二、引出群概念

        考虑一个集合 G，以及一个二进制运算 – *。现在，我们说 （G， *） 如果满足以下所有条件，则形成一个组——

1. 该操作在 G 中关闭。也就是说，对于属于 G 的任意两个元素 a 和 b，a * b 也属于 G。
2. 该操作是关联的。也就是说，对于属于 G 的任意三个元素 a、b 和 c，我们有：a * （b * c） = （a * b） * c。
3. 该操作在 G 中具有标识元素。该元素通常用 e（来自德语中的统一词 Einheit）表示，并且具有以下属性：e * a = a * e = a，对于属于 G 的每个元素 a。
4. 对于 G 的每个元素 a，都存在一个属于 G 的元素 a'，因此，我们有：a * a' = a' * a = e。

        请注意，运算 * 有时表示为“.”，有时甚至根本没有记下。因此，以下三个表达式代表同一件事——

• a *b
• a.b
• ab

        现在，让我们快速熟悉一个我们将在整个文章过程中使用的示例！

2.1 加法模数 6

        如果您不知道模的含义，您会惊讶地发现您已经在一天中多次使用该操作！每当你看时钟时，你都在使用加法模 12（或 24）。例如，您如何确定上午 10 点之后的 5 小时是下午 3 点，而不是凌晨 15 点？您可以通过四舍五入大约 12 来做到这一点。也就是说，将 5 加到 10 得到 15，然后查看它从 12 中得到的余数。

        这种执行加法然后从固定数中取余数的操作称为模块化加法。固定数字用作上限柱，数字盘回起点。在符号中，我们将上面的例子表示为——

（10 + 5） 模组 12 = 3

        现在，考虑集合 S = {0， 1， 2， 3， 4， 5} 以及加法模 6 的运算。那是–

a * b = （a + b） mod 6

        例如，5 * 3 = （5 + 3） mod 6 = 8 mod 6 = 2

在表格形式中，这可以表示为——

（a + b） 模组 6.在这里，a 是行元素，而 b 是列元素。

        读者可以很容易地验证上述结构是否满足一个组的所有标准，因此确实是一个！恒等式为 0，逆数可从上表轻松获得。

        此外，它有助于考虑循环形式的模块化添加——

        参考上图，我们需要做的就是将两个数字 a 和 b 相加——我们从 a 开始，顺时针移动 b 单位，我们降落的地方是 （a + b） mod 6！例如，如果我们从 2 开始并顺时针方向移动 5 个单位，我们将以 1 结束。这是因为 （2 + 5） mod 6 = 1。

2.2 子群和子集

        顾名思义，子组是组的子集，它本身就是一个组（当然，对于相同的操作）。继续上面的例子，我们看到我们组有四个子组——

• H_1 = {0}
• H_2 = {0， 3}
• H_3 = {0， 2， 4}
• H_4 = {0， 1， 2， 3， 4， 5} （即 G 本身）

        在这里，我们只对适当的子组（不等于父组的子组）感兴趣，因此我们可以忽略H_4。此外，H_1是微不足道的子组。这两个子组（组本身和琐碎子组）将始终存在于一个组中。H_2 和 H_3 是我们感兴趣的非平凡的、适当的子组。

        在表格符号中，我们有——

        H_2 = {0， 3}

        H_3 = {0， 2， 4}

        请注意，每个子组的标识保持不变！

        在循环表示法中，这两个子组可以可视化为——

        两个非平凡的正确子组：{0， 3} 和 {0， 2， 4}。

        coset的概念与一个子群相关联。为了探索它，让我们继续使用示例中的特定子组：        

        H_2 = {0， 3}。

        为方便起见，让我们采取——

        G = {0， 1， 2， 3， 4， 5}

        H = {0， 3}

        现在，对于属于 G 的任何元素 a，我们将相应的 coset aH 定义为 –

aH = {通过对 H 的元素进行操作 a 获得的所有元素的集合}

示例：对于我们的子组 {0， 3} —

• 对应于 4 的 coset 将是 – {（4 + 0） mod 6， （4 + 3） mod 6} = {4， 1}
• 对应于 5 的 coset 是 — {（5 + 0） mod 6， （5 + 3） mod 6} = {5， 2}

三、拉格朗日定理

        进入本文的正题，我们现在提出并证明一个基本的群论结果，这个结果早于分支本身（当然，这意味着它最初是用非群论术语陈述的）。

对于任何有限群 G，G 的任何子群中的元素数必须是 G 中元素数的因数。

继续我们的例子，我们有——

• G = {0， 1， 2， 3， 4， 5}
• H_1 = {0}
• H_2 = {0， 3}
• H_3 = {0， 2， 4}
• H_4 = {0， 1， 2， 3， 4， 5}

        请注意，组的大小是 6，子组的大小是 1、2、3 和 6 – 所有因子都是 6！

        请注意，拉格朗日定理限制了子群的可能大小。大小为 6 的组不能有大小为 4 的子组，因为 4 不会除以 6。同样，大小为 8 的组只能具有大小为 1、2、4 和 8 的子组。

        现在，让我们来证明这个定理吧！但要做到这一点，我们首先需要围绕 coset 建立更多的结果。

3.1 结果 1

        a 属于 coset aH。

        证据很简单。每个子群 H 都包含恒等式 e（可以很容易地证明）。因此，相应的 coset 将包含元素 a * e = a。

        示例 — 继续 G 和 H = {0， 3}，对应于 4 的 coset 是 {4， 1}，其中包含 4。

3.2 结果 2

        aH 的大小与 H 相同。

        显然，aH 的大小不能大于 H。因此，如果我们能证明对于属于 H 的任何两个不同元素 x、y、ax ≠ ay，那么我们就完成了。这意味着 aH 没有重复，因此大小与 H 相等。

