目录

一、矩阵求逆的数学方法

1、伴随矩阵法

2、初等变换法

3、分块矩阵法

4、定义法

二、矩阵求逆C#代码

1、伴随矩阵法求指定3*3阶数矩阵的逆矩阵

（1）伴随矩阵数学方法

（2）代码

（3）计算

2、对任意阶数矩阵求逆

（1）计算方法

（2）代码

（3）计算

（4）计算结果

三、工程下载连接

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一、矩阵求逆的数学方法

1、伴随矩阵法

2、初等变换法

3、分块矩阵法

4、定义法

二、矩阵求逆C#代码

1、伴随矩阵法求指定3*3阶数矩阵的逆矩阵

（1）伴随矩阵数学方法

（2）代码

        /// <summary>/// 计算3*3矩阵的逆矩阵/// </summary>/// <param name="input">输入的3*3矩阵</param>/// <returns>计算得到的3*3逆矩阵</returns>public static double[,] inv3(double[,] input){double[,] output = new double[3, 3];//求出伴随矩阵output[0, 0] = input[2, 2] * input[1, 1] - input[2, 1] * input[1, 2];output[0, 1] = input[2, 1] * input[0, 2] - input[0, 1] * input[2, 2];output[0, 2] = input[0, 1] * input[1, 2] - input[0, 2] * input[1, 1];output[1, 0] = input[1, 2] * input[2, 0] - input[2, 2] * input[1, 0];output[1, 1] = input[2, 2] * input[0, 0] - input[0, 2] * input[2, 0];output[1, 2] = input[0, 2] * input[1, 0] - input[0, 0] * input[1, 2];output[2, 0] = input[1, 0] * input[2, 1] - input[2, 0] * input[1, 1];output[2, 1] = input[2, 0] * input[0, 1] - input[0, 0] * input[2, 1];output[2, 2] = input[0, 0] * input[1, 1] - input[1, 0] * input[0, 1];//求出行列式的值double Avalue = input[0, 0] * input[1, 1] * input[2, 2]+ input[0, 1] * input[1, 2] * input[2, 0]+ input[0, 2] * input[1, 0] * input[2, 1]- input[0, 2] * input[1, 1] * input[2, 0]- input[0, 1] * input[1, 0] * input[2, 2]- input[0, 0] * input[1, 2] * input[2, 1];//求出 逆矩阵 for (int i = 0; i < 3; i++){for (int j = 0; j < 3; j++){output[i, j] = output[i, j] / Avalue;}}return output;}

（3）计算

计算代码

            计算3*3矩阵的逆矩阵double[,] input = new double[3, 3] {{ 0,    1,      3 }, { 1,    -1,     0 },{-1,    2,      1}};double[,] out1 = inv3(input);               //方法1——只能求3*3

程序计算结果

对应数学题目

2、对任意阶数矩阵求逆

（1）计算方法

Step1

1）利用初等行变换，那么要将单位矩阵E和n阶矩阵B合并（规定为EandB_normal[ n, 2 * n]）

Step2

2）将EandB_normal[ n, 2 * n]转为右半部分为上三角的矩阵

>>>这一步转换比较复杂一点，具体实现就是：

>>>第一层循环，循环变量 j 从第n列开始到第2 * n - 1列结束，目的就是将该列值都转为1，方便后边变为上三角矩阵（需要注意的是，对于第n列，应该考虑把每个值都变为1；但是到第n + 1列时，就不考虑第一个值了；第n + 2列时，不考虑第一个和第二个值；类推）；

>>>第二层循环，循环变量 i 从第j - n行开始到第n - 1行结束，目的是对每一行都进行除以EandB_normal[ i, j]值的运算，这样EandB_normal[ i, j]的值就变为了1（需要注意的是，如果EandB_normal[ i, j]的值为0的话，我们考虑将该行与最后一行调换，同时循环变量 i 到第n - 2行结束；如果调换之后，EandB_normal[ i, j]的值仍然为0，那么再将该行与此时的最后一行调换，类推；但是如果一直调换，直到发现始终为0，就说明矩阵B不满秩，退出计算；如果EandB_normal[ i, j]值为负数，该行同时变号）；

>>>第三层循环，循环变量 k 从第0列开始到第2 * n - 1列结束，目的是将上一步中循环到的行中的每一个值都除以EandB_normal[ i, j]的值；

>>>循环全部完成之后，矩阵EandB_normal[ n, 2 * n]就变成了右半部分为上三角的矩阵。

Step3

3）接上一步，将该矩阵转为右半部分为单位矩阵的矩阵，此时即为矩阵B的逆矩阵与单位矩阵的合并（规定为B_inverse_andE[ n, 2 * n]）

>>>这一步中的循环变量是递减的，具体实现就是：

>>>第一层循环，循环变量 j 从第2 * n - 1列开始到第n列结束，目的是将该列值只保留一个1，其余变为0；

>>>第二层循环，循环变量 i 从第 j - n行开始到第0行结束；

>>>第三层循环，循环变量 k 从第0列开始到第2 * n - 1列结束；拿 j = 2 * n - 1, i = n - 1举例，此时，我们希望第n - 2行的值都加上该行最后一个值的相反数与第n - 1行乘积的对应值，第n - 3行的值都加上该行最后一个值得相反数与第n - 1行乘积的对应值，类推；（需要注意的是，j = 2 * n - 2时，i从第n - 2行开始循环，j = 2 * n - 3时，i从第n - 2行开始循环，类推）；

