本篇文章适合个人复习翻阅，不建议新手入门使用

函数极限

定义和性质

定义：函数极限
设函数 $f(x)$
若$$\forall \epsilon >0,\exists \delta >0,\forall x\in O^o(x_0,\delta ),s.t.|f(x)-A|<\epsilon$$其中 $O^o(x_0,\delta )$ 表示 $x_0$ 的去心邻域
则称 $f(x)$ 在 $x_0$ 处有极限 $A$，记为$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A$
若$$\forall \epsilon >0,\exists \delta >0,\forall x\in (x_0,x_0+\delta ),s.t.|f(x)-A|<\epsilon$$则称 $f(x)$ 在 $x_0$ 处有右极限 $A$，记为$\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)=A$；类似可定义左极限

函数定义的扩充
对于 $x\to \infty$， $x\to x_0^{-}$，$f(x)\to \infty$ 等情形，极限定义大同小异，列表如下

• $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A$
  $$\forall \epsilon >0,\exists \delta >0,\forall x\in O^o(x_0,\delta ),s.t.|f(x)-A|<\epsilon$$
• $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=\infty$
  $$\forall G>0,\exists \delta >0,\forall x\in O^o(x_0,\delta ),s.t.|f(x)|>G$$
• $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=+\infty$
  $$\forall G>0,\exists \delta >0,\forall x\in O^o(x_0,\delta ),s.t.f(x)>G$$
• $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=-\infty$
  $$\forall G>0,\exists \delta >0,\forall x\in O^o(x_0,\delta ),s.t.f(x)<-G$$
• $\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)=A$
  $$\forall \epsilon >0,\exists \delta >0,\forall x\in (x_0,x_0+\delta ),s.t.|f(x)-A|<\epsilon$$
• $\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)=A$
  $$\forall \epsilon >0,\exists \delta >0,\forall x\in (x_0-\delta ,x_0),s.t.|f(x)-A|<\epsilon$$
• $\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=A$
  $$\forall \epsilon >0,\exists M>0,\forall x(|x|>M),s.t.|f(x)-A|<\epsilon$$

由定义容易得到

命题：极限与左右极限
函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处有极限当且仅当 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的左、右极限存在且相等

性质

1. 四则运算：设 $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x),\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)$ 均存在，则
   $$\underset{x\to x_0}{\lim }(\alpha f(x)+\beta g(x))=\alpha \underset{x\to x_0}{\lim }f(x)+\beta \underset{x\to x_0}{\lim }g(x)$$$$\underset{x\to x_0}{\lim }(f(x)\cdot g(x))=\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)\cdot \underset{x\to x_0}{\lim }g(x)$$$$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)}{\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)}(\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)\ne 0)$$
2. 唯一性：
   设 $A,B$ 都是 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的极限，则 $A=B$

证明思路：
$$|A-B|\le |A-f(x)|+|B-f(x)|<\epsilon$$

3. 保序性
   极限有序 $\Rightarrow$ 函数局部有序：
   若 $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)>\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)$ ，则 $$\exists \delta >0,\forall x\in O^o(x_0,\delta ),s.t.f(x)>g(x)$$函数有序 $\Rightarrow$ 极限有序：
   若 $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x),\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)$ 存在，且 $f(x)\ge g(x)$，则 $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)\ge \underset{x\to x_0}{\lim }g(x)$

4. 极限存在 $\Rightarrow$ 函数局部有界
   若 $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A$，则
   $$\exists \delta >0,\exists M>0,\forall x\in O^o(x_0,\delta ),|f(x)|\le M$$

5. 夹逼性：
   若 $\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)=\underset{x\to x_0}{\lim }h(x)=A$，且 $\exists \delta >0,s.t.\forall x\in O^o(x_0,\delta )$，有$g(x)\le f(x)\le h(x)$，则$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A$

函数极限的另一种定义

定义：函数极限
若对任意序列 { x n } ( x n ≠ x 0 ) \{x_n\}(x_n\neq x_0) {xn​}(xn​=x0​)，$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=x_0$，都有 $\underset{n\to \infty }{\lim }f(x_n)=A$，则称 $f(x)$ 在 $x_0$ 处有极限 $A$

注：其余情形的函数极限定义类似

Heine 定理
两种极限的定义等价，即 $$\forall \epsilon >0,\exists \delta >0,\forall x\in O^o(x_0,\delta ),s.t.|f(x)-A|<\epsilon$$等价于
∀ { x n } ( x n ≠ x 0 ) , lim ⁡ n → ∞ x n = x 0 , s . t . lim ⁡ n → ∞ f ( x n ) = A \forall \{x_n\}(x_n\neq x_0),\lim\limits_{n\to\infty}x_n=x_0,s.t.\lim\limits_{n\to\infty}f(x_n)=A ∀{xn​}(xn​=x0​),n→∞lim​xn​=x0​,s.t.n→∞lim​f(xn​)=A

证明思路
定义 1 推出定义 2 显然，考虑反面，用反证法，设
$$\exists {\epsilon }_0>0,\forall \delta >0,\exists x\in O^o(x_0,\delta ),|f(x)-A|\ge {\epsilon }_0$$取数列 { δ n = 1 n } \{\delta_n=\frac{1}{n}\} {δn​=n1​}

对 ${\delta }_1=1$，存在 $x_1\in O^o(x_0,{\delta }_1)$，使得 $|f(x_1)-A|\ge {\epsilon }_0$
对 ${\delta }_2=\frac{1}{2}$，存在 $x_2\in O^o(x_0,{\delta }_2)$，使得 $|f(x_2)-A|\ge {\epsilon }_0$
$\cdots$
对 ${\delta }_k=\frac{1}{k}$，存在 $x_k\in O^o(x_0,{\delta }_k)$，使得 $|f(x_k)-A|\ge {\epsilon }_0$

故得到 $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=x_0$ 但不满足 $\underset{n\to \infty }{\lim }f(x_n)=A$

Cauchy收敛准则

$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A$ 当且仅当
$$\forall \epsilon >0,\exists \delta >0,\forall x_1,x_2\in O^o(x_0,\delta ),|f(x_1)-f(x_2)|\le \epsilon$$

证明：
必要性显然，是经典的加减同一项再辅以三角不等式的技巧
充分性：用到极限的第二种定义，取 $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=x_0$，易证 { f ( x n ) } \{f(x_n)\} {f(xn​)} 是Cauchy列，从而收敛

参考书：

• 《数学分析》陈纪修 於崇华 金路
• 《数学分析之课程讲义》清华大学数学系及丘成桐数学中心
• 《数学分析习题课讲义》谢惠民 恽自求 易法槐 钱定边 著