【面试经典150 | 】最长递增子序列

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【动态规划】【数组】


题目来源

300. 最长递增子序列


解题思路

方法一:动态规划

定义状态

dp[i] 表示以位置 i 对应整数为末尾的最长递增子序列的长度。

状态转移

我们从小到大计算 dp 数组的值,在计算 dp[i] 之前,我们已经计算出 dp[0], dp[1], ..., dp[i-1] 的值,有状态转移方程:

d p [ i ] = m a x ( d p [ i ] , d p [ j ] + 1 ) ,其中 0 ≤ j < i 且 n u m s [ j ] < n u m s [ i ] dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1),其中 0 \le j < i 且 nums[j] < nums[i] dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1),其中0j<inums[j]<nums[i]

在计算状态 dp[i] 时,更新答案 max_length

base case

对于以 nums[i] 结尾的最长递增子序列,我们均初始化为 1。

最后返回

最后直接返回维护的最长递增子序列的长度 max_length

实现代码

class Solution {
public:int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {int n = nums.size();vector<int> dp(n + 1, 1);int max_length = 0;if(n <= 1) return n;for (int i = 1; i < nums.size(); ++i) {for (int j = 0; j < i; ++j) {if (nums[j] < nums[i]) {dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);}}max_length = max(max_length, dp[i]);}return max_length;}
};

复杂度分析

时间复杂度: O ( n 2 ) O(n^2) O(n2) n n n 是数组 nums 的长度。我们一共需要计算 O ( n ) O(n) O(n) 个状态,每个状态需要 O ( n ) O(n) O(n) 的时间遍历 dp[0, ..., i-1] 的状态,所以时间复杂度为 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)

空间复杂度: O ( n ) O(n) O(n)


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