121. 买卖股票的最佳时机
贪婪思想:力争在最低成本买入,最高利润卖出。
[7,1,5,3,6,4]
可以先假设在第一天买入和卖出,这时最低成本是7,最大利润是7-7=0
然后假设在第二天买入和卖出,成本就是1,利润也是0
第三天因为成本比第二天高,所以不买入,只卖出,利润就是5-1=4
以此类推
每次遍历都检测最小成本和最大利润
class Solution:def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:# 贪婪思想,初始化成本和利润cost, profit = float('inf'), 0# 成本是取最小的,利润是选最大的# 遍历过程中不断更新最小成本和最大利润for price in prices:cost = min(cost, price)profit = max(profit, price-cost)return profit
122. 买卖股票的最佳时机 II
单独的交易:看今天卖和昨天买的差值
连续上涨:等差数列
class Solution:def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:# 初始化利润profit = 0# 如果当前比前一天的价格更高,那就是要昨天买今天买# 对于等差数列,在同一天卖跟每天都卖是一样的for i in range(1, len(prices)):# 把所有天的利润加起来,如果是负利润,那么就是0(不卖)temp = max(prices[i]-prices[i-1], 0)profit += tempreturn profit
300. 最长递增子序列
要找到一个数组中最长严格递增子序列(Longest Increasing Subsequence,简称LIS)的长度,动态规划是一种有效的方法。这个问题的关键在于找出一个状态定义,使得状态之间的转移是可解的。
动态规划解法:
状态定义:定义
dp[i]
为考虑前i
个元素,以第i
个数字结尾的最长递增子序列的长度。注意,这里的子序列至少包含一个数,即第i
个数本身。状态转移方程:要计算
dp[i]
,需要考虑比第i
个数小的所有数。对于任意一个小于i
的下标j
,如果nums[j] < nums[i]
,那么nums[i]
可以接在nums[j]
后面形成一个更长的递增子序列。因此,dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)
对所有的0 <= j < i
且nums[j] < nums[i]
。初始化:因为最长递增子序列至少包含自己,所以每个元素的LIS长度初始值至少为1,即
dp[i] = 1
。计算顺序:从左到右依次计算每个
dp[i]
,因为计算dp[i]
时需要用到前面的dp[j]
。结果:最长递增子序列的长度为所有
dp[i]
中的最大值。
代码实现
def lengthOfLIS(nums):if not nums:return 0n = len(nums)dp = [1] * n # 初始化dp数组,每个元素的LIS长度初始值为1for i in range(1, n):for j in range(i):if nums[j] < nums[i]:dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)return max(dp) # LIS长度为dp数组中的最大值
1143. 最长公共子序列
解题思路:动态规划
需要构建辅助矩阵,多加一行和一列
当前的状态由左上、左边和上边决定。如果相等,那么当前状态是由左对角线(左上角)的加自己1决定的;如果不相等,那么当前状态需要在左边和上边中选择一个最大的扩展其状态。
步骤 1:
理解问题和目标 我们的目标是找出两个字符串
text1
和text2
的最长公共子序列的长度。一个子序列是指从原字符串中删除一些(或不删除)字符而不改变其余字符的顺序得到的新字符串。步骤 2:
定义 DP 数组 定义二维数组
dp
,其中dp[i][j]
表示text1
中前i
个字符和text2
中前j
个字符的最长公共子序列的长度。注意,dp[i][j]
是基于text1[0..i-1]
和text2[0..j-1]
的子序列。步骤 3:
找出状态转移方程
- 如果
text1[i-1] == text2[j-1]
,即当前两个字符相等,那么dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1
。因为我们找到了一个公共元素,可以在以前的LCS长度上加1。- 如果
text1[i-1] != text2[j-1]
,即当前两个字符不相等,那么dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])
。此时,LCS的长度是两种情况中的较大值。步骤 4:
初始化 DP 数组 初始化
dp
数组的第一行和第一列为0,因为任何字符串与空字符串的最长公共子序列长度都是0。步骤 5:
填充 DP 数组 从
dp[1][1]
开始,根据状态转移方程逐步填充整个dp
数组。步骤 6:
解读结果
dp
数组的最后一个元素dp[len(text1)][len(text2)]
即为text1
和text2
的最长公共子序列的长度。
