【408直通车】（考研数一、二、三合集）高等数学公式全覆盖（上）

数学集合定义总结：

自然数集（ $\mathbb{N}$ ）：包括0、1、2、3等正整数，即 $\{0, 1, 2, \ldots\}$ 。
整数集（ $\mathbb{Z}$ ）：包括负整数、0和正整数，即 $\{\ldots, -1, 0, 1, \ldots\}$ 。
非零自然数集（ $\mathbb{N^*}$ 或 $\mathbb{N+}$ ）：也称为正整数集，包括1、2、3等正整数，即 $\{1, 2, 3, \ldots\}$ 。
有理数集（ $\mathbb{Q}$ ）：包括所有可以表示为两个整数之比的数，形如 $\frac{a}{b}$ ，其中 $a$ 和 $b$ 是整数且 $\neq 0$ 。
无理数集（ $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ ）：包括不能被有理数表示的实数，如 $\sqrt{2}$ 、 $\pi$ 等。
实数集（ $\mathbb{R}$ ）：包括所有有理数和无理数。
复数集（ $\mathbb{C}$ ）：包括实部和虚部均为实数的数，形如 $a + bi$ ，其中 $a$ 和 $b$ 是实数，且 $i$ 是虚数单位。
函数集合（ $N^N$ ）：包含所有从自然数到自然数的可能函数，表示为 $\{f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}\}$ 。

代数

$x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)$
$\frac{1}{2} + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2 = \frac{1}{6}n(n + 1)(2n + 1)$
$a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2)$
$a^n - b^n = (a - b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 + \cdots + ab^{n-2} + b^{n-1})$

排列组合

排列公式
- $A_m^n = n(n - 1)\cdots(n - m + 1) = \frac{n!}{(n - m)!}$
  (其中 $\in \mathbb{N^*}$ 且 $\leq n$ )
组合公式
- $C_m^n = \binom{n}{m} = \frac{A_m^n}{m!} = \frac{n(n - 1)\cdots(n - m + 1)}{m!} = \frac{n!}{m!(n - m)!}$
  (其中 $\in \mathbb{N^N}, m \in \mathbb{N}$ 且 $\leq n$ )
组合公式性质
- $C_m^n + C_{m-1}^n = C_{m}^{n+1}$

等差等比求和

前 n 项和公式（等差数列）：
- $S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} = na_1 + \frac{n(n - 1)}{2}d=\frac{d}{2}n^2 + (a_1 - \frac{1}{2}d)n$
前 n 项和公式（等比数列）：
- $S_n = \begin{cases} \frac{a_1(1-q^n)}{1-q}, & q \neq 1 \\ na_1, & q = 1 \end{cases}$

定积分

$\int_a^b f(x)dx = \lim\limits_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i)\Delta x_i$

三角函数

和角与差角公式

$\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha \cos\beta \pm \cos\alpha \sin\beta$
$\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha \cos\beta \mp \sin\alpha \sin\beta$
$\tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan\alpha \pm \tan\beta}{1 \mp \tan\alpha \tan\beta}$
$\sin(\alpha + \beta) \sin(\alpha - \beta) = \sin^2 \alpha - \sin^2 \beta$ (平方正弦公式)
$\cos(\alpha + \beta) \cos(\alpha - \beta) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \beta$
$\sin \alpha + b \cos \alpha = \sqrt{a^2 + b^2} \sin(\alpha + \phi)$ (辅助角 $\phi$ 所在象限由点 $(a, b)$ 的象限决定， $\tan \phi = \frac{b}{a}$ )

倍角公式

$\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$
$\cos(2\alpha) = 2\cos^2(\alpha) - 1 = 1 - 2\sin^2(\alpha) = \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha)$
$\tan(2\alpha) = \frac{2\tan(\alpha)}{1 - \tan^2(\alpha)}$

半角公式

$\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{2}}$
$\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{2}}$
$\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{1 + \cos \alpha}} = \frac{1 - \cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha}$

和差化积与积化和差

口诀:
正加正，正在前，余加余，余并肩，
正减正，余在前，余减余，负正弦.

