动态规划-----背包类问题(0-1背包与完全背包)详解

目录

什么是背包问题?

动态规划问题的一般解决办法:

0-1背包问题:

0 - 1背包类问题  分割等和子集: 

完全背包问题: 

完全背包类问题 零钱兑换II:


什么是背包问题?

背包问题(Knapsack problem)是一种组合优化的NP完全问题。问题可以描述为:给定一组物品,每种物品都有自己的重量和价格,在限定的总重量内,我们如何选择,才能使得物品的总价格最高。问题的名称来源于如何选择最合适的物品放置于给定背包中。相似问题经常出现在商业、组合数学,计算复杂性理论、密码学和应用数学等领域中。也可以将背包问题描述为决定性问题,即在总重量不超过W的前提下,总价值是否能达到V?它是在1978年由Merkle和Hellman提出的。

动态规划问题的一般解决办法:

动态规划,无非就是利用历史记录,来避免我们的重复计算。而这些历史记录,我们得需要一些变量来保存,一般是用一维数组或者二维数组来保存。下面我们先来讲下做动态规划题很重要的三个步骤:

  • 🧐 步骤一:定义dp数组元素的含义
  • 🧐步骤二:找出数组元素之间的关系式(也就是我们所熟知的状态转移方程)
  • 🧐第三步骤:找出初始值(base case)

接下来的题目我们会按照这三个步骤来解释说明

前言:本文包含动态规划中的经典背包问题,有关背包问题的描述如下:

在动态规划中,背包问题是一个经典的优化问题,它可以分为0-1背包问题和完全背包问题两种类型。下面我们就来看看这两个问题:

0-1背包问题:

问题描述:

给你一个可装载重量为 W 的背包和 N 个物品,每个物品有重量和价值两个属性。其中第 i 个物品的重量为 wt[i],价值为 val[i]。现在让你用这个背包装物品,每个物品只能用一次,在不超过被包容量的前提下,最多能装的价值是多少?

  • 🧐 步骤一:定义dp数组元素的含义:

由于状态有两个,就是「背包的容量」和「可选择的物品」,这里我们就需要用到一个二维的dp

数组,如下为dp数组的定义:

🦉🦉🦉dp[i][w] 的定义如下:对于前 i 个物品,当前背包的容量为 w,这种情况下可以装的最大价值是 dp[i][w]

  • 🧐步骤二:找出数组元素之间的关系式(也就是我们所熟知的状态转移方程)

1.如果你没有把这第 i 个物品装入背包,那么很显然,最大价值 dp[i][w] 应该等于 dp[i-1][w],继承之前的结果(翻译一下就是不装入第i个物品,相当于对前 i - 1 个物品进行选择,对应此时的背包容量w)。即此时的状态转移方程是:dp[ i ][ w ] = dp[ i - 1 ][ w ]

2.如果你把这第 i 个物品装入了背包,此时背包剩余容量为 w - wt[ i - 1 ](wt数组下标是从0开始的, wt[ i - 1 ] 相当于第 i 个物品的重量,val 也一样)

则此时的状态转移方程是:dp[ i ][ w ] = dp[ i - 1 ][ w - wt[ i - 1] ] + val[ i - 1 ]

  • 🧐第三步骤:找出初始值(base case):

这题的base case 相对简单,当物品个数为0或则背包当前容量为0时,dp[ i ][ w ] 都等于0

按照上述的状态转移方程,我们可以填出对应dp表格(以图中的例子为例):

有了上述铺垫后,动态规划的代码就很好实现了,具体代码如下:

int knapsack(int W, int N, int[] wt, int[] val) {assert N == wt.length;// base case 已初始化,数组自动全部初始化为0int[][] dp = new int[N + 1][W + 1];for (int i = 1; i <= N; i++) {for (int w = 1; w <= W; w++) {if (w - wt[i - 1] < 0) {// 这种情况下只能选择不装入背包dp[i][w] = dp[i - 1][w];} else {// 装入或者不装入背包,择优dp[i][w] = Math.max(dp[i - 1][w - wt[i-1]] + val[i-1], dp[i - 1][w]);}}}return dp[N][W];
}

有了上面的一定了解后,我们来看看0 - 1背包的类似题:

0 - 1背包类问题  分割等和子集: 

看一下力扣第 416 题「分割等和子集open in new window」:

题目描述:输入一个只包含正整数的非空数组 nums,请你写一个算法,判断这个数组是否可以被分割成两个子集,使得两个子集的元素和相等。对应函数签名如下:

我们可以将这个问题转化为0 - 1背包问题,具体做法:

这个问题相当于给一个可装载重量为 sum / 2 的背包和 N 个物品,每个物品的重量为 nums[i]。现在让你装物品,是否存在一种装法,能够恰好将背包装满?按照上述解题思路就是:

  • 🧐 步骤一:定义dp数组元素的含义:

dp[i][j] = x 表示,对于前 i 个物品(i 从 1 开始计数),当前背包的容量为 j 时,若 x 为 true,则说明可以恰好将背包装满,若 x 为 false,则说明不能恰好将背包装满

  • 🧐步骤二:找出数组元素之间的关系式(也就是我们所熟知的状态转移方程)

与上面类似,这里就直接给出来了:

1.不把这第 i 个物品装入背包:dp[ i ][ j ] = dp[ i - 1 ][ j ]

2.把这第i个物品装入背包:dp[ i ][ j ] = dp[ i - 1][ j - nums[ i - 1 ] ]

  • 🧐第三步骤:找出初始值(base case):

当背包容量为0时(sum / 2= 0)这时无论物体有多少个都可以满足条件,就是什么都不装嘛

ok,接下来看完整代码:

boolean canPartition(int[] nums) {int sum = 0;for (int num : nums) sum += num;// 和为奇数时,不可能划分成两个和相等的集合if (sum % 2 != 0) return false;int n = nums.length;sum = sum / 2;boolean[][] dp = new boolean[n + 1][sum + 1];// base casefor (int i = 0; i <= n; i++)dp[i][0] = true;for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = 1; j <= sum; j++) {if (j - nums[i - 1] < 0) {// 背包容量不足,不能装入第 i 个物品dp[i][j] = dp[i - 1][j];} else {// 装入或不装入背包dp[i][j] = dp[i - 1][j] || dp[i - 1][j - nums[i - 1]];}}}return dp[n][sum];
}

完全背包问题: 

完全背包问题与0-1背包问题类似,但不同之处在于每个物品可以选择放入背包多次(数量无限),即每个物品的选择是一个无限的选择。我们给出对应的解题方法:

  • 🧐 步骤一:定义dp数组元素的含义:

若只使用前 i 个物品(可以重复使用),当背包容量为 j 时,能装入背包的最大价值为dp[i][w] 

  • 🧐步骤二:找出数组元素之间的关系式(也就是我们所熟知的状态转移方程)

1.不将第i个物品装入背包,此时:dp[ i ][ w ] = dp[ i - 1 ][ w ]

2.将第i个物品装入背包,此时:dp[ i ][ w ] = dp[ i ][ w -wt[ i - 1] ] + val[ i - 1 ] 

  • 🧐第三步骤:找出初始值(base case):

这题与0 - 1的bas背包的base case 一致,当物品个数为0或者背包当前容量为0时,dp[ i ][ w ] 都等于0

对应的动态规划代码为:

int fullBackpack(int W, int N, int[] wt, int[] val) {assert N == wt.length;// base case 已初始化,数组自动全部初始化为0int[][] dp = new int[N + 1][W + 1];for (int i = 1; i <= N; i++) {for (int w = 1; w <= W; w++) {if (w - wt[i - 1] < 0) {// 这种情况下只能选择不装入背包dp[i][w] = dp[i - 1][w];} else {// 装入或者不装入背包,择优dp[i][w] = Math.max(dp[i][w - wt[i-1]] + val[i-1], dp[i - 1][w]);}}}return dp[N][W];
}

完全背包类问题 零钱兑换II:

这是力扣第 518 题「零钱兑换 IIopen in new window」,题目描述:

给定不同面额的硬币 coins 和一个总金额 amount,写一个函数来计算可以凑成总金额的硬币组合数。假设每一种面额的硬币有无限个。对应函数签名如下:

我们可以把这个问题转化为完全背包问题的描述形式

有一个背包,最大容量为 amount,有一系列物品 coins,每个物品的重量为 coins[i]每个物品的数量无限。请问有多少种方法,能够把背包恰好装满?按照动态规划三步走:

  • 🧐 步骤一:定义dp数组元素的含义:

dp[i][j] 的定义如下:若只使用前 i 个物品(可以重复使用),当背包容量为 j 时,有 dp[i][j] 种方法可以装满背包。

  • 🧐步骤二:找出数组元素之间的关系式(也就是我们所熟知的状态转移方程)

1.如果你不把这第 i 个物品装入背包,也就是说你不使用 coins[i-1] 这个面值的硬币,那么凑出面额 j 的方法数 dp[i][j] 应该等于 dp[i-1][j],继承之前的结果

即状态转移方程为:dp[ i ][ j ] = dp[ i -1 ][ j ]

2.如果你把这第 i 个物品装入了背包,也就是说你使用 coins[i-1] 这个面值的硬币,那么 dp[i][j] 应该等于 dp[i][j-coins[i-1]]

即状态转移方程为:dp[ i ][ j ] = dp[ i ][ j - coins[ i - 1] ]