class Solution:def longestCommonSubsequence(self, text1: str, text2: str) -> int:# 辅助矩阵m, n = len(text1), len(text2)# 都加1个维度,方便后续操作不超索引dp = [[0]*(m+1) for _ in range(n+1)]for i in range(1, n+1): # 先从第一个维度遍历for j in range(1, m+1): #从第二个维度遍历if text1[j-1] == text2[i-1]: # 因为是从1开始,所以要看前面的一位dp[i][j] = dp[i-1][j-1]+1 # 相等,那么就是加上前面的最长子序列和当前的元素else:dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) # 不相等,就将左边对角线附近的最长子序列数扩展到当前return dp[n][m]
64. 最小路径和
动态规划
建立一个辅助矩阵,第一行和第一列的路径和只能是从左边或者右边来,所以辅助矩阵维度保持不变,初始化为0,将第一行第一列的值按照路径和定义加进来。
状态转移公式就是dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + grid[i][j]
class Solution:def minPathSum(self, grid: List[List[int]]) -> int:m = len(grid)n = len(grid[0])dp = [[0] * (n) for _ in range(m)]# 初始化起点dp[0][0] = grid[0][0]# 初始化第一列,每个位置只能从上方来for i in range(1, m):dp[i][0] = dp[i-1][0] + grid[i][0]# 初始化第一行,每个位置只能从左边来for j in range(1, n):dp[0][j] = dp[0][j-1] + grid[0][j]# 动态规划for i in range(1, m):for j in range(1, n):# 选择左边和上面的最小值加上当前值dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + grid[i][j]return(dp[-1][-1]) # 输出最后一个位置的值,即右下角的最小路径和
72. 编辑距离
解题思路:动态规划,不用管具体改了什么字符,只管当前状态由什么决定。一般都是跟左边、上边、左上有关。
解释这三个操作对应的状态转移方程,我们先要理解每个操作的含义和如何影响字符串的转换:
插入:
dp[i][j] = dp[i][j-1] + 1
- 这意味着为了从
word1
的前i
个字符转换到word2
的前j
个字符,我们考虑了在word1
的前i
个字符基础上,通过在末尾插入一个与word2[j-1]
相同的字符,使其与word2
的前j
个字符匹配。因为我们插入了一个字符,所以操作次数加1。- 插入操作是基于假设我们已经找到了将
word1
的前i
个字符转换为word2
的前j-1
个字符的最优方法,并在此基础上进行一次插入操作。删除:
dp[i][j] = dp[i-1][j] + 1
- 这表示为了将
word1
的前i
个字符转换为word2
的前j
个字符,我们考虑了从word1
的前i
个字符中删除最后一个字符,使其与word2
的前j
个字符更接近。因为我们进行了删除操作,所以操作次数加1。- 删除操作是基于假设我们已经找到了将
word1
的前i-1
个字符转换为word2
的前j
个字符的最优方法,并在此基础上进行一次删除操作。替换:
dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1
- 这意味着为了从
word1
的前i
个字符转换到word2
的前j
个字符,我们考虑了将word1
的第i
个字符替换为word2
的第j
个字符(这两个字符不同),使之匹配。因为我们替换了一个字符,所以操作次数加1。- 替换操作是基于假设我们已经找到了将
word1
的前i-1
个字符转换为word2
的前j-1
个字符的最优方法,并在此基础上进行一次替换操作。这些状态转移方程的核心思想是,通过局部最优解(即最少的操作次数)来逐步构建全局最优解。在每个位置
dp[i][j]
,我们都尝试三种操作,并从中选择一种使得总操作数最小的方案,以此保证最终得到的是将整个word1
转换为word2
所需的最少操作次数。
class Solution:def minDistance(self, word1: str, word2: str) -> int:m,n = len(word1), len(word2)# 动态规划dp = [[0]*(n+1) for _ in range(m+1)]# 初始化左上角dp[0][0] = 0# 初始化第一行for i in range(1, m+1):dp[i][0] = i# 初始化第一列for j in range(1, n+1):dp[0][j] = jfor i in range(1, m+1):for j in range(1, n+1):# 如果字符相等if word1[i-1] == word2[j-1]:dp[i][j] = dp[i-1][j-1] # 那就不操作,继承以前的操作else:dp[i][j] = min(dp[i][j-1], dp[i-1][j], dp[i-1][j-1]) + 1 # 否则,就操作,加上当前字符return(dp[m][n])
62. 不同路径
解题思路:又是动态规划。
要确定的点是当前状态是个啥,比如上题就是操作数,这题就是路径数;
然后确定当前状态被什么决定,比如上题是根据左上、左边、上边,本题就是根据左边和上边,理解题意后写出状态转移公式,代码化。
class Solution:def uniquePaths(self, m: int, n: int) -> int:# 辅助矩阵dp = [[1]*n for _ in range(m)]# 状态转移公式for i in range(1, m):for j in range(1, n):# 当前状态是指从原点到当前点的路径总和,由从上和左边来的路径决定dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]return(dp[-1][-1])
