322. 零钱兑换
想象你有一堆不同面值的硬币，现在的任务是用这些硬币凑出一个指定的金额，比如说11元，而且要求用的硬币数量尽可能少。
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准备工作：首先，我们做了一张表（叫dp），这张表记录了从0元到目标金额（比如11元）每一个金额所需要的最少硬币数量。刚开始，我们假设每个金额所需的硬币数量都是最多的，这就像是一个最坏的情况。
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开始计算：然后，我们开始尝试用手头上的每一种硬币去更新这张表。对于每一种硬币，我们看它能帮助减少哪些金额所需的硬币数量。
- 比如，如果我们有1元和2元的硬币，我们就从1元和2元开始，一直尝试到11元，看看加入这种硬币后能不能让所需硬币数量更少。
- 每次当我们考虑加入一个新的硬币时，我们会查看：如果我现在用这个硬币，再加上剩下的金额所需要的最少硬币数（这个信息已经在表里了），是不是比目前记录的要少。如果是，就更新这个金额所需的最少硬币数。
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结果判断：最后，我们看看表中记录的目标金额所需的硬币数量是否被更新过（如果没有被更新过，说明用这些硬币凑不出这个金额），如果能凑出来，就告诉你需要的最少硬币数是多少。
class Solution:def coinChange(self, coins: List[int], amount: int) -> int:# 初始化从0到目标金额的逐个列表dp = [amount+1 for _ in range(amount+1)]dp[0] = 0 # 金额0不要任何硬币# 遍历每个硬币for c in coins:# 遍历大于等于硬币面额的金额for i in range(c, amount+1):# 核心：更新当前金额的最少所需硬币数，求 只使用当前硬币的数量 和 使用一个当前硬币+差额所需的最小硬币数 的最小值dp[i] = min(dp[i], dp[i-c]+1)# 如果指定金额的硬币数没有被更新，说明没有组合能够满足return dp[-1] if dp[-1] != amount+1 else -1dp[i] = min(dp[i], dp[i-c]+1) 这行代码是动态规划的核心。dp[i-c]+1表示如果你选择了面额为c的硬币，那么对于剩余的金额i-c，所需的最小硬币数就是dp[i-c]，再加上你这次选择的这一枚硬币（也就是+1）。min(dp[i], dp[i-c]+1)的意思是，比较当前金额i所需最小硬币数的现有值（dp[i]）和使用当前面额硬币新计算得到的值（dp[i-c]+1），取二者中的较小值作为新的最小硬币数。
78. 子集
以nums = [1, 2, 3]为例。想象一下，我们有一个空盒子（temp），我们可以决定是否要把一些数字放进去。我们的目标是找出所有可能的方式来填充这个盒子，也就是所有的子集。
开始时，我们的盒子是空的。这也是一个子集，所以我们先把它加到结果列表res中。现在，res = [[]]。
递归的魔法：我们用一个函数dfs来帮助我们决定每个数字是否放入盒子。
我们从第一个数字开始，看看我们可以把它放入盒子（即列表temp），然后我们继续看下一个数字。
每当我们考虑一个数字（比如1），我们会做两件事：一次尝试把它加入盒子，另一次则不加。对于每种情况，我们都会继续向下看下一个数字，直到没有更多数字为止。
添加子集：每次我们到达数字列表的末尾时，我们的盒子里装的就是一个完整的子集。我们把这个子集的一个复制（使用list(temp)来确保我们复制的是内容，而不是引用）加到结果res中。
回溯：这个词听起来有点复杂，但实际上很简单。就是当我们考虑完一个数字（比如1）放入盒子后，我们会把它拿出来（temp.pop()），就好像我们从未做过这个决定一样。这样我们就可以回到之前的状态，然后考虑不放入1的情况。这个过程让我们能够探索所有可能的组合。
结束：当我们考虑完所有的数字后，res就包含了所有可能的子集。
class Solution:def subsets(self, nums: List[int]) -> List[List[int]]:res = []def dfs(temp, index, nums):# 直接添加当前子集到结果列表中，无需等到最后res.append(list(temp)) # 使用list(temp)来复制当前子集# 遍历从当前索引到末尾的所有元素for i in range(index, len(nums)):# 包含当前元素temp.append(nums[i])# 递归调用处理下一个元素dfs(temp, i + 1, nums)# 回溯：移除当前元素，尝试下一个选择temp.pop()# 开始递归dfs([], 0, nums)return(res)
221. 最大正方形
定义状态：我们可以定义一个二维的DP数组dp，其中dp[i][j]代表以(i, j)为右下角的最大正方形的边长。注意，这个定义是关键的，因为它让我们能够通过左边、上边和左上角的状态来决定当前位置的状态。
找到状态转移方程：对于每个位置(i, j)，如果该位置的值是’1’，那么dp[i][j]应该是其左边、上边和左上角的dp值中的最小值加1。这是因为，一个位置如果要构成一个更大的正方形，它的左边、上边和左上角也必须能构成正方形。数学表达式为：dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1], dp[i-1][j-1]) + 1。
初始化：对于矩阵的第一行和第一列，dp[i][j]就直接是矩阵中的值（因为它们只能形成最大边长为1的正方形）。
遍历矩阵填充DP数组：从(1, 1)开始遍历整个矩阵，并根据状态转移方程更新DP数组。
找到最大的dp[i][j]：遍历DP数组，找到最大的值，这个值的平方即为最大正方形的面积。
创建了一个辅助矩阵，元素是int，这样就解决了对原始矩阵元素转换类型的问题，同时还有在原始矩阵里修改元素影响实际计算的问题。然后针对元素为’1’时才开始计算，同时考虑边界情况。状态转移方程是根据每一步前面的上、左、左上角的累计最小值+1决定当前1的边长，这样在本身自己是一个单位的基础上和上面的合起来就是2，依次累加
class Solution:def maximalSquare(self, matrix: List[List[str]]) -> int:# 长宽，初始化最大边长rows,cols = len(matrix), len(matrix[0])max_side = 0# 辅助矩阵，全0初始化dp = [[0]*cols for _ in range(rows)] # 遍历每个元素for r in range(rows):for c in range(cols):if matrix[r][c] != '0': # 为1才进行计算if r == 0 or c == 0: # 对于边界情况进行处理dp[r][c] = 1else: # 状态转移方程，假设当前是正方形的右下角，其值由左、上、左上的最小值决定dp[r][c] = min(dp[r][c-1], dp[r-1][c], dp[r-1][c-1]) + 1# 更新最大边长max_side = max(max_side, dp[r][c])# 边长2次方return max_side ** 2