  • 🧐第三步骤:找出初始值(base case):

base case 为 dp[0][..] = 0, dp[..][0] = 1i = 0 代表不使用任何硬币面值,这种情况下显然无法凑出任何金额;j = 0 代表需要凑出的目标金额为 0,那么什么都不做就是唯一的一种凑法。

写出动态规划代码:

int change(int amount, int[] coins) {int n = coins.length;int[][] dp = int[n + 1][amount + 1];// base casefor (int i = 0; i <= n; i++) dp[i][0] = 1;for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = 1; j <= amount; j++)//装入背包或者不装入,加起来if (j - coins[i-1] >= 0)dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - coins[i-1]];else // < 0 只能选择不装入背包dp[i][j] = dp[i - 1][j];}return dp[n][amount];
}

结语: 写博客不仅仅是为了分享学习经历,同时这也有利于我巩固自己的知识点,总结该知识点,由于作者水平有限,对文章有任何问题的还请指出,接受大家的批评,让我改进。同时也希望读者们不吝啬你们的点赞+收藏+关注,你们的鼓励是我创作的最大动力!

本文来自互联网用户投稿,该文观点仅代表作者本人,不代表本站立场。本站仅提供信息存储空间服务,不拥有所有权,不承担相关法律责任。如若转载,请注明出处:http://www.mzph.cn/news/783545.shtml

如若内容造成侵权/违法违规/事实不符,请联系多彩编程网进行投诉反馈email:809451989@qq.com,一经查实,立即删除!

相关文章

日历插件fullcalendar【笔记】

日历插件fullcalendar【笔记】 前言版权开源推荐日历插件fullcalendar一、下载二、初次使用日历界面示例-添加事件&#xff0c;删除事件 三、汉化四、动态数据五、前后端交互1.环境搭建-前端搭建2.环境搭建-后端搭建3.代码编写-前端代码fullcalendar.htmlfullcalendar.js 4.代码…

【更新】在湘源7、8中使用2023年11月国空用地用海分类

之前为了做控规&#xff0c;从湘源8中扒了一套国空用地用海的绘图参数给湘源7使用。 【预告】在湘源控规7中使用 国空用地用海分类标准 但是部里在2023年11月又发布了一套新的用地用海分类。 本想去湘源8里面再扒一下&#xff0c;结果发现湘源8自己还没有更新呢&#xff0c;…

free pascal:字符串模糊匹配库 FuzzyWuzzy 的编译过程

访问&#xff1a;pypi.org 搜索 fuzzywuzzy 访问&#xff1a;fuzzywuzzy PyPI 用鼠标滚动网页到底部&#xff0c;可见&#xff1a;Free Pascal: FuzzyWuzzy.pas (Free Pascal port) 下载 FuzzyWuzzy.pas-master.zip 后解压到当前目录。 cd D:\lazarus\projects\FuzzyWuz…

redis学习-redis配置文件解读

目录 1.单位说明 2. include配置 3. network网络配置 3.1 bind绑定ip配置 3.2保护模式protected-mode配置 3.3端口号port配置​编辑 3.4超时断开连接timeout配置 4. general通用配置 4.1守护进程模式daemonize配置 4.2进程id存放文件pidfile配置 4.3日志级别loglevel配置 4.…

实时数仓建设实践——滴滴实时数据链路组件的选型

目录 前言 一、实时数据开发在公司内的主要业务场景 二、实时数据开发在公司内的通用方案 三、特定场景下的实时数据开发组件选型 3.1 实时指标监控场景 3.2 实时BI分析场景 3.3 实时数据在线服务场景 3.4 实时特征和标签系统 四、各组件资源使用原则 五、总结和展望…

探索GPU的魔力:让你的计算速度翻倍,体验视觉盛宴

你是否曾为电脑运行速度慢而感到苦恼&#xff1f;是否渴望在游戏中体验更加逼真、流畅的画面&#xff1f;是否希望在深度学习任务中节省大量时间&#xff1f;那么&#xff0c;不妨让我向你介绍一种神奇的计算力量——GPU&#xff08;图形处理单元&#xff09;&#xff01; 立即…

通过 Docker 搭建 BookStack

文章目录 环境说明1、官方网站2、通过 Docker 部署总结 环境说明 操作系统版本&#xff1a;CentOS Linux release 7.9.2009 (Core) Docker 版本&#xff1a;Docker Engine - Community 24.0.2 BookStack 版本&#xff1a;23.02.3 MySQL 版本&#xff1a;8.0.32 1、官方网站 G…

浅读 Natural Language Generation Model for Mammography Reports Simulation

浅读 Natural Language Generation Model for Mammography Reports Simulation 这是一篇报告生成 去伪 的文章&#xff0c;重点看生成报告的 真实性 Abstract Extending the size of labeled corpora of medical reports is a major step towards a successful training of …