1. 和差化积：

$\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)$
$\sin\alpha - \sin\beta = 2\cos\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)\sin\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)$
$\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)$
$\cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)\sin\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)$
$\tan A + \tan B = \frac{\sin(A+B)}{\cos A \cos B} = \tan(A+B)(1-\tan A \tan B)$
$\tan A - \tan B = \frac{\sin(A-B)}{\cos A \cos B} = \tan(A-B)(1+\tan A \tan B)$

2. 积化和差公式：

$\cos a \sin \beta = \frac{1}{2} [\sin(a + \beta) - \sin(a - \beta)]$
$\sin a \cos \beta = \frac{1}{2} [\sin (a + \beta) + \sin(a - \beta)]$
$\cos a \cos \beta = \frac{1}{2} [\cos(a + \beta) + \cos(a - \beta)]$
$\sin a \sin \beta = -\frac{1}{2} [\cos(a + \beta) - \cos(a - \beta)]$

三角和

$\sin(\alpha + \beta + \gamma) = \sin\alpha \cdot \cos\beta \cdot \cos\gamma + \cos\alpha \cdot \sin\beta \cdot \cos\gamma + \cos\alpha \cdot \cos\beta \cdot \sin\gamma - \sin\alpha \cdot \sin\beta \cdot \sin\gamma$
$\cos(\alpha + \beta + \gamma) = \cos\alpha \cdot \cos\beta \cdot \cos\gamma - \cos\alpha \cdot \sin\beta \cdot \sin\gamma - \sin\alpha \cdot \cos\beta \cdot \sin\gamma - \sin\alpha \cdot \sin\beta \cdot \cos\gamma$
$\tan(\alpha + \beta + \gamma) = \dfrac{\tan\alpha + \tan\beta + \tan\gamma - \tan\alpha \cdot \tan\beta \cdot \tan\gamma}{1 - \tan\alpha \cdot \tan\beta - \tan\beta \cdot \tan\gamma - \tan\gamma \cdot \tan\alpha}$

诱导公式：

$\sin(-\alpha) = -\sin\alpha$
$\cos(-\alpha) = \cos\alpha$
$\tan(-\alpha) = -\tan\alpha$
$\sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right) = \cos\alpha$
$\cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right) = \sin\alpha$
$\sin\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right) = \cos\alpha$
$\cos\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right) = -\sin\alpha$
$\sin(\pi-\alpha) = \sin\alpha$
$\cos(\pi-\alpha) = -\cos\alpha$
$\sin(\pi+\alpha) = -\sin\alpha$
$\cos(\pi+\alpha) = -\cos\alpha$

不等式：

$\geq 2\sqrt{ab}, a > 0, b > 0$
$\leq \frac{(a+b)^2}{4}$
$\leq a \leq |a|$
$\leq |a \pm b| \leq |a| + |b|$
$\leq a, [a]$ 表示对 $a$ 取整，即不超过 $a$ 的最大整数
对于 $\sin x$ ；对于 $\sin x$
$\arctan x < \sin x < x < \arcsin x < \tan x$ ，其中 $\frac{\pi}{2}$
对于 $\ln(1 + x)$
$e^x - 1 \geq x, x \in \mathbb{R}$

