K倍区间-C++题解

题目描述

给定一个长度为 N 的数列，A1, A2,…AN，如果其中一段连续的子序列 Ai,Ai+1⋯Aj ( i ≤j ) 之和是 K 的倍数，我们就称这个区间 [i, j]是 K 倍区间。

你能求出数列中总共有多少个 K倍区间吗？

输入描述

第一行包含两个整数 N 和 K( 1≤N,K≤100000 )

以下 N 行每行包含一个整数 Ai ( 1≤Ai≤100000 )

输出描述

输出一个整数，代表 K 倍区间的数目

输入输出样例

示例：

输入

输出

运行限制

最大运行时间：2s
最大运行内存: 256M

题解：

方法一：
首先最普遍的方法是暴力算法，不停的遍历，通过条件判断进行计数。

#inlcude<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n, k;
int a[100000];
int result = 0;
int main()
{cin >> n >> k;for(int i=0; i<n; i++){cin >> a[i];}for(int i=0; i<n; i++){if(a[i] % k == 0){result++;}for(int j=i+1; j<n; j++){a[i] = a[i] + a[j];if(a[i] % k == 0){result++;}}}cout << result;return 0;
}

但是该方法的时间复杂度较高，两层for循环O(n*n)

方法二：
利用前缀和算法实现，前缀和就是数组的前 i 项之和。
假设：n=5, k=2。
则数组a[] = {1, 2, 3, 4, 5}的前置和为：
原数列：1，2，3，4，5
前缀和：1，3，6，10，15
针对该前缀和对k进行取余：
取余后：1，1，0，0，1
余数相同的两个元素之间的区间即为K倍区间，例如mod[2]==mod[5]，则区间[i+1, j]也就是[3,5]是K倍区间。也可以这么理解区间(2,5]为K倍区间，该区间左开右闭。
这个理解后，就可以认为余数相同的两个数之间的区间即为K倍区间。因此对相同余数的两个元素进行排列组合。为C2 2加上C3 2（3为下标，2为上标），结果为1+3=4；
但是由于该区间是左开右闭的，因此要加上取余为0的个数。才构成完整的结果。
也就是先通过排列组合计算出中间区间为K倍区间的个数（4个）：
2345，345，2，4
再加上取余为0的个数（2个）：
123，1234
实际结果为6个。

#include <iostream>
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long input[100000], mod[100000] = {0};
long long add[100000] = {0}, sum = 0;
int main()
{// 请在此输入您的代码int n, k;long long reslut = 0;cin >> n >> k;//输入数列for(int i = 0; i < n; i++){cin >> input[i];}//对数列每个元素求前缀和存入sum，并对k进行取余存入modfor(int i = 0; i < n; i++){// 当前索引的前缀和sum += input[i];// 对该前缀和对k进行取余mod[i] = sum % k;// 对该索引前缀和取余后的数值出现次数进行累加add[mod[i]]++;}//计算结果for(int i = 0; i < n; i++){// 针对每种取余的值，进行计算排列组合，最后相加reslut += add[i] * (add[i]-1) / 2;}// 由于上面是左开右闭区间，缺少了一部分cout << reslut + add[0] << endl;return 0;
}