1049. 最后一块石头的重量 II

题目描述

有一堆石头，用整数数组 stones 表示。其中 stones[i] 表示第 i 块石头的重量。

每一回合，从中选出任意两块石头，然后将它们一起粉碎。假设石头的重量分别为 x 和 y，且 x <= y。那么粉碎的可能结果如下：

• 如果 x == y，那么两块石头都会被完全粉碎；
• 如果 x != y，那么重量为 x 的石头将会完全粉碎，而重量为 y 的石头新重量为 y-x。

最后，最多只会剩下一块 石头。返回此石头 最小的可能重量 。如果没有石头剩下，就返回 0。

示例 1：

输入：stones = [2,7,4,1,8,1]
输出：1
解释：
组合 2 和 4，得到 2，所以数组转化为 [2,7,1,8,1]，
组合 7 和 8，得到 1，所以数组转化为 [2,1,1,1]，
组合 2 和 1，得到 1，所以数组转化为 [1,1,1]，
组合 1 和 1，得到 0，所以数组转化为 [1]，这就是最优值。

示例 2：

输入：stones = [31,26,33,21,40]
输出：5

提示：

• 1 <= stones.length <= 30
• 1 <= stones[i] <= 100

动态规划

本题其实就是尽量让石头分成重量相同的两堆，相撞之后剩下的石头最小，这样就化解成01背包问题了。

// 1049. 最后一块石头的重量 II#include <vector> // 包含vector类，用于使用向量（动态数组）
#include <iostream> // 包含输入输出流库class Solution {
public:// 主函数int lastStoneWeightII(vector<int>& stones) {int sum = 0; // 初始化石头重量之和为0// 计算所有石头重量的总和for(int i = 0; i < stones.size(); i++) sum += stones[i];// 计算重量总和的一半，向下取整int tar = sum / 2;// dp数组用于存储动态规划过程中的状态，初始化长度为tar+1，并全部填充为0vector<int> dp(tar + 1, 0);// 动态规划计算过程，目的是使得两堆石头的重量差最小for(int i = 0; i < stones.size(); i++) // 遍历每块石头for(int j = tar; j >= stones[i]; j--) // 从tar开始向下遍历，直到能容纳当前石头重量dp[j] = max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]); // 更新dp[j]为两种情况的较大值//那么分成两堆石头，一堆石头的总重量是dp[target]，另一堆就是sum - dp[target]。//在计算target的时候，target = sum / 2 因为是向下取整，所以sum - dp[target] 一定是大于等于dp[target]的。//那么相撞之后剩下的最小石头重量就是 (sum - dp[target]) - dp[target]。return sum - dp[tar] - dp[tar];}
};

解析：

• 此问题可以转化为一个类似于背包问题的动态规划问题。考虑将石头分成两堆，使得每堆的重量尽可能接近总重量的一半。
• dp数组的含义是：dp[j]表示在不超过重量j的条件下，能选出石头的最大重量。
• 我们遍历每一块石头，更新dp数组，从tar开始向下遍历，这样可以确保每块石头只被选用一次。
• 最后，dp[tar]就是其中一堆石头的最大可能重量，总重量减去两倍的dp[tar]（因为tar是总重量的一半）就是最小的可能重量，即最后剩下的石头的重量。

注意：

• dp数组采用了自底向上的迭代方式更新，这样可以避免重复计算并节省空间。
• 代码中用了max函数来确保dp数组存储的是最优解。