函数关系和微分公式：

$\sin(ax + b) ]^{(n)} = a^n \sin(ax + b+ \frac{n\pi}{2})$
$\cos(ax + b) ]^{(n)} = a^n \cos(ax + b+\frac{n\pi}{2})$
$\ln(ax + b) ]^{(n)} = \frac{(-1)^{n-1}(n-1)!a^n}{(ax+b)^n}$
$b)^{a} ](n) = \begin{cases} \alpha(\alpha - 1) \cdots (\alpha - n + 1)(ax + b)^{a-n} a^n, & n < \alpha \\ n! , & n = \alpha \\ 0 , & n > \alpha \end{cases}$
Gamma 函数:
- $\Gamma(z) = \int_{0}^{\infty} e^{-t} t^{z-1} dt$
- $\Gamma(z + 1) = z\Gamma(z)$
- $\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi}$
微分公式:
- $(c)^{'} = 0$
- $x^{\alpha}$ ( $\alpha$ 为实数), $\alpha x^{\alpha-1}$
- $a^x)' = a^x \ln a$ , $(e^x)' = e^x (\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$
- $(\ln |x|)' = \frac{1}{x}$ ,
- $(\sin x)' = \cos x$ , $(\cos x)' = -\sin x$
- $tan x)' = \sec^2 x$ , $cot x)' = -\csc^2 x$
- $(\sec x)' = \sec x \tan x$ , $(\csc x)' = -\csc x \cot x$
- $(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ , $(\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
- $(\arctan x)' = \frac{1}{1+x^2}$ , $(\text{arccot } x)' = -\frac{1}{1+x^2}$
- $(uv)^{(n)} = \sum_{\lambda=0}^{n} C_{n}^{k} u^{(k)} v^{(n-k)}$
- $a^x)^{(n)} = a^x \ln^n a$ ( $a > 0$ )
- $e^x)^{(n)} = e^x$
- $(\sin kx)^{(n)} = k^n \sin\left(kx + n\cdot\frac{\pi}{2}\right)$
- $(\cos kx)^{(n)} = k^n \cos\left(kx + n\cdot \frac{\pi}{2}\right)$
- $(x^m)^{(n)} = m(m-1) \cdots (m-n+1) x^{m-n}$
- $(\ln x)^{(n)} = (-1)^{n-1} \frac{(n-1)! }{x^n}$
- $\left(\frac{1}{1+x}\right)^{(n)} = (-1)^n \cdot n! \cdot (x+1)^{-(n+1)}$
- $\left(\frac{1}{ax+b}\right)^{(n)} = (-1)^n \cdot n! \cdot(ax + b)^{-(n+1)} \cdot a^n$
- $\ln'(x+\sqrt{1 + x^2}) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$
- $\ln'(\sec x + \tan x) = \frac{1}{\cos x}$

积分公式：

$\int x^k \, dx = \frac{1}{k+1}x^{k+1} + C\quad (k \neq -1)$
$\int \frac{1}{x^2} \, dx = -\frac{1}{x} + C$
$\int \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx = 2\sqrt{x} + C$
$\int \frac{1}{x} \, dx = \ln |x| + C$
$\int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C \quad (a > 0, a \neq 1)$
$\int e^x \, dx = e^x + C$

三角
- $\int \cos x \, dx = \sin x + C$
- $\int \sin x \, dx = -\cos x + C$
- $\int \frac{1}{\cos^2 x} \, dx = \int \sec^2 x \, dx = \tan x + C$
- $\int \frac{1}{\sin^2 x} \, dx = \int \csc^2 x \, dx = -\cot x + C$
- $\int \sec x \tan x \, dx = \sec x + C$
- $\int \csc x \cot x \, dx = -\csc x + C$
arc
- $\int \frac{dx}{a^2+x^2} = \frac{1}{a}\arctan\left(\frac{x}{a}\right) + C$
  - $\int \frac{dx}{1+x^2} = \arctan x + C$
- $\int \frac{dx}{\sqrt{{a^2-x^2}}} = \arcsin\left(\frac{x}{a}\right) + C$
- $\int \frac{dx}{\sqrt{{1-x^2}}} = \arcsin x + C$
ln
- $\int \frac{dx}{x^2-a^2} = \frac{1}{2a}\ln \left|\frac{a-x}{a+x}\right| + C$
- $\int \frac{dx}{a^2-x^2} = \frac{1}{2a}\ln \left|\frac{a+x}{a-x}\right| + C$
  - $\int \frac{dx}{1-x^2} = \frac{1}{2}\ln\left| \frac{1+x}{1-x} \right| + C$
- $\int \frac{dx}{\sqrt{{x^2 + a^2}}} = \ln ( x + \sqrt{x^2+ a^2} ) + C$
- $\int \frac{dx}{\sqrt{{x^2 - a^2}}} = \ln | x + \sqrt{x^2 - a^2} | + C \quad (|x| > |a|)$
- $\int \tan x \, dx = -\ln |\cos x| + C$
- $\int \sec x \, dx = \int \frac{1}{\cos x} \, dx = \ln |\tan{x} + \sec{x}| + C$
- $\int \cot x \, dx = \ln |\sin x| + C$
- $\int \csc x \, dx = \int \frac{1}{\sin x} \, dx = \ln |\csc{x} - \cot{x}| + C= \ln |\tan\frac{x}{2}| + C$

