带权并查集是在并查集的基础上加入数组来记录某些值，比如说当前家族的人数
原理也较简单，直接在合并时相加赋值就可以了，但是不要忘记初始化

例题一.合并家族

给定一个数n，代表总人数，一开始每个人自己是一家，给定另一个数m，代表操作总次数，每次操作可以有三种方式：

1、输入“C”和两个数，代表把这两个数合并到一个家族中
2、输入“Q1”和两个数，代表询问这两个数是否在同一家族中
3、输入“Q2”和一个数，代表询问这个数所在的家族的总人数

这个题需要在普通并查集的基础上加入一个数组 $di{s}_i$ 来记录家族的人的个数，初始化时需要把每一个家族的人数归一，合并时，家族的人数也要相加赋值

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int fa[100005],dis[100005],n,m;
int Find(int x){if(fa[x]==x){return x;}int xx=Find(fa[x]);return fa[x]=xx;
}
void Union(int x,int y){x=Find(x);y=Find(y);if(x!=y){fa[x]=y;dis[y]+=dis[x];}
}
void Init(){for(int i=1;i<=n;i++){dis[i]=1;fa[i]=i;}
}
int main(){scanf("%d%d",&n,&m);Init();for(int i=1;i<=m;i++){char s[5];scanf("%s",s);if(s[0]=='C'){int xx,yy;scanf("%d%d",&xx,&yy);Union(xx,yy);}else if(s[1]=='1'){int xx,yy;scanf("%d%d",&xx,&yy);if(Find(xx)==Find(yy)){printf("Yes\n");}else{printf("No\n");}}else{int xx;scanf("%d",&xx);printf("%d\n",dis[Find(xx)]);}}return 0;
}

例题二.信息传递

P2661 [NOIP2015 提高组] 信息传递
给定n个同学，每个同学都会告诉一个同学自己的信息，问进行几轮传递后这位同学能够收到自己的信息

每次传递都会耗费一轮，所以这里的dis是用来存储耗费的轮数，初始化为0，每次合并时把轮数加一，直到出现需合并的两数的祖先是同一人，这就说明出现环了，比较记录最小值

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int fa[1000005],dis[1000005],minn,n,t;int Find(int x){if(fa[x]==x){return x;}int root=Find(fa[x]);dis[x]+=dis[fa[x]];return fa[x]=root;
}
void Union(int x,int y){int xx=Find(x);int yy=Find(y);if(xx==yy){minn=min(minn,dis[x]+dis[y]+1);return ;}fa[xx]=yy;dis[x]=dis[y]+1;
}
void Init(){for(int i=0;i<=n;i++){fa[i]=i;dis[i]=0; }
}
int main(){scanf("%d",&n);Init();minn=0x3f3f3f3f;for(int i=1;i<=n;i++){scanf("%d",&t);Union(i,t);}printf("%d",minn);return 0;
}

例题三.堆箱子

给定n和m分别代表箱子的总个数和操作的次数

每次操作有两种：
1、输入“M”和两个数，代表把第一个数所在的那一堆箱子放到第二个数所在的那堆箱子的上面
2、输入“C”和一个数，代表询问那个数所代表的那个箱子的下面有多少个箱子

这道题不仅需要点权，还需要边权，点权记录箱子的个数，边权记录该箱子之下箱子的个数，在合并的过程中，将边权赋值给点权，边权相加

边权初始化为1，点权初始化为0

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int fa[1000005],dis[1000005],num[1000005],n,m;
int Find(int x){if(fa[x]==x){return x;}int root=Find(fa[x]);dis[x]+=dis[fa[x]];return fa[x]=root;
}
void Union(int x,int y){int xx=Find(x);int yy=Find(y);if(xx==yy){return ;}dis[xx]=num[yy];num[yy]+=num[xx];fa[xx]=yy;
}
void Init(){for(int i=0;i<=n;i++){fa[i]=i;num[i]=1;dis[i]=0; }
}
int main(){scanf("%d%d",&n,&m);Init();for(int i=1;i<=m;i++){char s[5];scanf("%s",s);if(s[0]=='M'){int x1,y1;scanf("%d%d",&x1,&y1);Union(x1,y1);}else{int x1;scanf("%d",&x1);int y1=Find(x1);printf("%d\n",dis[x1]);}}return 0;
}

种类并查集

种类并查集可以维护对立的关系，例如：敌人的敌人是朋友

例题四.食物链

P2024 [NOI2001] 食物链

输入n，k分别代表动物的总个数和话的个数
每句话有两种形式：
1、输入“1”和两个数，代表这两个数是同类
2、输入“2”和两个数，代表第一个动物吃第二个动物

要求判断给定的话里面有多少是假话

假话有那么几种情况：1、数字比n大 2、违背了之前所说的关系 3、自己吃自己

此题需要开一个3倍大小的 $fa$ ，一倍下标存本身，二倍下标存猎物，三倍下标存天敌
输入1时，二者本身、二者猎物、二者天敌都是同类，把他们合并起来
输入2时，X是Y的天敌，所以Y的天敌和X是同类，把X和2n+Y合并起来，X的猎物也应该和Y是同类，所以把X+n和Y合并起来，还有题目中强调的“食物链呈环形：A吃B，B吃C，C吃A”，所以X的天敌应是Y的猎物，把X+2n和Y+n合并在一块

每次操作前应该判断是否合规，如果不合规，ans++，continue，不正确的情况不操作

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int fa[300005],n,m,ans;
int Find(int x){if(fa[x]==x){return x;}return fa[x]=Find(fa[x]);
}
void Union(int x,int y){int xx=Find(x);int yy=Find(y);if(xx==yy){return ;}fa[xx]=yy;
}
void Init(){for(int i=1;i<=3*n;i++){fa[i]=i;}
}
int main(){scanf("%d%d",&n,&m);Init();for(int i=1;i<=m;i++){int tt;scanf("%d",&tt);int xx,yy;scanf("%d%d",&xx,&yy);if(tt==1){if(xx>n||yy>n||Find(xx+n)==Find(yy)||Find(xx+2*n)==Find(yy)){ans++;continue;}Union(xx,yy);Union(xx+n,yy+n);Union(xx+2*n,yy+2*n);}else{if(Find(xx)==Find(yy)||Find(xx+2*n)==Find(yy)||xx==yy||xx>n||yy>n){ans++;continue;}Union(xx,yy+2*n);Union(xx+n,yy);Union(xx+2*n,yy+n);}}printf("%d\n",ans);return 0;
}