- 傅里叶：可以知道信号中的成分，但对非平稳过程，不能看出各成分出现的时刻
- 短时傅里叶变换-：加固定窗的傅里叶变换，无法满足非稳态信号变化的频率的需求
- 小波变换：时域能量有限，频域带通滤波
一、傅里叶变换
1.1原理
举例：
下图为平稳信号进行傅里叶变换得到频谱图的四个频域成分，分别是10Hz, 25 Hz, 50 Hz, 100 Hz。
傅里叶变换为什么能得到信号各个频率成分？
傅里叶变换把无限长的三角函数作为基函数：这个基函数会伸缩、会平移（其实本质并非平移，而是两个正交基的分解）。缩得窄，对应高频；伸得宽，对应低频。
然后，这个基函数不断和信号做相乘。某一个尺度（宽窄）下乘出来的结果，代表的是信号所包含的当前尺度对应频率成分的多少。
这一步其实是在计算信号和三角函数的相关性。基函数会在某些尺度下，与信号相乘得到的值越大（相关度高），代表信号包含的这两个频率成分较多，在频谱上这两个频率会出现两个峰。
1.2 缺陷
对平稳信号以及频率随着时间变化的非平稳信号分别做FFT（快速傅里叶变换）如下图所示：
我们发现这三个在时域上有巨大差异的信号，频谱（幅值谱）却非常一致。我们可以在频谱上看到清晰的四条线，代表包含的四个频率成分是一样的，只是出现的先后顺序不同。
可见，傅里叶变换处理非平稳信号有天生缺陷，只能获取一段信号总体上包含哪些频率的成分，但是对各成分出现的时刻并无所知。
二、短时傅里叶变换（Short-time Fourier Transform, STFT）
2.1 概念
平稳信号大多是人为制造出来的，自然界的大量信号几乎都是非平稳的。对于这样的非平稳信号，只知道包含哪些频率成分是不够的，这还需要进行时频分析，了解各个成分出现的时间，信号频率随时间变化的情况，各个时刻的瞬时频率及其幅值。一个简单可行的方法就是——加窗。
简单来讲，短时傅里叶变换是把整个时域过程分解成无数个等长近似平稳的小段，再对每一个小段进行FFT（傅里叶变换），以此确定频率成分随着时间的变化情况。
将下图显示的非平稳信号做短时傅里叶变换，得到一个信号的时频图。时频分析结果如下图所示：既能看到10Hz, 25 Hz, 50 Hz, 100 Hz四个频域成分，还能看到出现的时间。（两排峰对称，只看一排即可）
STFT变换后的时频图：
2.2 缺陷
使用STFT时，应该用多宽的窗函数？
对于时变的非稳态信号，高频适合小窗口，低频适合大窗口。
然而，STFT的窗口是固定的，在一次STFT中宽度不会变化。
窗太窄，窗内的信号太短，会导致频率分析不够精准，频率分辨率差；
窗太宽，时域上又不够精细，时间分辨率低。
所以，STFT还是无法满足非稳态信号变化的频率的需求。
这是一对不可兼得的矛盾体。绝对意义的瞬时频率是不存在的，我们只能知道一个时间段内某个频带的分量存在 。
举例说明：
对同一个信号（4个频率成分）采用不同宽度的窗做STFT，结果如右图。
窄窗口时间分辨率高、频率分辨率低，
宽窗口时间分辨率低、频率分辨率高。
用窄窗，时频图在时间轴上分辨率很高，几个峰基本成矩形；
用宽窗，时频图在时间轴上变成了一座座小山。
但是，在频率轴上窄窗（1）明显不如下边（2）（3）两个宽窗精确；
（1）窄窗做STFT，结果如右图：
（2）宽窗做STFT，结果如右图：
（3）宽窗做STFT，结果如右图：
三、小波变换
傅里叶变换|短时傅里叶变换| 小波变换 |的区别：
| 区别 | 傅里叶变换 | 短时傅里叶变换 | 小波变换 |
|---|---|---|---|
| 基函数 | 无限长的三角函数基 | 无限长的三角函数基 | 有限长的会衰减的小波基 |
| 图 | 频谱，能够获取频率 | 频谱，能够获取频率 | 时频谱，能够获取频率并定位到时间 |
| 变量 | 一个，频率ω | 一个，频率ω | 2个，尺度a（scale）、平移量 τ（translation） |
| 窗口 | - | 加固定窗口 | - |
误区：STFT是是给信号加窗，分段做FFT；小波变换并没有采用窗的思想，没有做傅里叶变换。不能认为小波变换就是加不等长的窗，让窗口大小变起来，对每一小部分进行傅里叶变换。
为什么叫“小波”，因为是很小的一个波~
从公式看小波变换的变量有尺度a（scale）和平移量 τ（translation）两个。尺度a控制小波函数的伸缩，平移量 τ控制小波函数的平移。尺度就对应于频率（反比），平移量 τ就对应于时间。
当伸缩、平移到这么一种重合情况时，也会相乘得到一个大的值。和傅里叶变换不同的是，这时候不仅可以知道信号有这样频率的成分，而且知道它在时域上存在的具体位置。而当我们在每个尺度下都平移着和信号乘过一遍后，我们就知道信号在每个位置都包含哪些频率成分。
另外，对于突变信号，傅里叶变换存在吉布斯效应，我们用无限长的三角函数怎么也拟合不好突变信号：
衰减的小波：
图链接：THE WAVELET TUTORIAL （下载：THE WAVELET TUTORIAL）
参考原文链接：https://ww.zhihu.com/question/22864189/answer/40772083