常见凑微分：

$\int f(ax + b) \, dx = \frac{1}{a} \int f(ax + b) \, d(ax + b)$ (其中 $\neq 0$ )
$\int f(ax^n + b) x^{n-1} \, dx = \frac{1}{na} \int f(ax^n + b) \, d(ax^n + b)$ (其中 $\neq 0$ )
$\int f(e^x) e^x \, dx = \int f(e^x) \, de^x$
$\int \frac{f\left(\frac{1}{x}\right)}{x^2} \, dx = - \int f\left(\frac{1}{x}\right) \, d\left(\frac{1}{x}\right)$
$\int \frac{f(\ln x)}{x} \, dx = \int f(\ln x) \, d(\ln x)$
$\int \frac{f(\sqrt{x}) }{\sqrt{x}}\, dx = 2 \int f(\sqrt{x}) \, d(\sqrt{x})$
$\int f(\sin x) \cos x \, dx = \int f(\sin x) \, d(\sin x)$
$\int f(\cos x) \sin x \, dx = -\int f(\cos x) \, d(\cos x)$
$\int f(\tan x) \sec^2 x \, dx = \int f(\tan x) \, d(\tan x)$
$\int f(\cot x) \csc^2 x \, dx = -\int f(\cot x) \, d(\cot x)$
$\int \frac{f(\arcsin \sqrt{x}) }{\sqrt{1-x^2}} \, dx = \int f(\arcsin x) \, d(\arcsin x)$
$\int \frac{f(\arctan x)}{1+x^2} \, dx = \int f(\arctan x) \, d(\arctan x)$

常见换元：

$\int \sqrt{a^2 - x^2} \, dx$ ，令 $\sin t$ ，则 $\cos t \, dt$
$\int \sqrt{a^2 + x^2} \, dx$ ，令 $\tan t$ ，则 $dx = a \sec^2 t \, dt$
$\int \sqrt{x^2 - a^2} \, dx$ ，令 $\sec t$ ，则 $\sec t \tan t \, dt$

等价无穷小：

$\sin x \sim x$
$\arcsin x \sim x$
$\tan x \sim x$
$\arctan x \sim x$
$\ln(1 + x) \sim x$
$e^x - 1 \sim x$
其他相似的等价无穷小关系

常见极限：

$\lim\limits_{x \to 0} x^\alpha \ln^\beta x = 0$ ，其中 $\alpha > 0, \beta$ 为任意常数
$\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{x^a} {e^{\beta x} }= 0$ ，其中 $\alpha$ 为任意常数， $\beta > 0$
$\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{\ln^\beta x}{x^\alpha} = 0$ ，其中 $\alpha > 0, \beta$ 为任意常数
$\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1$
$\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{a} = 1$ (a>0)
$\lim\limits_{x \to 0^+} x^x = 1$

泰勒公式：

$f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \frac{1}{2!}f''(x_0)(x - x_0)^2 + \ldots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n + R_n(x)$

其中
$R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x - x_0)^{n+1}$

麦克劳林展开：

$e^x = 1 + x + \frac{1}{2!}x^2 + \ldots + \frac{1}{n!}x^n + o(x^n)$

$\ln(1 + x) = x - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3 - \ldots + (-1)^{n-1}\frac{x^n}{n} + o(x^n)$

$\sin x = x - \frac{1}{3!}x^3 + \ldots + (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + o(x^{2n+1})$

