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🥰作者: FlashRider

🌏专栏: 初阶数据结构

🍖知识概要：详解二叉树的概念、二叉树的遍历、以及代码实现。

目录

树的基本概念

树的存储结构与二叉树的实现

树的存储

什么是二叉树

二叉链存储二叉树

二叉树的代码实现

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树的基本概念

我们说的树是一种非线性的数据结构，它是由n(n>=0)个有限结点组成的具有层次关系的集合。
因为外形看起来像是一棵根朝上，叶朝下的倒挂的树，所以我们把它称作树。

注意：子树不能有交集，否则就不是树形结构（即每个节点只能有一个父节点）。

一些术语：

节点的度：一个节点含有的字数个数。
叶节点：度为0的节点。
非叶节点/分支节点：度不为0的节点。
父/双亲节点：有子树的节点。
子节点：有父节点的节点。
兄弟节点：具有相同父节点的节点。
树的度：整个树中节点的度取最大值。
节点的层次：从根节点为第一层开始，依次往下递增。
树的高度：节点的最大层次。
祖先：从根节点到该节点所经过的分支上所有的节点。
森林：由m(m>0)棵互不相交的树组成的集合。

树的图示：

注：树的节点存储什么样的数据根据情况而议，图中使用字母表示节点只是为了方便。

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树的存储结构与二叉树的实现

树的存储

我们可以观察一下树的结构，首先对于每一个父节点来说，它都有至少一个子节点，如果有多个兄弟我们可以都看作兄弟节点。对于没有子节点或兄弟节点的节点，我们可以把它的子节点或兄弟节点看作空。
因此我们可以发现任意节点都可以这么表示：子节点，兄弟节点。
字节点存储它的第一个儿子，兄弟节点存储它的兄弟。这样根据一个儿子的兄弟节点就可以遍历所有的儿子，而根据子节点又可以继续往深处找。

typedef int DataType;//树的数据类型 
typedef struct TreeNode
{ struct Node* _child;  //第一个孩子  struct Node* _brother;  //自己的兄弟DataType _data;  //节点内存的数据
}TNode;

而对于我们目前而言，研究一些特殊的树就可以了，而树中比较典型的一种就是二叉树。

什么是二叉树

二叉树是一种树的结点的有限集合，该集合满足两个性质：

1. 可以为空。 2. 由一个根加上左右两颗子树组成。

对于途中的结点2来说，它的右子树为空，对于3、5、6来说，左右子树都为空，但也满足二叉树的性质。因此这棵树是一颗二叉树。

完全二叉树：

除了最后一层叶子结点可以不用铺满，其他每一层的结点都必须满足最大值。比如上图中的第一层和第二层都满足结点为最多，第三层叶子节点最多为4个，但只有3个，因为叶子节点不用满足铺满，所以上图是一个完全二叉树。

满二叉树：

每一层的结点都为最大值，即每一层结点都铺满。满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

二叉树的一些性质：

1. 若根节点层次为1，则一颗非空二叉树第i层最多有2的i-1次方。
2. 若根节点层次为1，则深度为h的二叉树，最大结点数为2的h次方-1。
3. 对于任何一颗二叉树，如果度为0的叶节点个数为n0， 则度为2的分支结点个数为n2，则满足
n0 = n2 + 1。
4. 若根节点层次为1，则有n个结点的满二叉树深度为h = log2(n+1)    以2为底 n+1为对数。
5. 如果从上到下从左到右，根结点为0开始编号，对于结点 i 则：
        5.1 若 i 不为0，则(i-1)/2为父节点.
        5.2 若2i+1<n， 则2i+1为左孩子。否则无左孩子。
        5.3 若2i+2<n， 则2I+2为右孩子。否则无右孩子。

二叉链存储二叉树

我们可以使用链式结构存储二叉树。

typedef int DataType;//数据类型
typedef struct BinaryTreeNode
{struct BinaryTreeNode* _left;//左孩子struct BinaryTreeNode* _right;//右孩子DataType _data;//数据
}BTNode;

三叉链
如果使用三叉链存储二叉树，那么就多一个指向父亲的指针，可以快速找到父节点，在某些需要频繁找父节点的情况下可以使用。

typedef int DataType;//数据类型
typedef struct BinaryTreeNode
{struct BinaryTreeNode* _parent;//父节点struct BinaryTreeNode* _left;//左孩子struct BinaryTreeNode* _right;//右孩子DataType _data;//数据
}BTNode;

二叉树的代码实现

有了前面的知识，我们已经明白二叉树的结构是怎样的了，那么我们可以考虑如何创建二叉树的节点，其实也很简单，和链表节点类似，malloc一个新节点出来，并存储数据就行了，而二叉树节点的创建与链接我们一般用递归实现，这里就不再赘述，我们就直接手动连接。