>>>当循环全部完成之后，B_inverse_andE[ n, 2 * n]的右半部分就变为了单位矩阵，左半部分为矩阵B的逆矩阵。

Step4

4）接上一步，将B的逆矩阵取出来（规定为B_inverse[n, n]）

（2）代码

/// <summary>/// 任意矩阵求逆。(矩阵是2*2、3*3、4*4、5*5等类型)/// </summary>/// <param name="matrixB">输入的初始矩阵</param>/// <param name="orderNum">矩阵行和列的数</param>/// <returns>计算出的逆矩阵</returns>public static double[,] MatrixInverse(double[,] matrixB, int orderNum){//判断是否满秩bool IsFullRank = true;//n为阶级int n = orderNum;//####赋值####//矩阵B//矩阵B的逆矩阵//单位矩阵E和矩阵B组成的矩阵double[,] B_normal = matrixB;double[,] B_inverse = new double[n, n];double[,] EandB_normal = new double[n, 2 * n];for (int i = 0; i < n; i++){for (int j = 0; j < n; j++){if (i == j)EandB_normal[i, j] = 1;elseEandB_normal[i, j] = 0;}for (int k = n; k < 2 * n; k++){EandB_normal[i, k] = B_normal[i, k - n];}}//####计算####//中间变量数组，用于临时盛装值double[] rowHaveZero = new double[2 * n];//EB矩阵右边的n*n变为上三角矩阵for (int j = n; j < 2 * n; j++){int firstRowN = j - n;int lastRowN = n;int colCount = 2 * n;//把EB中索引为j的列的值化为1for (int i = firstRowN; i < lastRowN; i++){//如果EBijNum值为0，就把0所在的行与此刻最后一行调换位置//并且循环变量i的终止值减去1,直到EBijNum值不为0//最多调换到0所在的行的下一行double EBijNum = EandB_normal[i, j];while (EBijNum == 0 && lastRowN > i + 1){for (int k = 0; k < colCount; k++){rowHaveZero[k] = EandB_normal[i, k];EandB_normal[i, k] = EandB_normal[lastRowN - 1, k];EandB_normal[lastRowN - 1, k] = rowHaveZero[k];}lastRowN -= 1;EBijNum = EandB_normal[i, j];}//如果while循环是由第二个判断跳出//即EBijNum始终为0if (EBijNum == 0){//循环变量i的终止值再减去1，然后跳出循环lastRowN -= 1;break;}//如果为负数，该行变号if (EBijNum < 0){for (int k = 0; k < colCount; k++){EandB_normal[i, k] = (-1) * EandB_normal[i, k];}EBijNum = EandB_normal[i, j];}//将该值变为1，则其余值都除以EBijNumfor (int k = 0; k < colCount; k++){EandB_normal[i, k] = EandB_normal[i, k] / EBijNum;}}//自n列起，每列只保留一个1，呈阶梯状int secondRowN = firstRowN + 1;for (int i = secondRowN; i < lastRowN; i++){for (int k = 0; k < colCount; k++){EandB_normal[i, k] = EandB_normal[i, k]- EandB_normal[firstRowN, k];}}if (lastRowN == firstRowN){//矩阵不满秩IsFullRank = false;break;}}//不满秩，结束运算if (!IsFullRank){double[,] error = new double[n, n];for (int i = 0; i < n; i++){for (int j = 0; j < n; j++){error[i, j] = 0;}}//返还值均为0的矩阵return error;}//将上三角矩阵变为单位矩阵for (int j = 2 * n - 1; j > n; j--){//firstRowN为参考行//secondRowN为运算行int firstRowN = j - n;int secondRowN = firstRowN - 1;int colCount = j + 1;//从最后一列起，每列只保留一个1，其余减为0for (int i = secondRowN; i > -1; i--){double EBijNum = EandB_normal[i, j];for (int k = 0; k < colCount; k++){EandB_normal[i, k] = EandB_normal[i, k]- EandB_normal[firstRowN, k] * EBijNum;}}}//####提取逆矩阵####for (int i = 0; i < n; i++){for (int j = 0; j < n; j++){B_inverse[i, j] = EandB_normal[i, j];}}return B_inverse;}

（3）计算

private void button1_Click(object sender, EventArgs e){计算3*3矩阵的逆矩阵double[,] input = new double[3, 3] {{ 0,    1,      3 }, { 1,    -1,     0 },{-1,    2,      1}};double[,] out1 = inv3(input);               //方法1——只能求3*3double[,] out2 = MatrixInverse(input, 3);   //方法2计算2*2矩阵的逆矩阵double[,] input2 = new double[2, 2] {{ 1, 2 }, { 3, 4 }};double[,] out3 = MatrixInverse(input2, 2); //计算4*4矩阵的逆矩阵double[,] input3 = new double[4, 4] {{ 2, 1,-1,2 }, { 1, 1,1,-1 },{0,0,2,5},{0,0,1,3}};double[,] out4 = MatrixInverse(input3, 4); }

（4）计算结果

以4*4矩阵说明

三、工程下载连接

https://download.csdn.net/download/panjinliang066333/89024543