题意
给定 n n n 个点的树,每个点有点权,每次询问点权大于等于 x x x 的点构成的子图有多少个连通块,动态修改点权,保证修改后点权不小于修改前。
题解
首先有一个显然的结论:森林的连通块个数 = 点数 - 边数。
这就是说,对于一个询问 x x x,我们只需要知道大于等于 x x x 的点有多少个,所连两点均大于等于 x x x 的边有多少条,就能算出答案。
考虑动态维护大于等于 x x x 的点,发现这是一个单点修改区间查询,用一个统计后缀和的树状数组即可,每次修改就在原来的权值处减 1 1 1,在新的权值处加 1 1 1。查询 [ x , W m a x ] [x,W_{max}] [x,Wmax] 的和即可。
考虑怎么维护边。同样用一个树状数组统计所连接两点大于等于 x x x 的边。一条边的贡献显然是 min ( a u , a v ) \min(a_u,a_v) min(au,av)。
考虑 sub3,也就是菊花图。显然叶子节点的修改直接在树状数组上修改即可。对于根节点 1 1 1,开一个 multiset
维护大于等于 a 1 a_1 a1 的邻接点。对于 multiset
里面的点,其贡献显然是 a 1 a_1 a1,其它的点贡献就是 a x a_x ax。时间复杂度 O ( n log n ) O(n\log n) O(nlogn)。
考虑将这个做法拓展至每个点。每个点开 multiset
s x s_x sx,存它的儿子里大于等于它的点。
对于一个修改 a x ← y a_x\larr y ax←y,考虑其儿子 s o n son son:
- a s o n < a x a_{son}<a_x ason<ax, s o n son son 修改前后都不在 s x s_x sx 中,边 ( x , s o n ) (x,son) (x,son) 的贡献一直是 a s o n a_{son} ason
- a s o n ≥ a x , a s o n < y a_{son}\ge a_x,a_{son}<y ason≥ax,ason<y, s o n son son 原本在 s x s_x sx 中,修改后不在,边 ( x , s o n ) (x,son) (x,son) 的贡献由 a x a_x ax 变为 a s o n a_{son} ason
- a s o n ≥ y a_{son}\ge y ason≥y, s o n son son 修改前后都在 s x s_x sx 中,边 ( x , s o n ) (x,son) (x,son) 的贡献由 a x a_x ax 变为 y y y
考虑其父亲 f a fa fa:
- y < a f a y<a_{fa} y<afa, x x x 修改前后都不在 s f a s_{fa} sfa 中,边 ( f a , x ) (fa,x) (fa,x) 的贡献由 a x a_x ax 变为 y y y
- a x < a f a , y ≥ a f a a_x<a_{fa},y\ge a_{fa} ax<afa,y≥afa, x x x 修改前不在 s f a s_{fa} sfa 中,修改后在 s f a s_{fa} sfa 中,边 ( f a , x ) (fa,x) (fa,x) 的贡献由 a x a_x ax 变为 a f a a_{fa} afa
- a x ≥ a f a a_x\ge a_{fa} ax≥afa, x x x 修改前后都在 s f a s_{fa} sfa 中,边 ( f a , x ) (fa,x) (fa,x) 的贡献一直是 a f a a_{fa} afa
按照以上维护 s x s_x sx 和树状数组即可。
容易发现,所有节点的 multiset
的大小总和一定是递减的。将一个点 x x x 提升 d d d 后,若想让 x x x 再次加入 multiset
,需要把 [ a x , a x + d ] [a_x,a_x+d] [ax,ax+d] 的点全部修改才能做到。所以这个修改均摊 O ( 1 ) O(1) O(1)。总时间复杂度 O ( n log n ) O(n\log n) O(nlogn)。
实现
这个树状数组的写法比较奇妙,是统计后缀和的。
注意不要漏了一些修改。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define fre(x) freopen(#x".in", "r", stdin), freopen(#x".out", "w", stdout)
template<typename Ty> void read(Ty &x) {int c = getchar(), f = 1;for (; c < '0' || c > '9'; c = getchar()) if (c == '-') f = -1;for (x = 0; c >= '0' && c <= '9'; c = getchar()) x = (x << 1) + (x << 3) + (c ^ 48);x *= f;
}
#define lowbit(x) x & (-x)
const int N = 500005, W = 1000005;
int n, q, a[N], cnt = 0, fir[N], nxt[N << 1], to[N << 1], fa[N], tr[W], trp[W];
multiset<int> s[N];
void ade(int u, int v) {cnt++, nxt[cnt] = fir[u], fir[u] = cnt, to[cnt] = v;cnt++, nxt[cnt] = fir[v], fir[v] = cnt, to[cnt] = u;
}
void upd(int x, int val) { for (; x; x -= lowbit(x)) tr[x] += val; }
int gsum(int x) {int sum = 0;for (; x < W; x += lowbit(x)) sum += tr[x];return sum;
}
void updp(int x, int val) { for (; x; x -= lowbit(x)) trp[x] += val; }
int gsump(int x) {int sum = 0;for (; x < W; x += lowbit(x)) sum += trp[x];return sum;
}
void dfs(int r) {for (int i = fir[r]; i; i = nxt[i])if (to[i] != fa[r]) {fa[to[i]] = r, dfs(to[i]);if (a[to[i]] >= a[r]) s[r].insert(a[to[i]]);else upd(a[to[i]], 1);}
}
int main() {fre(tree);read(n), read(q);for (int i = 1; i <= n; i++) read(a[i]), updp(a[i], 1);for (int i = 1, u, v; i < n; i++) read(u), read(v), ade(u, v);dfs(1);for (int i = 1; i <= n; i++)if (!s[i].empty())upd(a[i], s[i].size());for (int t = 1, opt, x, y; t <= q; t++) {read(opt);if (opt == 1) {read(x), read(y);if (fa[x]) {if (a[x] >= a[fa[x]]) s[fa[x]].erase(s[fa[x]].find(a[x]));else upd(a[x], -1), upd(min(y, a[fa[x]]), 1);if (y >= a[fa[x]]) s[fa[x]].insert(y);}int cn = 0;while (!s[x].empty() && *s[x].begin() < y) upd(*s[x].begin(), 1), s[x].erase(s[x].begin()), cn++;upd(a[x], -cn), upd(a[x], -s[x].size()), upd(y, s[x].size()), updp(a[x], -1), updp(a[x] = y, 1);}else read(x), printf("%d\n", gsump(x) - gsum(x));}return 0;
}