【AcWing】蓝桥杯集训每日一题Day22|区间DP|博弈论|1388.游戏(C++)

1388.游戏
1388. 游戏 - AcWing题库
难度:中等
时/空限制:1s / 64MB
总通过数:1429
总尝试数:1925
来源:

usaco training 3.3
算法标签

博弈论DP区间DP

题目内容

玩家一和玩家二共同玩一个小游戏。
给定一个包含 N 个正整数的序列。
由玩家一开始,双方交替行动。
每次行动可以在数列的两端之中任选一个数字将其取走,并给自己增加相应数字的分数。(双方的初始分都是 0 分)
当所有数字都被取完时,游戏结束。
分更高的一方获胜。
请计算,如果双方都采取最优策略进行游戏,则游戏结束时,双方的得分各是多少。

输入格式

第一行包含整数 N。
后面若干行包含 N 个整数,表示这个序列。注意每行不一定恰好包含一个数。

输出格式

共一行,两个整数,分别表示玩家一和玩家二的最终得分。

数据范围

2≤N≤100,
数列中的数字的取值范围为 [1,200]

输入样例:
6
4 7 2 9
5 2
输出样例:
18 11
题目解析

方案可能不唯一,分值是一样的,每个人都希望分值最高,都绝顶聪明,最终每个人的分值是唯一确定的
每一个选法得到的分值都是唯一确定的

N最大是100
序列中每一个数的最大值是200

博弈论

每一次有两种选择,是选左边的还是右边的呢,左边的就是 w l w_{l} wl,右边的是 w r w_{r} wr
要看条件和目标,目标是要分值尽可能高,由于所有数的总和是一定的
就是一个零和游戏
一方的分值越高,另一方的分值就越低
等价于,一方的分值减去另一方的分值最大,也就是差值最大

就是看选左边的话,差值A-B的最大值是多少,选右边的话,差值的最大值又是多少
两者要取一个max

  • 比如选左边的话,剩下的问题就变成了从L+1到R的一个子问题,一个递归的问题
    该对手选了,对于对手来说,B-A差值最大是多少,可以求一下,如 S B − A S_{B-A} SBA
    我们减对方的分值就是 − S B − A -S_{B-A} SBA再加上当前选择的分值L
    因此选左边的话,我们的分值就是 W L − S B − A W_{L}-S_{B-A} WLSBA
  • 同理,如果选右边的话,就变成了一个L到R-1的一个子问题
    最终的分值就是 W R − S B − A W_{R}-S_{B-A} WRSBA
  • 两者取一个最大值,就是当前的最大值
博弈论的核心

每次有多种选择,每次选完之后,一定要让最坏情况下最好,也就是我们选完之后,对方一定会选择对他来说最好的情况

在做的时候会发现会产生很多的子问题
可以用一个DP数组,把每一个子问题存起来,比如 S B − A S_{B-A} SBA
相当于对这个核心策略进行记忆化,就可以形成一个DP

f[L][R]
对于当前LR这个区间,先手分值减后手分值的最大值
f ( L , R ) = m a x ( W L − f ( L + 1 , R ) , W R − f ( L , R − 1 ) ) f(L,R)=max(W_{L}-f(L+1,R),W_{R}-f(L,R-1)) f(L,R)=max(WLf(L+1,R),WRf(L,R1))
用DP的方式求一下就可以了
是一个区间DP

有一个模板写法
为了保证可以按照拓扑的顺序计算每个状态,要保证每个状态所依赖的状态先被算出来
比如要算f[L][R]的话,要先把f[L+1][R]f[L][R-1]算出来
区间DP一般第一维循环,先去枚举长度,长度长的一定是依赖长度短的,因此按照长度从小到大枚举每个区间,就一定可以保证在算每个状态的时候它所依赖的状态都算出来了

时间复杂度是 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)

代码
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>using namespace std;const int N = 110;int n;
int w[N];
int f[N][N];int main()
{scanf("%d", &n);//读入n个数for (int i = 0; i < n; i ++) scanf("%d", &w[i]);//区间DP//第一维先枚举长度for (int len = 1; len <= n; len ++)//第二维枚举左端点for (int i = 0; i + len - 1 < n; i ++){int j = i + len - 1;f[i][j] = max(w[i] - f[i + 1][j], w[j] - f[i][j - 1]);}//计算总和int sum = 0;for (int i = 0; i < n; i ++) sum += w[i];//计算A-B的差值int d = f[0][n - 1];//A+B=sum,A-B=d,求A和Bprintf("%d %d", (sum + d) / 2, (sum - d) / 2);return 0;
}

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