$\cos x = 1 - \frac{1}{2!}x^2 + \ldots + (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} + o(x^{2n})$

$\tan x = x + \frac{1}{3}x^3 + o(x^3)$

$\arcsin x = x + \frac{1}{6}x^3 + o(x^3)$

$\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + \ldots + x^n + o(x^n)$

$\frac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 + \ldots + (-1)^n x^n + o(x^n)$

$x)^m = 1 + mx + \frac{m(m-1)}{2!}x^2 + \ldots + \frac{m(m-1)\cdots(m-n+1)}{n!}x^n + o(x^n)$

间断点：

可去间断点: $\lim\limits_{x \to x_0} f(x)$ 存在但不等于 $f(x_0)$ 或 $\lim\limits_{x \to x_0} f(x)$ 存在，但 $f (x)$ 在 $x_0$ 处无定义。
跳跃间断点: $\lim\limits_{x \to x_0^+} f(x)$ , $\lim\limits_{x \to x_0^-} f(x)$ 存在且不相等。
无穷间断点: $\lim\limits_{x \to x_0^+} f(x) = \infty$ 或 $\lim\limits_{x \to x_0^-} f(x) = \infty$ 。
震荡间断点: $\to x_0$ , $f (x)$ 在某区间内有无限多次变动。

渐近线：

水平渐近线: $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = a$ 或 $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = a$ 。
铅直渐近线: 若 $\lim\limits_{x \to x_0^-} f(x) = \infty$ 或 $\lim\limits_{x \to x_0^+} f(x) = \infty$ 。
斜渐近线: $\lim\limits_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}$ , $\lim\limits_{x \to \infty} [f(x) - kx]$ 。

微分中值定理：

费马定理：即极大极小值定义。
泰勒公式： $(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \frac{1}{2!}f''(x_0)(x - x_0)^2 + \ldots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n + \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x - x_0)^{n+1}$ 。

在闭区间连续且开区间可导时：

罗尔定理： $f (a) = f (b)$ 。
拉格朗日中值定理： $\frac{f(b)-f(a)}{b-a} = f'(\xi)$ 。
柯西中值定理： $\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$ ，其中 $\neq 0$ 。

定积分结论：

区间对称性： $\int_{-l}^{l} f(x)dx = \begin{cases} 2\int_0^1 f(x)dx, & \text{if } f(x) \text{ is even} \\ 0, & \text{if } f(x) \text{ is odd} \end{cases}$ 。
定积分换元： $\int_{a}^{b} f(x)dx = \int_{a}^{b} f(a + b - t)dt = \frac{1}{2}\int_{a}^{b}[f(x) + f(a + b - x)]dx$ 。
周期函数： $\int_{a+T}^{a} f(x)dx = \int_{T}^{0} f(x)dx = \int_{\frac{T}{2}}^{-\frac{T}{2}} f(x)dx$ 。
华理士点火定理：
- $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n xdx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^n xdx = \begin{cases} \frac{n-1}{n} \cdot \frac{n-3}{n-2} \cdots \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2}, & n \text{ is even} \\ \frac{n-1}{n} \cdot \frac{n-3}{n-2} \cdots \frac{2}{3} \cdot 1, & n > 1 \text{ is odd} \end{cases}$ 。
三角函数定积分：
- $\int_{-\pi}^{\pi} \sin nx \sin mx dx = \int_0^{2\pi} \sin nx \sin mx dx = \begin{cases} \pi, & n = m \\ 0, & n \neq m \end{cases}$ .
- $\int_{-\pi}^{\pi} \sin nx \cos mx dx = \int_0^{2\pi} \sin nx \cos mx dx = 0$ .
- $\int_{-\pi}^{\pi} \cos nx \cos mx dx = \int_0^{2\pi} \cos nx \cos mx dx = \begin{cases} \pi, & n = m \\ 0, & n \neq m \end{cases}$ .

