备战2024年蓝桥杯 -- 每日一题
Python大学A组

        试题一：病毒溯源
        试题二：没有上司的舞会
        试题三：生命之树

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试题一：病毒溯源

【题目描述】

        病毒容易发生变异。某种病毒可以通过突变产生若干变异的毒株，而这些变异的病毒又可能被诱发突变产生第二代变异，如此继续不断变化。现给定一些病毒之间的变异关系，要求你找出其中最长的一条变异链。在此假设给出的变异都是由突变引起的，不考虑复杂的基因重组变异问题 —— 即每一种病毒都是由唯一的一种病毒突变而来，并且不存在循环变异的情况。

【输入格式】

        输入在第一行中给出一个正整数 N，即病毒种类的总数。于是我们将所有病毒从 0 到 N−1 进行编号。

        随后 N 行，每行按以下格式描述一种病毒的变异情况：

        k 变异株1 …… 变异株k

        其中 k 是该病毒产生的变异毒株的种类数，后面跟着每种变异株的编号。第 i 行对应编号为 i 的病毒（0≤i<N）。题目保证病毒源头有且仅有一个。

【输出格式】

        首先输出从源头开始最长变异链的长度。

        在第二行中输出从源头开始最长的一条变异链，编号间以 11 个空格分隔，行首尾不得有多余空格。如果最长链不唯一，则输出最小序列。

        注：我们称序列 {a1,…,an} 比序列 {b1,…,bn} “小”，如果存在 1≤k≤n 满足 ai=bi 对所有 i<k 成立，且 ak<bk。

【数据范围】

        1≤N≤104

【输入样例】

10
3 6 4 8
0
0
0
2 5 9
0
1 7
1 2
0
2 3 1

【输出样例】

4
0 4 9 1

【解题思路】

        题意就是输出根节点到叶子节点的最大长度的那条路径，如果有多条路径选择字典序最小的那一条。首先找到根节点，从根节点搜索最长路径采用DFS.

【Python程序代码】

# import sys
# sys.setrecursionlimit(10000)
n = int(input())
h,e,ne,idx = [-1]*(n+5),[0]*(2*n+5),[0]*(2*n+5),0
st,mp = [0]*(n+5),[0]*(n+5)
def add(a,b):global idxe[idx] = b; ne[idx]=h[a]; h[a]=idx; idx+=1
def dfs(u):res = 0mp[u]=-1i= h[u]while i!=-1:j = e[i]d = dfs(j)if res<d:res = d; mp[u]=jelif res==d:mp[u] = min(mp[u],j)i = ne[i]return res+1
for i in range(n):s = list(map(int,input().split()))if s[0]==0:continuefor j in range(1,len(s)):add(i,s[j])st[s[j]]=1root = 0
while st[root]:root+=1
print(dfs(root))
print(root,end=' ')
while mp[root]!=-1:root = mp[root]print(root,end=' ')

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试题二：没有上司的舞会

【题目描述】

        Ural 大学有 N 名职员，编号为 1∼N。他们的关系就像一棵以校长为根的树，父节点就是子节点的直接上司。每个职员有一个快乐指数，用整数 Hi 给出，其中 1≤i≤N。现在要召开一场周年庆宴会，不过，没有职员愿意和直接上司一起参会。在满足这个条件的前提下，主办方希望邀请一部分职员参会，使得所有参会职员的快乐指数总和最大，求这个最大值。

【输入格式】

        第一行一个整数 N。

        接下来 N行，第 i行表示 i号职员的快乐指数 Hi。

        接下来 N−1 行，每行输入一对整数 L,K，表示 K 是 L的直接上司。（注意一下，后一个数是前一个数的父节点，不要搞反）。

【输出格式】

        输出最大的快乐指数。

【数据范围】

        1≤N≤6000,
        −128≤Hi≤127

【输入样例】

7
1
1
1
1
1
1
1
1 3
2 3
6 4
7 4
4 5
3 5

【输出样例】

5

【解题思路】

        令f[u][0]表示不取节点的最大快乐指数、f[u][1]表示取节点u的最大快乐指数。所以f[u][0] += max(f[j][0]，f[j][1])其中j为u的子节点。f[u][1] += f[j][0]。答案为max(f[root])。

【Python程序代码】

n = int(input())
h,e,ne,idx = [-1]*(n+5),[0]*(2*n+5),[0]*(2*n+5),0
f = [[0]*(3) for i in range(n+5)]
def add(a,b):global idxe[idx]=b; ne[idx]=h[a]; h[a]=idx; idx+=1
def dfs(u):f[u][1] = w[u]i = h[u]while i!=-1:j = e[i]dfs(j)f[u][0] += max(f[j][1],f[j][0])f[u][1] += f[j][0]i = ne[i]
st,w = [0]*(n+5), [0]*(n+5)
for i in range(1,n+1):w[i] = int(input())
for i in range(n-1):a,b = map(int,input().split())add(b,a)st[a]=1
root = 1
while st[root]:root+=1
dfs(root)
print(max(f[root]))

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试题三：生命之树

【题目描述】

        在X森林里，上帝创建了生命之树。他给每棵树的每个节点（叶子也称为一个节点）上，都标了一个整数，代表这个点的和谐值。上帝要在这棵树内选出一个非空节点集 S，使得对于 S 中的任意两个点 a,b，都存在一个点列 {a,v1,v2,…,vk,b}使得这个点列中的每个点都是 S 里面的元素，且序列中相邻两个点间有一条边相连。在这个前提下，上帝要使得 S 中的点所对应的整数的和尽量大。这个最大的和就是上帝给生命之树的评分。经过 atm 的努力，他已经知道了上帝给每棵树上每个节点上的整数。但是由于 atm 不擅长计算，他不知道怎样有效的求评分。他需要你为他写一个程序来计算一棵树的分数。

【输入格式】

        第一行一个整数 n 表示这棵树有 n 个节点。

        第二行 n 个整数，依次表示每个节点的评分。

        接下来 n−1行，每行 2 个整数 u,v，表示存在一条 u 到 v 的边。

        由于这是一棵树，所以是不存在环的。

        树的节点编号从 1 到 n。

【输出格式】

        输出一行一个数，表示上帝给这棵树的分数。

【数据范围】

        1≤n≤105,
        每个节点的评分的绝对值均不超过 106。

【输入数据】

5
1 -2 -3 4 5
4 2
3 1
1 2
2 5

【输出数据】

8

【解题思路】

        看起来像求根的直径，但是边是带权值的。实际上就是：找到一个无向图中的连通块，使得它的节点权值的总和最大。同样由于是无向图，为了减少搜索次数dfs的时候可以记录一下父节点。

【Python程序代码】

import sys
sys.setrecursionlimit(int(1e9))
n = int(input())
h,e,ne,idx = [-1]*(n+5),[0]*(2*n+5),[0]*(2*n+5),0
def add(a,b):global idxe[idx]=b; ne[idx]=h[a]; h[a]=idx; idx+=1
w = [0] + list(map(int,input().split()))
for i in range(n-1):a,b = map(int,input().split())add(a,b); add(b,a)
f = [0]*(n+5)
def dfs(u,fa):f[u] = w[u]i = h[u]while i!=-1:j = e[i]if j!=fa:dfs(j,u)f[u] += max(0,f[j])i = ne[i]
dfs(1,0)
print(max(f[1:n+1]))