背包问题
介绍
将有限物品按找最大价值装进有限体积的背包中去
核心步骤
1.确定状态表示
2.确定边界
和遍历顺序
3.找到状态转移方程
先上 Coding
#include <iostream>
using namespace std;const int N = 300;
int itemSize[N]; //每件物品的大小(体积)
int itemValue[N]; //每件物品的价值
int dp[N][N]; //状态表示数组([物品序号][背包大小])
int m, n; //m为背包体积 n为物品数量int main() {cin >> m >> n;for (int i = 1; i <= n; i++) {cin >> itemSize[i] >> itemValue[i];//依次输入每一件物品的体积和价值}for (int i = 1; i <= n; i++) { //n物品数量for (int j = 1; j <= m; j++) { //m为背包体积if (itemSize[i] <= j) {//物品体积比j(背包容量)小,可以放进背包,取放和不妨两种情况价值Value的最大值dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-itemSize[i]] + itemValue[i]);}else {//放不进去的情况dp[i][j] = dp[i-1][j];}}}cout << "dp数组:" << endl;for (int i = 0; i <= n; i++) {for (int j = 0; j <= m; j++) {cout << dp[i][j] << ' ';}cout << endl;}
}
手动遍历的结果
思路
- 首先遍历每一个物品
- 对每一个物品,遍历背包的大小
对于每一种物品都有两种情况
- 当前所遍历的
背包
大小放得下
- 当前所遍历的
背包
大小放不下
注意这里的背包指的是我们分解出来的子状态中的,是对于每一个物品,从
0 ~ m
(背包的大小),遍历了m+1
个背包中的任意一种。
状态表示
dp[i][j]
i
:表示从第1个物品
到i个物品
这个范围j
:表示背包大小
的一种可能性
边界
满足
i==0 && j==0
设置为 0
遍历顺序
遍历
1~n
个物品
,对每个物品
遍历背包大小
状态转移方程
-
如果拿不下
dp[i][j] = dp[i-1][j]
-
如果拿得下
dp[i][j] = max(dp[ i - 1 ][ j ], dp[ i - 1 ] j-size[i]] + value[i])
解释一下这个转移方程中 max 内的两个参数:
dp[i-1][j]
表示这个除去这个物品(第 i 位物品)以外的0 ~ i-1
个物品,也就是拿得下,但是你就是不拿这个物品的情况dp[i-1][j - size[i]] + value[i]
:这个式子由两个式子相加得来,左边的i-1
依旧表示这个物品不拿,0 ~ i-1
个物品的情况,j - size[i]
表示拿了这个物品之后,剔除这个物品的背包大小的最优解,value[i]
就表示这个物品的价值
剥离出来就是
dp[i-1][j]
:除去这个物品,对应背包大小的最优解j - size[i]
:剔除这个物品的背包大小的最优解value[i]
:这个物品的价值