二分查找-排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置

前言

二分查找的思想是简单易懂的,但是在具体实现的时候能被一些细节给逼疯。今天学习了一下二分查找相关的知识与小细节,听取同学的推荐,参考了大神“灵茶山艾府”的教学视频。

下面就以一道算法题为例子,来写一下二分查找的方法。但这篇博客我会不局限于这道题,尽量去着笔于二分查找的算法本身。

原题描述

34. 在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置

给你一个按照非递减顺序排列的整数数组nums,和一个目标值 target。请你找出给定目标值在数组中的开始位置和结束位置。

如果数组中不存在目标值 target,返回 [-1, -1]

你必须设计并实现时间复杂度为 O(log n) 的算法解决此问题。

示例 1:
输入:nums = [5,7,7,8,8,10], target = 8
输出:[3,4]

示例 2:
输入:nums = [5,7,7,8,8,10], target = 6
输出:[-1,-1]

示例 3:
输入: nums = [], target = 0
输出:[-1,-1]

提示: 0 <= nums.length <= 105
-109 <= nums[i] <= 109
nums 是一个非递减数组
-109<= target <= 109

解答

方法一:固定套路

思想

其实这道题从有序数组O(log n)时间复杂度来看,很显然需要用到二分查找。

也就是需要用二分查找找到目标元素target出现的第一个位置和最后一个位置。

二分查找在实现的时候,根据左右边界开闭区间的不同,有三种实现方式:闭区间[l, r]、左开右闭(l, r]、开区间(l, r)

我这里就用闭区间的方式来做,但是任何方式其实都是可以的的。

对于查找target的第一个位置,其实查找的就是>= target的第一个元素,在这里将查找>= target的函数记作findNotLess()

但是在找到之后需要判断一下找到的位置是不是合法(因为如果这个数组元素都比target小,那么找到的位置是超出了数组边界的);

还需要判断找到的位置是不是target(如果数组中不存在target,那么可能找到的是例如target+1这样的比target还要大的元素)。

像下图所示的例子。
在这里插入图片描述
如果经过判断发现,target存在数组中,并且找到了第一个出现的位置,那么如何找target的最后一个的位置?

答:找最后一个target其实就需要找到> target的第一个元素的位置,然后把这个位置-1即可。

也就相当于去找>= (target+1)的位置,然后将找到的下标-1,就得到了最后一个target的位置。(因为经过刚刚的判断,target一定存在,那么找到>= (targe+1)的位置,它左边一定是最后一个target

可以发现,在找最后一个target时,用的是一种偷懒的方法来实现的,我把这种方式称作一种固定套路。

因此,在非递减顺序排列int数组中,可以在这里进行一下拓展和总结:

  1. 查找>= target的第一个位置,直接刚刚所说的findNotLess(target)方法;
  2. 查找> target的第一个位置,可以转换成查找>= target+1,也就是findNotLess(target+1)
  3. 查找< target的最后一个位置,可以转换成查找>= target的第一个位置,然后将找到的下标减一。也就是findNotLess(target)-1
  4. 查找<= target的最后一个位置,可以转换成查找> target的第一个位置再减一。二次转换成查找>= target+1的第一个位置再减一,也就是findNotLess(target+1)-1

注意:
上述查找时,在查找大于或大于等于一个数的时候,都是查找的第一个位置。
在查找小于或小于等于一个数的时候,都是查找的最后一个位置。
这是因为在非递减排序数组中,查找大于某个数的最后一个数是没意义的,一定在数组的最后面。
同样的,查找小于某个数的第一个数也是没意义的,一定是数组的开头。

代码实现

C++代码如下

class Solution {
public:vector<int> searchRange(vector<int>& nums, int target) {int n = nums.size();int start = findNotLess(nums, target);if(start == n || nums[start] != target)return {-1, -1};int end = findNotLess(nums, target+1)-1;return {start, end};}int findNotLess(vector<int>&nums, int target){int n = nums.size();int l = 0, r = n-1;while(l <= r){int mid = l + (r-l)/2;  // 防止溢出的计算方式if(nums[mid] >= target)r = mid-1;  // r+1 都是大于等于targetelsel = mid+1;  // l-1都是小于target}return r+1; // 返回的是大于等于target的第一个数的下标}
};

复杂度分析

时间复杂度

每次都将任务拆分成了之前的一半,O(logn)

空间复杂度

没有额外的空间开销,O(1)

方法二:灵活应用

思想

灵活应用的时候就是不仅仅只用方法一中的FindNotLess()函数,在查找出现的最后一个target的时候,通过更改函数中的比较方式来进行实现。
也就是下面这一部分:

if(nums[mid] >= target)r = mid-1;  // r+1 都是大于等于target
elsel = mid+1;  // l-1都是小于target

在上述代码中,这个部分是使得r+1都是>=targetl-1都是<target。用这种方式,在结束的时候r+1的位置就是第一个target(假设target存在数组中)

我们需要改成l-1都是<=targetr+1>target,这样结束的时候l-1的位置就是最后一个target。修改过后的代码见下。

代码实现

C++代码如下
其中find_left()函数就是上面的findNotLess()函数。

class Solution {
public:vector<int> searchRange(vector<int>& nums, int target) {int n = nums.size();int start = find_left(nums, target);if(start == n || nums[start] != target)return {-1, -1};int end = find_right(nums, target);return {start, end};}int find_right(vector<int> &nums, int target){int n = nums.size();int l = 0, r = n-1;while(l <= r){int mid = l + (r-l)/2;if(nums[mid] <= target)  // 注意这个地方的不同!!!l = mid+1;elser = mid-1;}return l-1;  // 返回的是<=target的最后一个数}int find_left(vector<int>&nums, int target){int n = nums.size();int l = 0, r = n-1;while(l <= r){int mid = l + (r-l)/2;if(nums[mid] >= target)r = mid-1;  // r+1 都是大于等于targetelsel = mid+1;  // l-1都是小于target}return r+1; // 返回的是大于等于target的第一个数的下标}
};

复杂度分析

时间复杂度

O(logn)

空间复杂度

O(1)

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