【LetMeFly】1997.访问完所有房间的第一天：动态规划(DP)——4行主要代码(不需要什么前缀和)

力扣题目链接：https://leetcode.cn/problems/first-day-where-you-have-been-in-all-the-rooms/

你需要访问 n 个房间，房间从 0 到 n - 1 编号。同时，每一天都有一个日期编号，从 0 开始，依天数递增。你每天都会访问一个房间。

最开始的第 0 天，你访问 0 号房间。给你一个长度为 n 且 下标从 0 开始 的数组 nextVisit 。在接下来的几天中，你访问房间的 次序 将根据下面的 规则 决定：

• 假设某一天，你访问 i 号房间。
• 如果算上本次访问，访问 i 号房间的次数为 奇数 ，那么 第二天 需要访问 nextVisit[i] 所指定的房间，其中 0 <= nextVisit[i] <= i 。
• 如果算上本次访问，访问 i 号房间的次数为 偶数 ，那么 第二天 需要访问 (i + 1) mod n 号房间。

请返回你访问完所有房间的第一天的日期编号。题目数据保证总是存在这样的一天。由于答案可能很大，返回对 109 + 7 取余后的结果。

 

示例 1：

输入：nextVisit = [0,0]
输出：2
解释：
- 第 0 天，你访问房间 0 。访问 0 号房间的总次数为 1 ，次数为奇数。下一天你需要访问房间的编号是 nextVisit[0] = 0
- 第 1 天，你访问房间 0 。访问 0 号房间的总次数为 2 ，次数为偶数。下一天你需要访问房间的编号是 (0 + 1) mod 2 = 1
- 第 2 天，你访问房间 1 。这是你第一次完成访问所有房间的那天。

示例 2：

输入：nextVisit = [0,0,2]
输出：6
解释：
你每天访问房间的次序是 [0,0,1,0,0,1,2,...] 。
第 6 天是你访问完所有房间的第一天。

示例 3：

输入：nextVisit = [0,1,2,0]
输出：6
解释：
你每天访问房间的次序是 [0,0,1,1,2,2,3,...] 。
第 6 天是你访问完所有房间的第一天。

 

提示：

• n == nextVisit.length
• 2 <= n <= 105
• 0 <= nextVisit[i] <= i

解题方法：动态规划(DP)

题目中明确说明了0 <= nextVisit[i] <= i，也就是说每个房间第一次访问都会“往前回退”到nextVisit[i]而不会访问新的房间，而第二次访问则会访问到“相邻的下一个房间”。

因此我们可以使用一个firstVisit数组，其中firstVisit[i]代表房间i第一次被访问时的天数。

那么，由房间i访问到房间i + 1需要多久呢？

• 首先需要花费一天访问到nextVisit[i]这个房间（记为j）
• 接着需要花费firstVisit[i] - firstVisit[j]天再一次地由j访问到i
• 最后再花费一天由i访问到i + 1

因此首次访问到房间i + 1的天数为firstVisit[i] + 1 + (firstVisit[i] - firstVisit[j]) + 1 = 2 * firstVisit[i] - firstVisit[j] + 2。

从房间1开始往后遍历到最后一间房间，则firstVisit.back()记为答案。

时空复杂度

• 时间复杂度$O(len(nextVisit))$
• 空间复杂度$O(len(nextVisit))$。其实不难发现nextVisit数组中每个值只会用到一次，因此若将firstVisit保存在nextVisit数组中则可以以$O(1)$的空间复杂度实现。

AC代码

C++

typedef long long ll;
const ll MOD = 1e9 + 7;
class Solution {
public:int firstDayBeenInAllRooms(vector<int>& nextVisit) {vector<ll> firstVisit(nextVisit.size());for (int i = 1; i < nextVisit.size(); i++) {firstVisit[i] = (firstVisit[i - 1] * 2 - firstVisit[nextVisit[i - 1]] + 2 + MOD) % MOD;  // 记得先加个MOD再对MOD取模，否则可能是负结果。}return firstVisit.back();}
};

Python

from typing import Listclass Solution:def firstDayBeenInAllRooms(self, nextVisit: List[int]) -> int:firstVisit = [0] * len(nextVisit)for i in range(1, len(nextVisit)):firstVisit[i] = (firstVisit[i - 1] * 2 - firstVisit[nextVisit[i - 1]] + 2 + 1_000_000_007) % 1_000_000_007return firstVisit[-1]

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