本篇文章适合个人复习翻阅，不建议新手入门使用

等价量

定义：无穷小量、无穷大量
若 $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=0$，则称当 $x\to x_0$ 时，$f(x)$ 是无穷小量；若 $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=\infty$，则称当 $x\to x_0$ 时，$f(x)$ 是无穷大量

定义：无穷小量的比较
设 $f,g$ 都是 $x\to x_0$ 处的无穷小量且 $g(x)$ 在 $x_0$ 的去心邻域内不为 0

1. 若 $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=0$，则称 $f(x)$ 是比 $g(x)$ 高阶的无穷小，记作 $$f(x)=o(g(x)),x\to x_0$$
2. 若 $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}$ 为非零有限数，则称 $f(x)$ 是与 $g(x)$ 同阶的无穷小
3. 若 $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=1$ ，则称 $f(x)$ 是与 $g(x)$ 等价的无穷小，记作 $$f(x)\sim g(x)(x\to x_0)$$ 或 $$f(x)=g(x)+o(g(x))(x\to x_0)$$
4. 若 $\underset{x\to x_0}{\lim }\sup \frac{|f(x)|}{|g(x)|}$ 为有限数，则称 $\frac{f(x)}{g(x)}$ 是有界量，记为 $$f(x)=O(g(x)),x\to x_0$$

定义：无穷大量的比较
设 $f,g$ 都是 $x\to x_0$ 处的无穷大量且 $g(x)$ 在 $x_0$ 的去心邻域内不为 0

1. 若 $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\infty$，则称 $f(x)$ 是比 $g(x)$ 高阶的无穷大
2. 若 $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}$ 为非零有限数，则称 $f(x)$ 是与 $g(x)$ 同阶的无穷大
3. 若 $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=1$ ，则称 $f(x)$ 是与 $g(x)$ 等价的无穷大，记作 $$f(x)\sim g(x)(x\to x_0)$$
4. 若 $\underset{x\to x_0}{\lim }\sup \frac{|f(x)|}{|g(x)|}$ 为有限数，则称 $\frac{f(x)}{g(x)}$ 是有界量，记为 $$f(x)=O(g(x)),x\to x_0$$

注：无穷小（大）量的比较一般是让我们了解不同函数趋于0或趋于无穷大的速度快慢

例子
求证：$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x^k}{a^x}=0(a>1,k\in {\mathbb{N}}^{+})$$ 这说明指数函数在无穷远处是比幂函数高阶的无穷大量

证明思路（二项式定理）
由于 $$0<\frac{x^k}{a^x}<\frac{([x]+1{)}^k}{a^{[x]}}$$故只需证 $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n+1}{(\sqrt[k]{a}{)}^n}=0$，注意到
$$\begin{array}{rl}\frac{n+1}{(\sqrt[k]{a}{)}^n}& <\frac{2n}{1+n(\sqrt[k]{a}-1)+\frac{n(n-1)}{2}(\sqrt[k]{a}-1{)}^2+\cdots }\end{array}$$其余容易

定义：等价量
等价无穷大量或等价无穷小量统称为等价量，等价量在极限运算中可以互相替换

命题：常用等价量

1. $\ln (x+1)\sim x\sim e^x-1\sim \tan x\sim \sin x\sim \arctan x(x\to 0)$
2. $(1+x{)}^a\sim 1+ax(x\to 0)$
3. $\sqrt{x+\sqrt{x}}\sim \sqrt{x}(x\to \infty )$
4. $\sqrt{x+\sqrt{x}}\sim x^{\frac{1}{4}}(x\to 0^{+})$

参考书：

• 《数学分析》陈纪修 於崇华 金路
• 《数学分析之课程讲义》清华大学数学系及丘成桐数学中心
• 《数学分析习题课讲义》谢惠民 恽自求 易法槐 钱定边 著