柯西不等式：

若 $f (x)$ 和 $g (x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续且可积，则有
$\left( \int_a^b f(x)g(x)dx \right)^2 \leq \left( \int_a^b f^2(x)dx \right) \left( \int_a^b g^2(x)dx \right).$

变限积分：

如果 $\int_{\phi(x)}^{a} f(t)dt$ ，则 $-f[\phi(x)] \cdot \phi'(x)$ 。
$\frac{d}{dx} \left( \int_{\phi_1(x)}^{\phi_2(x)} f(t) dt \right) = f[\phi_2(x)] \phi_2'(x) - f[\phi_1(x)] \phi_1'(x)$ 。
$\int_{x}^{a} f(x - t)dt$ ，设 $u = x - t$ ，那么 $\int_{x-a}^{0} f(u)du$ ，因此 $F^{'} (x) = - f (x - a)$ .（设x>a,则x<t<a → -a<-t<-x → x-a<u<0）

反常积分：

$\int_a^{+\infty} f(x)dx = \lim\limits_{b \to +\infty} \int_a^b f(x)dx$
$\int_{-\infty}^b f(x)dx = \lim\limits_{a \to -\infty} \int_a^b f(x)dx$
$\int_{+\infty}^{-\infty} f(x)dx = \int_c^{-\infty} f(x)dx + \int_{+\infty}^c f(x)dx$
$\int_a^b f(x)dx = \lim\limits_{ε \to 0^+} \int_{a+\varepsilon}^b f(x)dx=F(b)-\lim\limits_{x \to a^+}F(a)$
- 其中 $x = a$ 是 $f (x)$ 的瑕点, c=a+ε
$\int_a^b f(x)dx = \lim\limits_{ε \to 0^+} \int_a^{b-\varepsilon} f(x)dx=\lim\limits_{x \to b^-}F(x)-F(a)$
- 其中 $x = b$ 是 $f (x)$ 的瑕点，c=b−ε
$\int_a^b f(x)dx = \lim\limits_{ε \to 0^+} \int_a^{c-\varepsilon} f(x)dx + \lim\limits_{\eta \to 0^+} \int_{c+\eta}^b f(x)dx=\int_a^c f(x)dx-\int_c^b f(x)dx$
- 其中 $x = c$ 是 $f (x)$ 的瑕点

特殊反常积分：

$\int_0^1 \frac{1}{x^p}dx= \begin{cases} 收敛, 0<p<1 \\ 发散, p \geq 1 \end{cases}$
$\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^p}dx= \begin{cases} 收敛, p > 1 \\ 发散, p \leq 1 \end{cases}$
$\int_2^{+\infty} \frac{1}{x \ln^p x}dx =\begin{cases} 收敛, p > 1 \\ 发散, p \leq 1 \end{cases}$
$\int_1^{+\infty} {x^ke^{-x^p}}dx$ ，其中 $k$ 为常数且 $p > 0$ 时均收敛。
$\int_0^1 \frac{\ln^k x} { x^p} dx$ ，其中 $k$ 为常数且 $p < 1$ 时均收敛。

面积/体积

两曲线之间的面积：
- $\int_{a}^{b} |f(x) - g(x)|dx$
旋转体体积：
- 绕 X 轴： $V_x = \pi \int_{a}^{b} f^2(x)dx$
- 绕 Y 轴： $V_y = 2\pi \int_{a}^{b} |xf(x)|dx$
弧长/侧面积：
- 直角坐标系下： $L:\ y = f(x),\ a \leq x \leq b,\ l = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + y'^2}dx$
- 参数方程下： $L:\begin{cases}\ x = x(t) \\y = y(t)\end{cases},\ a \leq t \leq b,\ l = \int_{a}^{b} \sqrt{[x'(t)]^2 + [y'(t)]^2}dt$
- 极坐标系下： $L:\ r = r(\theta),\ \alpha \leq \theta \leq \beta,\ l = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{r^2 + r'^2}d\theta$
计算平面曲线上以函数 $f (x)$ 为高度的旋转曲线绕 X 轴旋转而成的体积。 $s$ 表示平面曲线的弧长。
$\int_{a}^{b} 2\pi f(x)ds$