【拓扑的基】示例及详解

集合X的某拓扑的一个基是X的子集的一个族\mathcal B(其成员称为基元素)，满足条件：

1.\forall x \in X,\exists B\in \mathcal B,x\in B

2.if \ x \in B_1\cap B_2,B_1,B_2\in \mathcal B,\exists B_3\in \mathcal B,x\in B_3\subseteq B_1\cap B_2

由基生成拓扑

由\mathcal B生成的拓扑\tau(\mathcal B满足以上两个条件）

\tau=\left \{U\subseteq X: \forall x\in U ,\exists B \in \mathcal B,x\in B \subseteq U \right \}

等价描述：

\tau由所有可表示为\mathcal B的某些成员的井的那些集合组成

\tau=\left \{\bigcup_{B\in \mathcal B'}B: \mathcal B'\subseteq\mathcal B\right \}

例1:

证明：由\mathcal B生成的族\tau确实是拓扑

Proof:

1.\forall x \in X,\exists B\in \mathcal B,x\in B \subseteq X

so \ X ,\varnothing \in \tau

2.let \ \left \{ u_i \right \}_{i\in I},u_i \in \tau

\forall x \in \cup_{i\in I} u_i,\exists u_i,x \in u_i

u_i \in \tau,so\ \exists B \in \mathcal{B},x\in B \subseteq u_i \subseteq \cup_{i\in I} u_i

3.\forall u_1,u_2 \in \tau,if\ u_1\cap u_2=\varnothing,\varnothing\in \tau

if\ not\ ,\forall x \in u_1\cap u_2,\exists B_1 ,B_2\in \tau,x\in B_1\cap B_2\subseteq u_1\cap u_2

then, \exists B_3\in \tau,x\in B_3 \subseteq B_1\cap B_2\subseteq u_1\cap u_2, so\ u_1\cap u_2 \in \tau

with\ induction,\cap_{i=1}^nu_i\in\tau

In \ sum , \tau \ is \ topo

同理可证，任意一个集合X，X的所有单点子集的族是X上的离散拓扑的一个基

例2:

设\mathcal B和\mathcal B'分别是X的拓扑\tau和\tau'的基，则下列条件等价：

1.\tau'细于\tau

2.对\forall x\in X，及包含x的\forall B\in \mathcal B,\exists B' \in \mathcal B',s.t.x\in B'\subseteq B

Proof:

1.\Leftarrow

proof\ \tau \subseteq \tau '

\forall u \in \tau ,\forall x\in u,\exists B\in\mathcal B,x\in B\subseteq u

then,\exists B' \in \mathcal B',x\in B'\subseteq B\subseteq u\Rightarrow x\in \tau'

2.\Rightarrow

\forall x \in X, \forall B\in \mathcal B,s.t.\ x\in B

B\in\tau

\tau \subseteq \tau '\Rightarrow B\in\mathcal \tau '

\tau' \ generated \ by \ B'\Rightarrow \exists B' \in \mathcal B',x\in B'\subseteq B

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