题目描述

小蓝最近在学习二进制。他想知道 1 到 N 中有多少个数满足其二进制表示中恰好有 K 个 1。你能帮助他吗？

输入描述

输入一行包含两个整数 N 和 K。

输出描述

输出一个整数表示答案。

输入输出样例

示例

输入

7 2

输出

3

评测用例规模与约定

对于 30% 的评测用例，1 ≤ N ≤ 10^6,1 ≤ K ≤ 10。

对于 60% 的评测用例，1 ≤ N ≤ 2×10^9,1 ≤ K ≤ 30。

对于所有评测用例，1 ≤ N ≤ 10^18,1 ≤ K ≤ 50。

解题思路

这道题大致的问题就是给定一排位置，填或者不填的问题，我们可以考虑使用数位dp的思想。

对于n个位置填k个1的方案数量是典型的排列组合，虽然K的值最高只有50，计算排列组合也是可以实现的，但这里我们综合考虑使用帕斯卡公式，即

于是我们可以定义dp[i][j]：在长度为 i 的二进制序列中填 j 个 1 的组合数。

帕斯卡公式的证明就是这道题的原理，即n个数中取m个元素的组合数——包含第一个数不取，在剩下的n-1个数中取m个数；和第一个数取，在剩下n-1个数中取m-1个数的总和。

题目要求统计包含K个1的二进制数的数量，以N的二进制为1011，取k=3为例，我们可以将1011分解为以下几个区间考虑：0000~0111、1000~1001、1010~1010、1011。

这样分的理由是，第一个数不填1，考虑剩下3个位置填3个1的方法总数，这不就正好是在000~111这个长度为3的二进制序列中填3个1的排列总数吗，即dp[3][3]。

那么比111更大的数即代表着第一个数一定填1，在第二个区间中，我们是在第一个数填1的情况下，考虑第三个数不填1的排列数，即剩下1个位置填2个1满足要求——dp[1][2]。

第三个区间考虑在第一个位置和第三个位置都填1的情况下，第四个位置不填1的情况，那么就要加上在剩下0个位置填1个1的组合数——dp[0][1]。

最后还剩一个单独的1011，其目的是要留着特判，因为我们前面一直都是在遇到1的情况下考虑这个位置不填1有多少种满足要求的可能性，那么我们就会漏掉最后一个位置填1的情况没有计算，在最后一个位置填1，并且刚好满足k个1的时候，就需要增加一种组合数。

根据上述逻辑，此数据的答案即为：dp[3][3] + dp[1][2] + dp[0][1] + 1  =  1 + 0 + 0 + 1  =  2种

import java.util.*;
import java.io.*;public class Main {static long n;static int k;static long[][] dp;public static void main(String[] args) {Scanner sc = new Scanner(System.in);n = sc.nextLong();k = sc.nextInt();init();System.out.println(solve(n));}public static long solve(long n) {char[] s = Long.toBinaryString(n).toCharArray();long ans = 0;// ones 用于记录已经填的1的数量int ones = 0;for (int i = 0; i < s.length; i++) {int po = s.length - i;if (s[i] == '1') {// 先考虑位置po不填1的可能性ans += dp[po - 1][k - ones];// 然后填上一个1并记录ones++;// 由于在ones等于k的时候还有一次后续什么都不填的可能性，即dp[xxx][0] = 1// 所以只在填超了以后才breakif (ones > k) {break;}}// 如果最后一位刚好填够k个1，会漏计算1种情况，需要补上if (po == 1 && ones == k) {ans++;}}return ans;}public static void init() {dp = new long[65][65];dp[0][0] = 1;for (int i = 1; i < 65; i++) {for (int j = 0; j <= i; j++) {if (j == 0) {dp[i][j] = 1;} else {dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i - 1][j - 1];}}}}
}