        这可以通过使用团体取消属性来轻松证明。因为，如果 ax = ay，那么我们有——

        a'ax = a'ay，这给出了 x = y。

        示例 — 对于 H = {0， 3}，我们有 —

• Coset 对应于 4 = {4， 1}，其大小等于 H。
• 类似地，对于对应于 5 的 coset（{5， 2} 的大小等于 H 的大小）。

3.3 结果 3

        与两种不同元素 aH 和 bH 相关的 Coset 要么是不相交的（没有共同的元素），要么彼此完全相等！

        这是一个相当了不起的结果！让我们首先借助示例来理解它。

G = {0， 1， 2， 3， 4， 5}， H = {0， 3}

        对应于 H 的 Coset 是 —

• 0H = {0， 3}
• 1H = {1， 4}
• 2H = {2， 5}
• 3H = {3， 0}
• 4H = {4， 1}
• 5H = {5， 2}

        请注意，没有两个具有部分相交的 coset——每对要么不相交，要么完全相同！

        现在，让我们去证明这一点。

        设 a 和 b 是 G 的两个不同元素。然后，可能有两种情况——

• aH 和 bH 不相交。在这种情况下，没有什么可证明的。
• aH 和 bH 至少有一个共同点。在这种情况下，我们需要证明它们实际上是相同的，也就是说，具有所有共同点！

        为了证明上述情况，设 z 是 aH 和 bH 之间的公共元素。然后，我们必须让 x、y 属于 H，使得 ax = z = by （1）。

        现在，让 p 是属于 aH 的任何元素。那么一定有一些属于 H 的 w，这样——

        因此 p 属于 bH！因此，任何属于 aH 的元素都属于 bH。按照与上述类似的思路，我们可以很容易地证明 bH 的每个元素也属于 aH。结合在一起，我们看到 aH 和 bH 是一回事！因此证明。

        最后，我们可以证明拉格朗日定理了！

3.4 拉格朗日定理的证明

        考虑 coset aH， bH， cH， ...，其中 a， b， c ...是 G 的元素。现在，由于 a 属于 aH（结果 1），b 属于 bH，c 属于 cH ...，因此，如果我们取所有这些 coset 的并集，那么它将包含 G 的所有元素。那是–

G = aH ∪ bH ∪ cH ∪ ...

        继续我们的例子——

        G = {0， 1， 2， 3， 4， 5}， H = {0， 3}

        使用对应于 {0， 3} 的 coset，我们有 —

        G = {0， 3} ∪ {1， 4} ∪ {2， 5} ∪ {3， 0} ∪ {4， 1} ∪ {5， 2}

        现在，从上面的结果 3 中，我们知道给定任何两个 coset，它们只能以以下两种方式之一相关——

• 它们要么彼此相同，要么
• 它们将完全脱节。

        这使我们能够进行简化。由于在并集时多次出现同一集合是没有意义的，因此我们只取一个并留下其余的。也就是说，如果 pH = qH = rH（比如说），那么我们只需在上面的等式中只取其中一个，省略其他的。

        为了方便起见，让我们假设 a、b、c、...，现在已经取得 aH、bH、cH、...，都是成对不相交的。换句话说，我们现在已经从上面的表达式中删除了重复项。

G = aH ∪ bH ∪ cH ∪...，（其中 aH， bH， cH ,...都是平分秋色的不相交）

        在我们的示例中，我们看到以下三个 coset 各出现两次——

• {0, 3}
• {1, 4}
• {2, 5}

        因此，只计算每次出现一次，我们就有——

G = {0， 3} ∪ {1， 4} ∪ {2， 5}

        现在，双方的元素数量应该相等。那就是——

尺寸（G） = 尺寸 （aH ∪ bH ∪ cH ∪ ...）

        由于右手边的所有集合都是成对不相交的，我们有——

尺寸（G） = 尺寸 （aH ∪ bH ∪ cH ∪ ...），简化为

尺寸（G） = 尺寸（aH） + 尺寸（bH） + 尺寸（cH） + ...

        但是，请注意，每个 coset 的大小等于 H 的大小（结果 2）！因此，我们有——

尺寸（G） = 尺寸（H） + 尺寸（H） + 尺寸（H） + ...，或

尺寸（G） = k.尺寸（H）

        其中 k 是上式中存在的不同 coset 的数量。

        我们有了它！通俗地说，上面的等式说 H 的元素数是 G 的元素数的一个因数。这就是我们要证明的！

        最后，以我们的例子来结束——

四、后记

        上述定理完美地结合了数学直觉和严谨性。虽然这个定理本身是凭直觉出现在我们的脑海中的，但证明是非常严谨的，在此过程中引入了 coset 的新想法。

        在他杰出的著作《数学家的道歉》中，GH Hardy描述了两个参数，他认为这两个参数将伟大的证明/结果与普通的证明/结果区分开来——

• 一般性：证明的一般性。涉及许多特殊起始条件的证明，或诸如if，else，but，...在这个指标下表现不佳。
• 深度：对于特定数学分支而言，证明的初级或基本程度。

拉格朗日定理在上述两个标准中得分很高。