手搓 Docker Image Creator(DIC)工具(02):预备知识

此节主要简单介绍一下 Docker、Dockerfile 的基本概念&#xff0c;Dockerfile 对的基本语法&#xff0c;Windows 和 macOS 下 Docker 桌面的安装&#xff0c;Docker 镜像的创建和运行测试等。 1 关于 Docker Docker 是一个开源的应用容器引擎&#xff0c;它允许开发者打包应用…

【Effective Web】文件上传

文章目录 前言一、选择本地文件1.设计一个上传文件按钮2.FileReader读取文件内容 二、使用拖拽方式1.设计一个拖拽容器2.拖拽文件的相关事件回调 三、使用粘贴方式1.设计一个粘贴容器2.paste事件回调 四、总结 前言 前端无法像app一样直接操作本地文件&#xff0c;对本地文件的…

在Python中,当你执行 print(2, 3) 时

目录 在Python中,当你执行 print(2, 3) 时 在Python中,当你执行 print(2, 3) 时 你实际上是在调用 print 函数并传递给它两个参数:整数 2 和整数 3。print 函数会打印出这些参数,并在它们之间添加一个空格作为默认的分隔符。因此,输出将会是: 复制代码 2 3如果你希望打…

MTMT:构建比特币生态平行世界 打造铭文生态繁荣

近年来&#xff0c;随着铭文市场的火爆以及比特币ETF成功通过&#xff0c;比特币生态正经历着一场复兴&#xff0c;尤其是铭文市场作为新一代Web3的叙事&#xff0c;带来了全新的生产方式&#xff0c;可以预见&#xff0c;铭文就像流动性挖矿对于上一轮DeFi Summer的推动一样会…

vue watch 深度监听

vue2文档&#xff1a;API — Vue.js vue3文档&#xff1a;侦听器 | Vue.js watch 可以用来监听页面中的数据&#xff0c;但如果监听的源是对象或数组&#xff0c;则使用深度监听&#xff0c;强制深度遍历源&#xff0c;以便在深度变更时触发回调。 一&#xff0c;监听 <t…

蓝桥杯算法题-正则问题

问题描述 考虑一种简单的正则表达式&#xff1a; 只由 x ( ) | 组成的正则表达式。 小明想求出这个正则表达式能接受的最长字符串的长度。 例如 ((xx|xxx)x|(x|xx))xx 能接受的最长字符串是&#xff1a; xxxxxx&#xff0c;长度是 6。 输入格式 一个由 x()| 组成的正则表达式。…

ViveNAS性能调试笔记(一)

ViveNAS是一个开源的NAS文件服务软件&#xff0c;有一套独立自创的架构&#xff0c;ViveNAS希望能做到下面的目标&#xff1a; - 能支持混合使用高性能的介质(NVMe SSD)和低性能介质&#xff08;HDD&#xff0c;甚至磁带&#xff09;。做到性能、成本动态均衡。因此ViveNAS使用…

解锁背包问题:C++实现指南

文章目录 解锁背包问题&#xff1a;C实现指南01背包问题问题形式化动态规划解法C代码示例 完全背包问题动态规划解法C代码示例 结论 解锁背包问题&#xff1a;C实现指南 背包问题是计算机科学中的经典优化问题&#xff0c;常出现在算法研究和编程面试中。它是组合优化的一个例…

python 进程、线程、协程基本使用

1、进程、线程以及协程【1】进程概念【2】线程的概念线程的生命周期进程与线程的区别 【3】协程(Coroutines) 2、多线程实现【1】threading模块【2】互斥锁【3】线程池【4】线程应用 3、多进程实现4、协程实现【1】yield与协程【2】asyncio模块【3】3.8版本【4】aiohttp 1. 并发…

网络基础(二)——序列化与反序列化

目录 1、应用层 2、再谈“协议” 3、网络版计算器 Socket.hpp TcpServer.hpp ServerCal.hpp ServerCal.cc Protocol.hpp ClientCal.cc Log.hpp Makefile 1、应用层 我们程序员写的一个个解决我们实际问题&#xff0c;满足我们日常需求的网络程序&#xff0c;都是在…

周报_第四十七周

周报_第四十七周 时间 2023.3.25——2023.3.31 科研进展 整理实验后发现在多次实验下triplet loss带来的平均提升无法与L1等传统抗过拟合方法拉开差距&#xff0c;之前的实验阶段triplet loss提升较大可能是由于实验次数不够出现的偶然现象。 目前在多尝试超参数组合并选择结…

AtCode DP专练A-P

链接&#xff1a;Educational DP Contest - AtCoder A - Frog 1 题意&#xff1a;有n个石头&#xff0c;从1石头出发&#xff0c;每次可以跳一格或者俩格&#xff0c;代价为俩个格子间的高度差 思路&#xff1a;对于第i个石头&#xff0c;可以从石头i-1和i-2得到&#xff0c…