一个放大5倍的放大器，电路本身并非是滤波器电路，请问其评估噪声的时候带宽是多少？

答：如前面的分析，频率下限按照fa=0.1Hz；查看手册，TLV9061的增益带宽积是10Mhz，放大倍数为5倍，所以其闭环增益带宽为：10Mhz/5=2Mhz，这个电路本身并非滤波器，因此等效为一阶滤波器，截止频率为2Mhz，再乘以一阶滤波器的系数1.57，可求得频率上限fb=1.57*2Mhz=3.14Mhz。

总之，我们在评估带宽的时候，下限可以按照0.1Hz来评估。上限要看电路本身是否是滤波器，如果不是滤波器，可以先求得对应的闭环带宽，然后乘以对应的系数，就能得出上限频率了；如果是低通滤波器，则直接用滤波器的截止频率乘以对应的系数，也能得到上限频率。