问题描述

假设我有一个背包，希望在装得下的情况下，尽量装进价值更多的物品。那么我该怎么做呢？

问题抽象

假设背包的容量是m，就假设是4吧

# 表示背包容量4KG
m = 4 

可选装进背包的物品有n个，物品的价值存储在prices里，重量存储在weight里

# 表示有3个物品可以选，分别价值是1500 3000 2000
prices = [1500, 3000, 2000]
# 物品重量分别是1kg 4kg 3kg
weight = [1, 4, 3]

显然，我们的目的是填满以下价值矩阵，res[i][j]表示在可选物品有i个的情况下，背包容量在j容量的情况下的最优解：

# 我们需要填满这个n 行 m列的矩阵
res = [[0] * m for _ in range(n)]

物品价值和重量	物品\背包容量	1	2	3	4
1500元 1kg	物品1
3000元 4kg	物品1、物品2
2000元 3kg	物品1/2/3

求解过程

显然，第一行是最好求解的。当只有1个物品可选时，只要装得下，只能装它。所以第一行全是1500元。

物品价值和重量	物品\背包容量	1	2	3	4
1500元 1kg	物品1	1500	1500	1500	1500
3000元 4kg	物品1、物品2
2000元 3kg	物品1/2/3

当可选物品变成2个时，显然，由于物品2的重量是4KG，背包容量小于4的情况下，全都放不下，于是只有在背包容量达到4的时候，可以放一个物品2，这个格子的最优解是3000

物品价值和重量	物品\背包容量	1	2	3	4
1500元 1kg	物品1	1500	1500	1500	1500
3000元 4kg	物品1、物品2	1500	1500	1500	3000
2000元 3kg	物品1/2/3

当可选物品变成3个的时候，在背包容量3的时候，可以选择物品3了，所以这一个格子的值是2000

物品价值和重量	物品\背包容量	1	2	3	4
1500元 1kg	物品1	1500	1500	1500	1500
3000元 4kg	物品1、物品2	1500	1500	1500	3000
2000元 3kg	物品1/2/3	1500	1500	2000

最后一个格子比较特殊，我们来分别考虑

1. 如果背包容量-当前最新物品的重量>0，说明还能装其他东西，所以这一个格子可能值是：

   当前物品价值+ 上一行的 剩余背包容量最优解。再拿这个值，和上一行的该列比较，大的那个就是最优解

   # 注意这里j+1，是因为是j从0开始，而背包容量从1开始
   prices[i] + res[i-1][j+1-weight[i]]
   # 
   res[i][j] = max(res[i-1][j], prices[i] + res[i-1][j+1-weight[i]])
   

2. 如果背包容量-当前最新物品的重量=0，那么说明这时候只能装它了。最优解就是新物品重量和上一行比，大的那一个

   res[i][j] = max(res[i - 1][j], prices[i])
   

3. 如果背包容量-当前最新物品的重量<0，那么说明新物品对这个格子没有影响，还是取上一行的值

   res[i][j] = res[i-1][j]
   

经过一番比较，我们可以知道这个格子最优是2000加上上一行的容量为1时的值

物品价值和重量	物品\背包容量	1	2	3	4
1500元 1kg	物品1	1500	1500	1500	1500
3000元 4kg	物品1、物品2	1500	1500	1500	3000
2000元 3kg	物品1/2/3	1500	1500	2000	3500

最终代码

经过上面的举例，可以看出，大部分格子都遵循这三种情况。除了第一行，因为没法和上一行比较。最终代码如下：

def max_bag(n: int, m: int, weight: list[int], prices: list[int]):"""背包问题:param n: 可选物品总数量，矩阵的行:param m: 背包总重量，矩阵的列:param weight: 物品重量列表:param prices: 物品价格列表:return: 返回最大价值"""res = [[0] * m for _ in range(n)]# 第一行for j in range(m):if j + 1 - weight[0] >= 0:res[0][j] = prices[0]else:res[0][j] = 0for i in range(1, n):for j in range(m):# 大于零说明装了当前商品之后还有空位，那么最大值就是在res[i-1][j]和#  当前价值prices[i] + 剩余格子价值# 这两者之间取最大值if j + 1 - weight[i] > 0:res[i][j] = max(res[i-1][j],  prices[i] + res[i-1][j+1-weight[i]])# 等于0，说明刚好能装这一个物品，所以最大值是要么上一行的这个格子，要么就是当前商品价值elif j + 1 - weight[i] == 0:res[i][j] = max(res[i - 1][j], prices[i])# 如果小于0，那就还是取上一行的else:res[i][j] = res[i-1][j]print(res)return res[n-1][m-1]

可以用如下输入来验证结果：

my_n = 3
my_m = 4
my_weights = [1, 4, 3]
my_prices = [1500, 3000, 2000]
print(max_bag(my_n, my_m, my_weights, my_prices))

本文参考了：https://blog.csdn.net/bohu83/article/details/91453227