#include <stdio.h>
#include <assert.h>
#include <stdlib.h>
#include <stdbool.h>
//二叉树结构
typedef int BTDataType;
typedef struct BinaryTreeNode
{BTDataType data;struct BinaryTreeNode* left;struct BinaryTreeNode* right;
}BTNode;
//创建一个节点
BTNode* BuyNode(BTDataType x)
{BTNode* newnode = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));if (newnode == NULL){perror("malloc fail");return NULL;}newnode->data = x;newnode->left = newnode->right = NULL;return newnode;
}
//手动链接一颗二叉树
BTNode* CreatBinaryTree()
{BTNode* node1 = BuyNode(1);BTNode* node2 = BuyNode(2);BTNode* node3 = BuyNode(3);BTNode* node4 = BuyNode(4);BTNode* node5 = BuyNode(5);BTNode* node6 = BuyNode(6);node1->left = node2;node1->right = node4;node2->left = node3;node4->left = node5;node4->right = node6;return node1;
}

二叉树的遍历：

二叉树的遍历分为前序中序后序三种，而这三种的区别就是根节点在前还是在后。
遍历顺序为：左子树，根节点，右子树。 左根右，因此是中序遍历。以此类推。
而我们可以使用递归非常简单的去实现这三种遍历，因为树本身就是一种递归结构。

如果当前节点为空，代表不需要再递下去了，就return，如果不为空代表可以继续递左右子树，因此看遍历需求考虑先递再打印还是先打印再递。

//前序遍历： 根 左 右
void PrevOrder(BTNode* bt)
{if (bt == NULL){printf("N ");return;}printf("%d ", bt->data);PrevOrder(bt->left);PrevOrder(bt->right);
}
//中序遍历 左 根 右
void InOrder(BTNode* bt)
{if (bt == NULL){printf("N ");return;}PrevOrder(bt->left);printf("%d ", bt->data);PrevOrder(bt->right);
}
//后序遍历 左 右 根
void PostOrder(BTNode* bt)
{if (bt == NULL){printf("N ");return;}PrevOrder(bt->left);PrevOrder(bt->right);printf("%d ", bt->data);
}

一些简单常见的操作：

对于一颗二叉树，我们也许会求它的高度或结点个数，这些该怎么做呢？

对于求结点个数来说，我们也可以使用递归思想（分治思想），一棵树的结点个数等于左子树节点数＋右子树节点数+根结点，因此sum = left + right + 1；对于这棵树的每一颗子树我们都可以这么想，因此代码就显而易见了。
求叶子结点个数也很简单，只要一个树左右子树都为空，则就是叶结点了，在求结点个数的基础上改一改就行。

对于求高度来说，我们也可以递归，一棵树的高度为左右子树高度的最大值，加上本身这一层。即h = max(左子树高度，右子树高度) + 1。

//求结点个数
int BTreeSize(BTNode* bt)
{if (bt == NULL)	return 0;return BTreeSize(bt->left) + BTreeSize(bt->right) + 1;
}
//求叶结点个数
int BLeafSize(BTNode* bt)
{if (bt == NULL)return 0;if (bt->left == NULL && bt->right == NULL)return 1;return BLeafSize(bt->left) + BLeafSize(bt->right);
}
//求树的高度
int BTreeHeight(BTNode* bt)
{if (bt == NULL)return 0;int left = BTreeHeight(bt->left);int right = BTreeHeight(bt->right);return left > right ? left + 1 : right + 1;
}

一些常见操作：

求树的第k层的结点个数：因为这个问题指定了求哪一层，所以我们拿一个变量k来存储剩余层数，当k减到1时代表就是第k层了。

查找值为x的结点：也是用一个变量存储x，如果当前结点的data（前提是结点不为空）为x，就可以返回当前结点，否则返回左子树右子树中递归查找结果不为空的那一个。

//求树第k层的结点个数
int BinaryTreeLevelKSize(BTNode* bt, int k)
{assert(k > 0);if (k == 1)return 1;if (bt == NULL)return 0;return BinaryTreeLevelKSize(bt->left, k - 1) + BinaryTreeLevelKSize(bt->right, k - 1);
}
//二叉树查找值为x的结点
BTNode* BTreeFind(BTNode* root, BTDataType x)
{if (root == NULL)return NULL;if (root->data == x)return root;BTNode* r1 = BTreeFind(root->left, x);if (r1) return r1;BTNode* r2 = BTreeFind(root->right, x);if (r2) return r2;return NULL;//if (r1 == NULL && r2 == NULL)//	return NULL;//if (r1 == NULL) return r2;//else return r1;
}

二叉树的基本知识点就差不多到这了，接下来我们就可以调试代码了。

//求前中后序遍历，并打印二叉树的结点/叶结点个数以及高度
int main()
{BTNode* root = CreatBinaryTree();PrevOrder(root);printf("\n");InOrder(root);printf("\n");PostOrder(root);printf("\n");printf("%d\n", BTreeSize(root));printf("%d\n", BLeafSize(root));printf("%d\n", BTreeHeight(root));return 0;
}

当然，为了避免内存泄漏，记得要销毁二叉树噢。

//二叉树的结点空间释放
void BTreeDestroy(BTNode* bt)
{if(bt == NULL)	return;BTreeDestroy(bt->left);BTreeDestroy(bt->right);free(bt);
}