考虑到机器人每次只能向下或者向右移动,我们可以发现到达网格中任意位置
(i, j)
的路径数是到达其上方位置(i-1, j)
和左侧位置(i, j-1)
的路径数之和。这是因为,从起点到达(i, j)
的每条路径,都是通过最后一步从(i-1, j)
或(i, j-1)
移动过来的。基于这个原理,我们可以构建一个动态规划方程来求解问题。动态规划方法
状态定义:定义
dp[i][j]
为从起点(0, 0)
到达点(i, j)
的路径总数。状态转移方程:因为到达点
(i, j)
只能从(i-1, j)
或(i, j-1)
两个点移动一步到达,所以dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]
。初始化:初始化第一行和第一列的值为1,因为从起点到达第一行和第一列的任意位置只有一种路径(要么一直向右,要么一直向下)。
填表:按顺序计算
dp
数组的其余部分。结果:
dp[m-1][n-1]
即为从起点到达终点的路径总数。解释
- 初始化时,
dp
的每个元素都被设置为1,因为到达第一行或第一列的任意位置的路径只有一条。- 通过双层循环,我们更新
dp
数组的值,使其反映到达每个位置的路径数。- 最后,
dp[m-1][n-1]
存储了到达右下角的路径总数。这种动态规划方法利用了问题的子结构(问题的解可以通过其子问题的解来构建)和重叠子问题(相同的子问题被多次计算)特点,使得我们可以高效地求解原问题。
152. 乘积最大子数组
要解决这个问题,我们可以同时跟踪到当前位置为止的最大乘积和最小乘积(因为一个很小的负数乘以一个负数可能变成一个很大的正数)。这意味着我们需要维护两个动态规划数组,一个用于追踪最大乘积,另一个用于追踪最小乘积。
修改后的算法:
定义状态:
max_dp[i]
表示到第i
个元素为止的最大连续子数组乘积。min_dp[i]
表示到第i
个元素为止的最小连续子数组乘积(考虑负负得正的情况)。状态转移方程:
- 对于每个
i
,有三种情况需要考虑(nums[i]
本身、nums[i] * max_dp[i-1]
和nums[i] * min_dp[i-1]
),因为当前元素可以独自成为最大乘积子数组,或者可以与前一个子数组的最大/最小乘积相乘形成新的最大/最小乘积。max_dp[i] = max(nums[i], nums[i] * max_dp[i-1], nums[i] * min_dp[i-1])
min_dp[i] = min(nums[i], nums[i] * max_dp[i-1], nums[i] * min_dp[i-1])
初始化:
max_dp[0] = min_dp[0] = nums[0]
,因为第一个元素前面没有其他元素,所以它自己就是一个子数组。遍历数组:
- 按照状态转移方程更新
max_dp
和min_dp
。找到最大乘积:
- 最大乘积不一定是
max_dp[-1]
,因为最大乘积可能出现在数组的任何位置,所以需要遍历max_dp
数组找到最大值。
class Solution:def maxProduct(self, nums: List[int]) -> int:# 因为负负得正,所以不能只看大于0的,维护两个辅助数组max_dp = [1] * len(nums)min_dp = [1] * len(nums)max_dp[0] = nums[0]min_dp[0] = nums[0]# 最大乘积的数组状态由当前元素;如果前面是正的,乘当前;最小乘积有可能是负的,当前也可能是负的for i in range(1, len(nums)):max_dp[i] = max(nums[i], max_dp[i-1]*nums[i], min_dp[i-1]*nums[i])min_dp[i] = min(nums[i], max_dp[i-1]*nums[i], min_dp[i-1]*nums[i])return max(max_dp)
198. 打家劫舍
问题的关键是找到一个状态定义,以及如何根据前面的状态来更新当前的状态。问题可以描述为:给定一个整数数组,从中选取出一些元素,这些元素的总和最大,但不能选取相邻的元素。
动态规划思路
状态定义:定义
dp[i]
为到达第i
个房屋时能够偷窃到的最高金额。状态转移方程:对于第
i
个房屋,有两种选择:
- 不偷这个房屋,那么总金额就是到前一个房屋为止的最高金额,即
dp[i-1]
;- 偷这个房屋,那么总金额就是这个房屋的金额加上到前前个房屋为止的最高金额,即
nums[i] + dp[i-2]
(因为不能偷相邻的房屋)。
所以,dp[i] = max(dp[i-1], nums[i] + dp[i-2])
。初始化:
dp[0] = nums[0]
,只有一个房屋时,只能偷这一个;- 如果有两个房屋,应该选择金额较大的那个,所以
dp[1] = max(nums[0], nums[1])
。计算顺序:从左到右依次计算每个
dp[i]
。
class Solution:def rob(self, nums: List[int]) -> int:# 处理只有一个元素的情况if len(nums) == 1:return nums[0]# 直接复制数组作为辅助数组dp = nums.copy()# 第二个状态取前两个的最大值dp[1] = max(nums[0], nums[1])# dp的当前状态是到当前的最高金额(和)for i in range(2, len(nums)):# 要么不偷,要么偷dp[i] = max(dp[i-1], dp[i-2] + nums[i])return dp[-1]