算法---二分算法

一：二分法算法分析
1、二分查找算法定义
二分查找又称折半查找，它是一种效率较高的查找方法。

二分查找要求：线性表是有序表，即表中结点按关键字有序，并且要用向量作为表的存储结构。

2、基本思想
（1）首先确定该区间的中点位置

（2）将待查的K值与R[mid]比较：若相等，则查找成功并返回此位置，否则须确定新的查找区间，继续二分查找

（3） ① 若R[mid].key>K，将查找区间变为**[left,mid-1]**

②若R[mid].key<K，将查找区间变为**[mid+1,right]**

3、优缺点
③ 二分查找的优点

折半查找的时间复杂度为O(logn)，远远好于顺序查找的O(n)。

④ 二分查找的缺点

虽然二分查找的效率高，但是要将表按关键字排序。而排序本身是一种很费时的运算。既使采用高效率的排序方法也要花费O(nlgn)的时间。

4、二分查找常用场景
寻找一个数、寻找左侧边界、寻找右侧边界。

细节：

while循环中的不等号是否应该带等号，mid 是否应该加一等等。

5、二分查找常用框架
int binarySearch(int[] nums, int target) {
int left = 0, right = …;

while(...) {int mid = left + (right - left) / 2;if (nums[mid] == target) {...} else if (nums[mid] < target) {left = ...} else if (nums[mid] > target) {right = ...}
}
return ...;

}

分析二分查找的一个技巧是：不要出现 else，而是把所有情况用 else if 写清楚，这样可以清楚地展现所有细节

计算 mid 时需要技巧防止溢出，建议写成: mid = left + (right - left) / 2

二.基本寻找与左右边界
1.寻找一个数（最基本）
搜索一个数，如果存在，返回其索引，否则返回 -1。

int binarySearch(int[] nums, int target) {
int left = 0;
int right = nums.length - 1; // 注意

while(left <= right) { // 注意int mid = (right + left) / 2;if(nums[mid] == target)return mid; else if (nums[mid] < target)left = mid + 1; // 注意else if (nums[mid] > target)right = mid - 1; // 注意}
return -1;

}
注意点（细节）分析

为什么 while 循环的条件中是 <=，而不是 < ？

答：因为初始化 right 的赋值是 nums.length - 1，即最后一个元素的索引，而不是 nums.length。

这二者可能出现在不同功能的二分查找中，区别是：前者相当于两端都闭区间 [left, right]，后者相当于左闭右开区间 [left, right)，因为索引大小为 nums.length 是越界的。

我们这个算法中使用的是 [left, right] 两端都闭的区间。这个区间就是每次进行搜索的区间，我们不妨称为「搜索区间」(earch space)。

什么时候应该停止搜索呢？当然，找到了目标值的时候可以终止：

if(nums[mid] == target)return mid;

但如果没找到，就需要 while 循环终止，然后返回 -1。那 while 循环什么时候应该终止？搜索区间为空的时候应该终止，意味着你没得找了，就等于没找到嘛。

while(left <= right)的终止条件是 left == right + 1，写成区间的形式就是 [right + 1, right]，或者带个具体的数字进去 [3, 2]，可见这时候搜索区间为空，因为没有数字既大于等于 3 又小于等于 2 的吧。所以这时候 while 循环终止是正确的，直接返回 -1 即可。

while(left < right)的终止条件是 left == right，写成区间的形式就是 [right, right]，或者带个具体的数字进去 [2, 2]，这时候搜索区间非空，还有一个数 2，但此时 while 循环终止了。也就是说这区间 [2, 2] 被漏掉了，索引 2 没有被搜索，如果这时候直接返回 -1 就可能出现错误。

当然，如果你非要用 while(left < right) 也可以，我们已经知道了出错的原因，就打个补丁好了：

//…
while(left < right) {
// …
}
return nums[left] == target ? left : -1;

为什么 left = mid + 1，right = mid - 1？我看有的代码是 right = mid 或者 left = mid，没有这些加加减减，到底怎么回事，怎么判断？

答：刚才明确了「搜索区间」这个概念，而且本算法的搜索区间是两端都闭的，即 [left, right]。那么当我们发现索引 mid 不是要找的 target 时，如何确定下一步的搜索区间呢？

当然是去搜索 [left, mid - 1] 或者 [mid + 1, right] 对不对？因为 mid 已经搜索过，应该从搜索区间中去除。

此算法有什么缺陷？

答：至此，你应该已经掌握了该算法的所有细节，以及这样处理的原因。但是，这个算法存在局限性。

比如说给你有序数组 nums = [1,2,2,2,3]，target = 2，此算法返回的索引是 2，没错。但是如果我想得到 target 的左侧边界，即索引 1，或者我想得到 target 的右侧边界，即索引 3，这样的话此算法是无法处理的。

这样的需求很常见。你也许会说，找到一个 target 索引，然后向左或向右线性搜索不行吗？可以，但是不好，因为这样难以保证二分查找对数级的时间复杂度了。

我们后续的算法就来讨论这两种二分查找的算法。

2、寻找左侧边界的二分搜索
int left_bound(int[] nums, int target) {
if (nums.length == 0) return -1;
int left = 0;
int right = nums.length; // 注意

while (left < right) { // 注意int mid = (left + right) / 2;if (nums[mid] == target) {right = mid;} else if (nums[mid] < target) {left = mid + 1;} else if (nums[mid] > target) {right = mid; // 注意}
}
return left;

}

注意点（细节）分析